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Integrali di linea di prima specie – Esercizi

Integrali di linea di prima specie

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi svolti sugli integrali di linea di prima specie! In questo articolo presentiamo 30 esercizi completamente risolti sugli integrali di linea (detti anche integrali curvilinei) di prima specie, ossia quando l’oggetto da integrare lungo la curva è una funzione. I problemi sono corredati di soluzione completa, così che il lettore possa approfondire il modo migliore di parametrizzare le curve in esame e abbia accesso alle tecniche più convenienti per il calcolo degli integrali in questione.

Segnaliamo il materiale teorico di riferimento:

Consigliamo inoltre la consultazione delle seguenti raccolte di esercizi correlati agli integrali di linea e sugli integrali per funzioni di una variabile:

Buona lettura!

Sommario

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Questa dispensa presenta una raccolta di 30 esercizi svolti sugli integrali di linea di prima specie, appositamente progettati per i corsi di Analisi 2 nei programmi di laurea in ingegneria, fisica e matematica. Gli esercizi sono suddivisi in tre livelli di difficoltà: semplici, medi e avanzati.

Alcuni esercizi richiedono unicamente l’applicazione diretta degli integrali di linea di prima specie e il calcolo immediato. In questi casi, si raccomanda una solida conoscenza della teoria sugli integrali definiti e indefiniti. Altri esercizi, invece, richiedono abilità nel disegno di grafici e una buona padronanza della geometria analitica, o competenze in domini e simmetrie negli integrali multipli. Infine, alcuni problemi richiedono una maggiore capacità di analisi e ragionamento critico.


 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Matteo Talluri, Sara Sottile.


 
 

Esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare applicando la definizione di integrale di linea di prima specie

(1) \begin{equation*} \int_{\gamma} f \, ds , \end{equation*}

dove

\[f(x,y) =x+y^3\]

e il sostegno di \gamma è il segmento di vertici O\equiv(0,0) e A\equiv(1,1).

Svolgimento.

Graficamente rappresentiamo il sostegno di \gamma in figura 1:

\[\quad\]

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: il segmento \gamma dell’esercizio 1.

\[\quad\]

\[\quad\]

La parametrizzazione del sostegno è

\[\overline{\gamma}(t)= (t,t), \qquad \mbox{ con } t \in \left[0,1\right].\]

Calcoliamo la derivata di \overline{\gamma}(t)

\[\bar{\gamma}^\prime(t)=(1,1)\]

da cui possiamo calcolare il modulo

\[\left \vert \bar{\gamma}^\prime(t) \right \vert =\sqrt{2}\]

e infine restringiamo f lungo \bar{\gamma} ottenendo

\[f(\bar{\gamma}(t))=t+t^3.\]

Calcoliamo (1) applicando la definizione1

\[\begin{aligned} \int_{\gamma} f \,ds= \int_0^1 (t+t^3)\sqrt{2} \, dt =\sqrt{2}\left(\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^4}{4}\right)\bigg \vert^1_0= \dfrac{3}{4} \sqrt{2}. \end{aligned}\]

In conclusione

\[\boxcolorato{analisi}{\int_{\gamma} f \,ds = \dfrac{3}{4} \sqrt{2}.}\]

   

  1. Definizione. Sia \bar{\gamma}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n un arco di curva regolare di sostegno \gamma e sia f una funzione a valori reali, definita in un sottoinsieme A di \mathbb{R}^n contenente \gamma, cioè f:A\subset \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} con \gamma \subset A. Si dice integrale di linea(di prima specie) di f lungo \gamma l’integrale

    \[\int_\gamma f ds=\int_{a}^{b}f\,ds \equiv\int_{a}^{b}f(\bar{\gamma}(t))\left \vert \bar{\gamma}^\prime(t) \right \vert \,dt.\]

    ↩


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare applicando la definizione di integrale di linea di prima specie

(2) \begin{equation*} \int_{\gamma} f \, ds, \end{equation*}

dove

\[f(x,y) = x^2y\]

e il sostegno di \gamma è la circonferenza di equazione x^2+y^2=4 percorsa in senso antiorario dal punto A\equiv(2,0) a B\equiv(0,2).

Svolgimento.

Parametrizziamo la circonferenza applicando le coordinate polari

\[\overline{\gamma}(t)=2\left( \cos t, \sin t \right) \qquad \mbox{con } t \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right].\]

Restriniamo f lungo \bar{\gamma}(t) ottenendo f(\bar{\gamma}(t))=4\cos^2 t\ 2\sin t.

Calcoliamo la derivata di \bar{\gamma}(t)

\[\bar{\gamma}^\prime(t)=2\left(-\sin t, \cos t \right)\]

ed infine calcoliamo il modulo di \bar{\gamma}^\prime(t)

\[\left \vert \bar{\gamma}^\prime(t) \right \vert= 2.\]

Calcoliamo (2) applicando la definizione di integrale di linea di prima specie, si ha

\[\begin{aligned} \int_{\gamma} f \,ds &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^2 t \cdot 2 \sin t \cdot 2 \, dt =\\ &=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}- 4\cos^2 t \cdot 2 \sin^{-2} t=\\ &= 1\int_{\frac{\pi}{2}}^0- 4\cos^2 t \cdot 2 \sin^{-2} t=\\ &=\dfrac{16}{3}\cos^3t \bigg\vert_{\frac{\pi}{2}}^0 =\\ &= \dfrac{16}{3}. \end{aligned}\]

Si conclude che

\[\boxcolorato{analisi}{\int_{\gamma} f \, ds =\dfrac{16}{3}. }\]


 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare applicando la definizione di integrale di linea di prima specie

(3) \begin{equation*} \int_{\gamma} f \, ds , \end{equation*}

dove

\[f(x,y) = \sqrt{x+2y}\]

e sostegno di \gamma è il segmento di vertici O\equiv(0,0) e A\equiv(2,4).

Svolgimento.

Rappresentiamo il sostegno di \gamma

\[\quad\]

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 2: il segmento \gamma dell’esercizio 3.

\[\quad\]

\[\quad\]

Parametrizziamo il sostegno di \gamma come segue

\[\overline{\gamma}(t)=(t,2t), \qquad \mbox{ con } t \in [0,2].\]

Calcoliamo la derivata di \bar{\gamma}(t)

\[\bar{\gamma}^\prime(t)=(1,2)\]

e restringiamo f lungo \bar{\gamma}(t)

\[f(\bar{\gamma}(t))=\sqrt{5t}\]

da cui calcoliamo (3) applicando la definizione di integrale di linea di prima specie, si ha

\[\begin{aligned} \int_{\gamma} f\, ds & = \int_0^2 \sqrt{5t} \cdot \sqrt{5}\, dt =\\ &= 5 \int_0^2 \sqrt{t} \,dt =\\ &=5 \dfrac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\bigg \vert^2_0= \\ &=\dfrac{20\sqrt{2}}{3}. \end{aligned}\]

Si conclude che

\[\boxcolorato{analisi}{\int_{\gamma} f \, ds = \dfrac{20\sqrt{2}}{3}.}\]


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare applicando la definizione di integrale di linea di prima specie

(4) \begin{equation*} \int_{\gamma} f \, ds, \end{equation*}

dove

\[f(x,y) = \vert x^2+y^2 \vert^{\frac{1}{2}}\]

e la parametrizzazione del sostegno di \gamma è

\[\overline{\gamma}(t) = e^t (\cos t, \sin t)\quad \text{con}\,\, t \in [0,2\pi].\]

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