Verifica del limite: esercizio 16

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In questo sedicesimo esercizio della raccolta Esercizi sulla verifica del limite presentiamo la verifica di un limite sinistro e destro. Segnaliamo l’esercizio precedente esercizio sulla verifica del limite 15 sulla verifica del limite della funzione polinomiale e quello successivo esercizio sulla verifica del limite 17.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Revisori: Matteo Talluri, Sergio Fiorucci.

Richiami di teoria sulla verifica del limite

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Si veda anche richiami di teoria sulla verifica dei limiti o l’articolo di Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Definizione 1 (limiti di funzioni) Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ un punto di accumulazione per $A$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ . Si dice che $\ell$ è il limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ se, per ogni intorno $V$ di $\ell$ , esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che

(1) $\begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}$

In tal caso si scrive

(2) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}$

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui $x_0 \in \mathbb{R}$ , $x_0 = -\infty$ , $x_0=+\infty$ e $\ell \in \mathbb{R}$ , $\ell = -\infty$ , $\ell=+\infty$ .

verifica del limite

Definizione 2 (limiti destri e sinistri) ; Siano $A\subseteq \mathbb{R}$ , sia $x_0 \in {\mathbb{R}}$ un punto di accumulazione sinistro per $A$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ . Si dice che $\ell$ è il limite sinistro di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ se, per ogni intorno $V$ di $\ell$ , esiste $\delta>0$ tale che

(3) $\begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0) \cap A . \end{equation*}$