Algebra degli o-piccolo

Teoria sulle Funzioni: Concetti Fondamentali e Proprietà

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Benvenuti nel nostro articolo sull’algebra degli o-piccolo.
Il simbolo di $o$ -piccolo, precisamente che $f=o(g)$ per $x \to x_0$ esprime l’idea intuitiva che una funzione $f$ sia “trascurabile” rispetto alla funzione $g$ , quando $x$ tende a $x_0$ . Questa notazione permette appunto di dare un significato formale a questa nozione ed è estremamente utile nel calcolo dei limiti, in quanto consente di evidenziare e raggruppare i termini trascurabili e concentrarsi solo su quelli principali, che determinano realmente il carattere del limite.
In questo articolo, richiamiamo brevemente la definizione e forniamo al lettore una panoramica abbastanza completa sull’algebra degli $o$ -piccolo riguardo a potenze di binomi del tipo $(x-x_0)^n$ , con $n \in \mathbb{Z}$ .

Rimandiamo ai seguenti articoli per la teoria correlata:

Consigliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi dove queste regole sull’algebra degli o-piccolo vengono applicate:

Buona lettura!

Sommario

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In questo articolo richiamiamo le regole di calcolo per i simboli di $o$ -piccolo, che esprimono la proprietà di una funzione di essere trascurabile rispetto a un’altra, al limite per $x \to x_0$ . Dopo una breve introduzione elenchiamo le regole dell’algebra di questi oggetti, utili nel calcolo dei limiti.

Notazioni

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$\mathbb{N}$	Insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$[a,b]$	Intervallo chiuso di estremi $a$ e $b$ , ossia $\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$ ;
$(a,b)$	Intervallo aperto di estremi $a$ e $b$ , ossia $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ ;
$\lim_{x \to x_0} f(x)$	Limite della funzione $f$ per $x$ che tende a $x_0$ ;
$f = o(g) \text{ per } x \to x_0$	$f$ è $o$ -piccolo di $g$ per $x \to x_0$ , ossia $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.

Introduzione

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Nel calcolo dei limiti è utile avere a disposizione un modo per esprimere il fatto che una funzione sia “trascurabile” rispetto a un’altra, al limite per $x \to x_0$ . Tale proprietà è descritta dalla nozione di $o$ -piccolo, che ci accingiamo a definire.

Definizione 1 ( $o$ -piccolo). Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ , siano $f,g \colon E \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ un punto di accumulazione per l’insieme $\{x \in E \colon g(x) \neq 0\}$ . Diciamo che $f$ è un $o$ -piccolo di $g$ per $x \to x_0$ se

(1) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0. \end{equation*}$

In tal caso scriviamo $f=o(g)$ .

È importante osservare che, nonostante l’uso del simbolo di uguale, $o(\cdot)$ non denota una funzione precisa, ma semplicemente una funzione che soddisfa la definizione 1. In particolare, $f=o(g)$ e $h=o(g)$ non implicano $f=h$ , come mostra l’esempio seguente.

Esempio 2. Siano $f,g,h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ le funzioni definite da

(2) $\begin{equation*} f(x)= (x-2)^3, \quad g(x) = x-2, \quad h(x) = (x-2)^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Dato che $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)}=0$ e $\lim_{x \to 2} \frac{h(x)}{g(x)}=0$ , si ha

(3) $\begin{equation*} f =o(g), \quad h=o(g), \qquad \text{per } x \to 2. \end{equation*}$

Invece, poiché $\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{f(x)}=0$ e $\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{h(x)}=0$ , si ha

(4) $\begin{equation*} g=o(f), \quad g=o(h), \qquad \text{per } x \to +\infty. \end{equation*}$