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Forme indeterminate – Esercizi

Forme indeterminate in funzioni

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi completamente risolti sulle forme indeterminate nel calcolo dei limiti. In questo articolo presentiamo 55 esercizi di calcolo dei limiti, in cui lo svolgimento produce una forma indeterminata, tra le tipologie più frequentemente occorrenti. Forniamo delle tecniche generali e specifiche per lo studio di questi problemi, illustrate da molteplici esempi di difficoltà e natura varia. Non ti resta dunque che metterti alla prova e confrontare le tue soluzioni con quelle da noi proposte!

Consigliamo la lettura del seguente materiale di teoria inerente all’argomento:

Segnaliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi su temi affini:

Buona lettura!

 

Sommario

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Questo documento presenta 55 esercizi risolti riguardanti le forme indeterminate \infty/\infty, 0/0, \infty \cdot 0 e +\infty-\infty. Ogni esercizio è sviluppato in maniera dettagliata, garantendo la completa esposizione di tutti i passaggi necessari. Sono inclusi esercizi simili e ripetuti, al fine di soddisfare le esigenze degli studenti che necessitano di un ampio repertorio di pratica. La trattazione teorica non è stata inclusa in questo documento, in quanto già approfondita nella sezione teorica dell’articolo Teoria sui limiti disponibile sul sito Qui Si Risolve. Questa dispensa è particolarmente indicata per studenti di ingegneria, fisica e matematica, impegnati nei corsi di Analisi 1.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi

Revisori: Sergio Fiorucci.


 
 

Forme indeterminate: i prerequisiti

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I prerequisiti necessari per affrontare gli esercizi di questa dispensa sono descritti in questa sezione: forme indeterminate e limiti notevoli.

\[\quad\]

  1. Forme indeterminate +\infty - \infty

    2.  

  2. Forme indeterminate \dfrac{\infty}{\infty} e gerarchia degli infiniti

    3.  

  3. Forme indeterminate \dfrac{0}{0} e limiti notevoli

    4.  

  4. Forme indeterminate 0 \cdot \infty

dell’articolo Teoria sui limiti disponibile sul sito Qui Si Risolve. Rispetto alla notazione adottata nella dispensa teorica, dove le forme indeterminate sono indicate come [\infty/\infty], [+\infty-\infty], [0/0] e [\infty\cdot 0], in questo documento abbiamo scelto di utilizzare una notazione più semplice e pratica per la risoluzione degli esercizi, ovvero \infty/\infty, +\infty-\infty, 0/0 e \infty\cdot 0. Questa scelta semplifica e velocizza l’applicazione delle tecniche necessarie per la risoluzione degli esercizi.


 
 

Introduzione alle forme indeterminate

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Di seguito viene fornita una breve guida per il calcolo dei limiti del tipo

\[\lim_{x \to \infty} \dfrac{a_nx^n + \dots + a_0}{b_m x^m + \dots + b_0},\]

dove numeratore e denominatore rappresentano rispettivamente due polinomi di grado n \in \mathbb{N} e m \in \mathbb{N}.

Osserviamo che

\[\lim_{x\to+\infty}\left(a_nx^n + \dots + a_0\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(b_m x^m + \dots + b_0\right)=+\infty.\]

A seconda della forma indeterminata incontrata nel calcolo di un limite, è possibile applicare un metodo di risoluzione specifico. Riconoscere correttamente la forma indeterminata è fondamentale, poiché guida la scelta del metodo più appropriato, garantendo la correttezza e l’efficienza. Di seguito viene illustrato il ragionamento seguito per le forme indeterminate del tipo \infty/\infty e 0/0.

\[\quad\]

  • Forma indeterminata \infty/\infty: in questo caso, si procede raccogliendo il monomio di grado maggiore sia al numeratore che al denominatore, semplificando l’espressione e poi calcolando il limite. In generale, si ha:

    (1) \begin{equation*} \lim_{x \to+ \infty} \dfrac{a_nx^n + \dots + a_0}{b_m x^m + \dots + b_0} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{b_m} \qquad & \text{se} \, n=m,\\ \textbf{sgn}\left(\dfrac{a_n}{b_m}\right) \cdot \; +\infty \qquad & \text{se} \, n>m,\\ 0 \qquad & \text{se} \, 0<n<m, \end{cases} \end{equation*}

    dove x^n e x^m sono i monomi di grado massimo al numeratore e al denominatore, rispettivamente. Sebbene questo schema sia utile, è preferibile affrontare il calcolo con maggiore dettaglio per comprendere appieno il metodo.

    •  

  • Forma indeterminata 0/0: in questo caso, si risolve scomponendo il numeratore e il denominatore, semplificando l’espressione risultante e calcolando il limite. Un’alternativa valida in molti casi è l’applicazione della regola di De L’Hospital, che consiste nel calcolare il limite del rapporto tra le derivate del numeratore e del denominatore.   Di seguito tre esempi per i precedenti casi.

    Esempio 1: forma indeterminata \infty/\infty.

    Si consideri il seguente limite:

    \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3 + 5x^2 - 2x + 1}{7x^3 - 4x + 9}. \]

    In questo caso, sia il numeratore che il denominatore sono polinomi di terzo grado, per cui ci troviamo di fronte a una forma indeterminata del tipo \infty/\infty. Per risolvere il limite, si procede raccogliendo il monomio di grado massimo sia al numeratore che al denominatore:

    \[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3\left(1 + \dfrac{5}{3x} - \dfrac{2}{3x^2} + \dfrac{1}{3x^3}\right)}{7x^3\left(1 - \dfrac{4}{7x^2} + \dfrac{9}{7x^3}\right)}. \]

    Semplificando, si ottiene:

    \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3\left(1 + \dfrac{5}{3x} - \dfrac{2}{3x^2} + \dfrac{1}{3x^3}\right)}{7\left(1 - \dfrac{4}{7x^2} + \dfrac{9}{7x^3}\right)}. \]

    Dal momento che i termini contenenti x al denominatore tendono a zero per x \to +\infty, il limite si riduce a:

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 5x^2 - 2x + 1}{7x^3 - 4x + 9}=\frac{3}{7}. \]

    Esempio 2: Forma indeterminata 0/0

    Si consideri ora il limite seguente:

    \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}. \]

    Sostituendo direttamente x = 1, si ottiene la forma indeterminata 0/0. Per risolvere il limite, si procede scomponendo il numeratore:

    \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}. \]

    Semplificando l’espressione, eliminando il fattore comune x - 1, si ottiene:

    \[ \lim_{x \to 1} (x + 1). \]

    Infine, calcolando il limite si ha:

    \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}=1 + 1 = 2. \]

    I casi sopra descritti si applicano ai polinomi, ma possono essere generalizzati anche al caso in cui al numeratore e al denominatore compaiano funzioni irrazionali o una combinazione di funzioni irrazionali e polinomi.

    Esempio 3: Funzioni irrazionali \dfrac{+\infty}{+\infty}

    Consideriamo il seguente limite:

    \[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^4 + x^2}}{2x^2 - 1} \]

    in questo caso, abbiamo una funzione irrazionale al numeratore (\sqrt{4x^4 + x^2}) e un polinomio al denominatore (2x^2 - 1). Il limite si presenta come una forma indeterminata del tipo \dfrac{+\infty}{+\infty}. Per risolverlo, raccogliamo il termine di grado massimo all’interno della radice al numeratore e nel polinomio al denominatore:

    \[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^4\left(4 + \dfrac{1}{x^2}\right)}}{x^2\left(2 - \dfrac{1}{x^2}\right)}, \]

    semplificando, otteniamo

    \[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^2}}}{x^2\left(2 - \dfrac{1}{x^2}\right)}, \]

    possiamo ulteriormente semplificare

    \[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^2}}}{2 - \dfrac{1}{x^2}}, \]

    poiché i termini contenenti x al denominatore delle frazioni all’interno del radicale e del polinomio tendono a zero per x \to +\infty, il limite si riduce a

    \[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^4 + x^2}}{2x^2 - 1} =\dfrac{\sqrt{4}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1. \]

    pertanto, il valore del limite è 1.

    Esempio 4: Combinazione di funzioni irrazionali e polinomi 0/0

    Consideriamo il limite:

    \[ \lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \]

    sostituendo x = 4, otteniamo la forma indeterminata 0/0. Per risolvere questo limite, possiamo moltiplicare e dividere l’espressione per (\sqrt{x} + 2):

    \[ \lim_{x \to 4} \dfrac{\left(\sqrt{x} - 2\right)\left(\sqrt{x} + 2\right)}{\left(x - 4\right)\left(\sqrt{x} + 2\right)}, \]

    questo porta a

    \[ \lim_{x \to 4} \dfrac{x - 4}{\left(x - 4\right)\left(\sqrt{x} + 2\right)}, \]

    semplificando l’espressione eliminando il fattore comune x - 4, si ottiene

    \[ \lim_{x \to 4} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}. \]

    Ora, calcoliamo il limite sostituendo x = 4:

    \[ \dfrac{1}{\sqrt{4} + 2} = \dfrac{1}{2 + 2} = \dfrac{1}{4} \]

    pertanto, il valore del limite è \dfrac{1}{4}.

    Esempio 5: Funzioni irrazionali \dfrac{\infty}{\infty}

    Consideriamo il seguente limite:

    \[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 3x}}{x - 5}. \]

    In questo caso, abbiamo una funzione irrazionale al numeratore (\sqrt{x^2 + 3x}) e un polinomio al denominatore (x - 5). Il limite si presenta come una forma indeterminata del tipo \dfrac{\infty}{\infty}. Per risolverlo, raccogliamo il termine di grado massimo all’interno della radice al numeratore e nel polinomio al denominatore:

    \[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2\left(1 + \dfrac{3}{x}\right)}}{x\left(1 - \dfrac{5}{x}\right)} \]

    semplificando, otteniamo:

    \[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{|x|\sqrt{1 + \dfrac{3}{x}}}{x\left(1 - \dfrac{5}{x}\right)}. \]

    poiché x \to -\infty, abbiamo che |x| = -x, quindi il limite diventa:

    \[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-x\sqrt{1 + \dfrac{3}{x}}}{x\left(1 - \dfrac{5}{x}\right)} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-\sqrt{1 + \dfrac{3}{x}}}{1 - \dfrac{5}{x}}, \]

    considerando che i termini contenenti \dfrac{1}{x} tendono a zero quando x \to -\infty, il limite si riduce a

    \[ -\dfrac{\sqrt{1}}{1} = -1 \]

    pertanto, il valore del limite è -1.

Di seguito vengono esaminati casi distinti rispetto a quelli precedentemente trattati.

\[\quad\]

  • Forme indeterminate \infty \cdot 0 e +\infty -\infty: queste due forme indeterminate possono presentarsi in una vasta gamma di contesti, e purtroppo non esiste una strategia unica e universale per risolverle tutte. Anche il caso precedentemente discusso, \infty/\infty, rappresenta solo una situazione specifica, ma esistono numerose altre configurazioni di natura diversa che possono verificarsi. Pertanto, l’approccio più efficace per padroneggiare le forme indeterminate consiste nel costruire una solida comprensione della Teoria sui limiti, disponibile sul sito Qui Si Risolve nei prerequisiti 1, e nello svolgimento di numerosi esercizi, come quelli presentati nelle sezione 4, 9, 5, 6, 7 e 13. In questo modo, si svilupperanno l’esperienza e le competenze necessarie per applicare con successo le diverse tecniche risolutive. Tra le tecniche consigliate, vi è l’uso della gerarchia degli infiniti, come illustrato nell’esempio (2), o degli infinitesimi, come mostrato nell’esempio (61). Un’altra tecnica efficace consiste nell’utilizzo delle formule goniometriche, manipolando l’espressione della funzione di cui si sta calcolando il limite, come si vede nell’esercizio 18. Nel caso, ad esempio, di somme di funzioni irrazionali, è spesso utile razionalizzare o applicare la somma e la differenza di cubi, come mostrato negli esempi (3) e (59).   Di seguito vengono presentati alcuni esempi che illustrano varie tecniche risolutive.

    Esempio 6.

    Consideriamo il seguente limite:

    (2) \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0, \end{equation*}

    perché x è un infinito di ordine inferiore rispetto a e^{x} per x\to+\infty.

    Esempio 7.

    Consideriamo il seguente limite:

    \[ \lim_{x \to +\infty} \left( \ln(x^2 + 1) - \ln(x^2) \right). \]

    In questo caso, entrambe le funzioni logaritmiche tendono a +\infty per x \to +\infty, creando una forma indeterminata del tipo +\infty - \infty. Per risolvere, possiamo utilizzare la proprietà dei logaritmi:

    \[ \lim_{x \to +\infty} \ln\left(\dfrac{x^2 + 1}{x^2}\right) = \lim_{x \to +\infty} \ln\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right). \]

    Quando x tende a +\infty, il termine \dfrac{1}{x^2} tende a zero, quindi:

    \[ \lim_{x \to +\infty} \ln\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)= \ln(1 + 0) = \ln(1) = 0. \]

    Esempio 8.

    Consideriamo il seguente limite:

    (3) \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x} \right). \end{equation*}

    In questo caso, entrambe le radici quadrate tendono a +\infty quando x tende a +\infty, creando una forma indeterminata del tipo +\infty - \infty. Per risolvere, razionalizziamo l’espressione:

    \[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\left( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x} \right) \cdot \left( \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x} \right)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}} \]

    semplificando ulteriormente:

    \[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x}{x\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x}} \right)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x}}} = \dfrac{2}{2} = 1. \]


 
 

Tabella operativa: guida alla risoluzione degli esercizi sulle forme indeterminate

Introduzione.

Consideriamo due numeri reali positivi a > 0 e b > 0. Nel contesto del calcolo dei limiti, capita frequentemente di dover effettuare operazioni che coinvolgono grandezze finite e infinite. Sebbene non sia formalmente possibile definire operazioni elementari come somma, prodotto e altre tra tali grandezze, è comunque possibile attribuire a queste operazioni un significato ad hoc in relazione ai teoremi sui limiti. Pertanto, si applicano le seguenti convenzioni, dove I indica che ci troviamo di fronte a una forma indeterminata. Le notazioni che seguono, pur rappresentando formalmente degli abusi di notazione, sono state definite e spiegate con rigore nel seguente articolo: Esercizi sui limiti di base.

Addizione.

(4) \begin{equation*} \begin{array}{lc|c|c|c|c|c|} + & & a & -a & 0 & +\infty & -\infty \\ & & & & & & \\ \hline b & & a+b & -a+b & b & +\infty & -\infty\\ \hline -b & & a-b & -a-b & -b & +\infty & -\infty\\ \hline 0 & & a & -a & 0 & +\infty & -\infty\\ \hline +\infty & & +\infty & +\infty & +\infty & +\infty & I\\ \hline -\infty & & -\infty & -\infty & -\infty & I & -\infty\\ \hline \end{array} \end{equation*}


Moltiplicazione.

(5) \begin{equation*} \begin{array}{lc|c|c|c|c|c|c|} \cdot & & a & -a & 0^+ & 0^- & +\infty & -\infty \\ & & & & & & & \\ \hline b & & ab & -ab & 0^+ & 0^-& +\infty & -\infty\\ \hline -b & & -ab & ab & 0^- & 0^+ & -\infty & +\infty\\ \hline 0^+ & & 0^+ & 0^- & 0^+ & 0^- & I & I\\ \hline 0^- & & 0^- & 0^+ & 0^- & 0^+ & I & I\\ \hline +\infty & & +\infty & -\infty & I & I & +\infty & -\infty\\ \hline -\infty & & -\infty & +\infty & I & I & -\infty & +\infty\\ \hline \end{array} \end{equation*}

Spiegazione della Tabella Operativa dei Limiti

La tabella operativa dei limiti mostra le regole di somma tra varie grandezze, che possono essere numeri reali positivi a e b, oppure valori infiniti +\infty e -\infty. Queste regole si applicano nel contesto del calcolo dei limiti, dove è necessario manipolare espressioni che coinvolgono sia grandezze finite sia infinite. La tabella fornisce un modo per determinare il risultato della somma di due valori quando almeno uno di essi è infinito.

Interpretazione delle colonne e delle righe

Le righe della tabella rappresentano il primo termine dell’operazione di somma, mentre le colonne rappresentano il secondo termine. La cella all’intersezione di una riga e una colonna contiene il risultato della somma di quei due termini.

Alcuni casi

\[\quad\]

  • a + b indica la somma di due numeri reali positivi a e b, che è un numero reale positivo.

    •  

  • a + 0 e 0 + a restituiscono semplicemente a, perché aggiungere zero non cambia il valore di a.

    •  

  • a + (+\infty) e (+\infty) + a danno +\infty, poiché aggiungere un valore finito a +\infty dà +\infty.

    •  

  • (+\infty) + (-\infty) è una forma indeterminata I, poiché la somma di +\infty e -\infty non ha un risultato definito.

    •  

  • (+\infty) + (+\infty) e (- \infty) + (-\infty) danno rispettivamente +\infty e -\infty, poiché sommare due infiniti dello stesso segno rafforza l’infinito.

Conclusione

La tabella evidenzia i casi in cui è possibile determinare un risultato definitivo per l’operazione di somma nel contesto dei limiti, nonché i casi in cui si ottiene una forma indeterminata. Questa è una risorsa utile quando si affrontano esercizi sui limiti in cui compaiono grandezze infinite.

Osservazione. la colonna o la riga corrispondente a I indica una forma indeterminata, dove ulteriori analisi o tecniche di risoluzione sono necessarie per valutare il limite.


Quoziente.

Sulla prima riga i numeratori, sulla prima colonna i denominatori.

(6) \begin{equation*} \begin{array}{lc|c|c|c|c|c|c|} \div & & a & -a & 0^+ & 0^- & +\infty & -\infty \\ & & & & & & & \\ \hline b & & a/b & -a/b & 0^+ & 0^-& +\infty & -\infty\\ \hline -b & & -a/b & a/b & 0^- & 0^+ & -\infty & +\infty\\ \hline 0^+ & & +\infty & -\infty & I & I & +\infty & -\infty\\ \hline 0^- & & -\infty & +\infty & I & I & -\infty & +\infty\\ \hline +\infty & & 0^+ & 0^- & 0^+ & 0^- & I & I\\ \hline -\infty & & 0^- & 0^+ & 0^- & 0^+ & I & I\\ \hline \end{array} \end{equation*}

Spiegazione della Tabella Operativa dei Limiti per il Quoziente

La tabella operativa per il quoziente elenca le regole per dividere varie grandezze, che possono essere numeri reali positivi a e b, oppure valori infiniti +\infty e -\infty. La tabella viene utilizzata nel contesto del calcolo dei limiti per determinare il risultato della divisione di un numeratore per un denominatore.

Interpretazione della Tabella

\[\quad\]

  • La prima riga della tabella rappresenta i numeratori, mentre la prima colonna rappresenta i denominatori.

    •  

  • Ogni cella della tabella mostra il risultato della divisione tra il numeratore e il denominatore corrispondente.

Alcuni casi

\[\quad\]

  • \dfrac{a}{b} indica il quoziente di due numeri reali positivi a e b, che è un numero reale positivo.

    •  

  • \dfrac{a}{0^+} e \dfrac{a}{0^-} indicano rispettivamente +\infty e -\infty, poiché dividere un numero positivo per un numero infinitesimamente piccolo positivo o negativo vale +\infty o -\infty.

    •  

  • \dfrac{0^+}{a} risulta in 0^+, poiché un numero infinitesimamente piccolo diviso per un numero finito equivale a zero positivo.

    •  

  • \dfrac{0^+}{0^+} è una forma indeterminata indicata con I, poiché non è possibile determinare un risultato definitivo senza ulteriori informazioni.

    •  

  • \dfrac{+\infty}{+\infty} è anch’essa una forma indeterminata I, poiché la divisione di due infiniti non ha un risultato ben definito.

Conclusione

Questa tabella è utile per determinare rapidamente il risultato di un quoziente tra diverse grandezze nel calcolo dei limiti, identificando al contempo le situazioni in cui si presenta una forma indeterminata, in cui si richiedono ulteriori analisi.


Potenze.

Sulla prima riga le basi, sulla prima colonna gli esponenti.

(7) \begin{equation*} \begin{array}{lc|c|c|c|c|c|} & & a>1 & 0<a<1 & 1 & 0^+ & +\infty \\ & & & & & & \\ \hline b & & a^b & a^b & 1 & 0^+ & +\infty\\ \hline -b & & 1/a^b & 1/a^b & 1 & +\infty & 0^+\\ \hline 0 & & 1 & 1 & 1 & I & I\\ \hline +\infty & & +\infty & 0^+ & I & 0^+ & +\infty\\ \hline -\infty & & 0^+ & +\infty & I & +\infty & 0^+\\ \hline \end{array} \end{equation*}

Spiegazione della Tabella Operativa dei Limiti per le Potenze

La tabella operativa per le potenze descrive le regole per calcolare i risultati delle potenze, con diverse basi ed esponenti, nel contesto del calcolo dei limiti.

Alcuni casi

\[\quad\]

  • La prima riga della tabella elenca le basi a utilizzate nell’operazione di potenza.

    •  

  • La prima colonna rappresenta gli esponenti b utilizzati per elevare la base corrispondente.

    •  

  • Ogni cella della tabella mostra il risultato dell’operazione a^b per la specifica combinazione di base ed esponente.

Alcuni casi

\[\quad\]

  • Se a > 1 e b > 0, a^b è un numero positivo maggiore di 1.

    •  

  • Se a > 1 e b = 0, a^0 = 1, indipendentemente dal valore di a.

    •  

  • Se 0 < a < 1 e b è positivo, a^b sarà un numero positivo minore di 1.

    •  

  • Se a = 0 e b > 0, 0^b = 0. Tuttavia, se b = 0, 0^0 è una forma indeterminata (indicata con I).

    •  

  • Se a = +\infty e b > 0, (+\infty)^b = +\infty.

    •  

  • Se a = +\infty e b = 0, (+\infty)^0 è una forma indeterminata I, poiché non è definito.

Conclusione

Questa tabella è utile per determinare rapidamente il risultato di una potenza nel contesto del calcolo dei limiti, identificando al contempo le situazioni in cui si presenta una forma indeterminata, richiedendo ulteriori analisi.


 
 

Esercizi forma indeterminata \dfrac{\infty}{\infty}

\[\quad\]

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite

(8) \begin{equation*} \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6-3x^4}{2x^2-2x+1} . \end{equation*}

Svolgimento.

Osserviamo che

\[\lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6-3x^4}{2x^2-2x+1} ,\]

si presenta nella forma indeterminata

\[\dfrac{+\infty-\infty}{+\infty}.\]

Quindi procediamo come segue

\[\begin{aligned} \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6-3x^4}{2x^2-2x+1} &= \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6\left(1 -\dfrac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)} =\\ & = \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^4\left(1 -\dfrac{3}{x^2}\right)}{2-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}} = \\ &= \dfrac{(-\infty)^4\left(1 - \dfrac{3}{-\infty}\right)}{2+\dfrac{2}{-\infty}+\dfrac{1}{-\infty}} = +\infty . \end{aligned}\]

Si conclude che

\[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6-3x^4}{2x^2-2x+1} =+\infty. }\]

Osserviamo che il limite rispetta (1) essendo il grado del polinomio a numeratore maggiore del grado del polinomio a denominatore.


 
 

Esercizio 2. Calcolare il seguente limite

(9) \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3-4x^2+6}{3x^2-2x+x^3} . \end{equation*}

Svolgimento.

Osserviamo che

\[\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x^3-4x^2+6}{3x^2-2x+x^3} ,\]

si presenta nella forma indeterminata

\[\dfrac{+\infty-\infty}{+\infty-\infty}.\]

Quindi procediamo come segue

\[\begin{aligned} \lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x^3-4x^2+6}{3x^2-2x+x^3} &= \lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^3 \left(3-\dfrac{4}{x} + \dfrac{6}{x^3} \right)}{x^3\left(\dfrac{3}{x} - \dfrac{2}{x^2} + 1\right)} = \\ & = \lim_{x \to + \infty} \dfrac{3-\dfrac{4}{x} + \dfrac{6}{x^3} }{ \dfrac{3}{x} - \dfrac{2}{x^2} + 1 } = \\ &= \dfrac{3-\dfrac{4}{+\infty} + \dfrac{6}{+\infty} }{ \dfrac{3}{+\infty} - \dfrac{2}{+\infty} + 1 } = 3 . \end{aligned}\]

Si conclude che

\[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x^3-4x^2+6}{3x^2-2x+x^3}=3.}\]

Osserviamo che il limite rispetta (1) essendo il grado del polinomio a numeratore uguale al grado del polinomio a denominatore.


 
 

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite

(10) \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-2x+3x^3}{2x^4-x^2}. \end{equation*}

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