Esercizi equazioni funzionali

Benvenuti nella nostra guida pratica alle equazioni funzionali. Tali equazioni, in cui si richiede di ricavare l’espressione di una funzione a partire da alcune relazioni da essa soddisfatte, costituiscono un argomento di rilevanza teorica e pratica. Presentiamo qui un approccio pratico, partendo dalla discussione di tre esempi, introducendo così alcune delle principali tecniche risolutive di queste equazioni.

Per la teoria relativa, segnaliamo i nostri articoli sulla teoria delle funzioni e funzioni elementari:

• Teoria sulle funzioni;
• Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche;
• Funzioni goniometriche: la guida essenziale;
• Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche.

Buona lettura!

Autori e revisori

Le equazioni differenziali sono una famiglia di equazioni funzionali: tuttavia sono escluse dalla presente trattazione.

Risolvere un’equazione funzionale è il problema inverso allo studio di funzione, per certi versi: infatti mentre lo studio di funzione ha come fine la determinazione delle caratteristiche di una funzione esplicitamente data, risolvere l’equazione è trovare una funzione (o tutte) che soddisfino certi requisiti.

Un semplice esempio è il seguente

Problema 1. Si trovino tutte le funzioni tale che soddisfino

per ogni

Soluzione.

Poiché la condizione deve essere rispettata per ogni coppia di numeri reali, in particolare vale per coppie di due numeri eguali, in cui

Ne segue la riscrittura della condizione in termini di

Poichè ha un unico valore, può essere manipolato al pari di un’incognita, per cui si ottiene la condizione equivalente

La generalità di permette di concludere che l’unica funzione che rispecchia tale condizione è quella appena esposta.

In generale un problema concernente le equazioni funzionali, coinvolge non una singola identità, ma più condizioni da soddisfare.

Per questo motivo è parte essenziale della risoluzione la verifica che le equazioni soluzione soddisfino i requisiti.

Tale verifica esplicita, tuttavia, si omette nei problemi che seguono,
lasciandone il compito al lettore scrupoloso.
 

Problema 2. Si trovino tutte le funzioni tale che soddisfino

per ogni