Sviluppi di Taylor

Limiti di funzione con Taylor, Teoria Espansione di Taylor

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Benvenuti nella nostra guida agli sviluppi di Taylor di funzioni elementari.
In questo articolo, dopo un breve richiamo della definizione, elenchiamo i principali sviluppi di Taylor maggiormente utilizzati nel calcolo dei limiti. Questo materiale è quindi particolarmente indicato per chi ricerca una consultazione rapida in vista della risoluzione degli esercizi.

Segnaliamo il materiale di teoria correlata:

Proponiamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi sul tema:

Buona lettura!

Sommario

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In questo articolo riportiamo una esaustiva lista degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari maggiormente utilizzati nella pratica.

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti..

Notazioni

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$\mathbb{N}$	Insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$[a,b]$	Intervallo chiuso di estremi $a$ e $b$ , ossia $\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$ ;
$(a,b)$	Intervallo aperto di estremi $a$ e $b$ , ossia $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ ;
$\lim_{x \to x_0} f(x)$	Limite della funzione $f$ per $x$ che tende a $x_0$ ;
$f = o(g) \text{ per } x \to x_0$	$f$ è $o$ -piccolo di $g$ per $x \to x_0$ , ossia $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .

Sviluppi di Taylor

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I polinomi sono indubbiamente le funzioni reali di variabile reale più semplici da trattare. Ad esempio, il calcolo di limiti che coinvolgono soltanto funzioni polinomiali non presenta alcuna difficoltà: è sufficiente confrontare il segno e il grado delle fattorizzazioni dei polinomi per giungere facilmente al risultato del limite. Di conseguenza, nel calcolo di un limite per $x \to x_0$ , un’idea naturale è quella di approssimare le funzioni in gioco con polinomi, per $x$ “vicino” a $x_0$ ; stimando l’errore commesso con tale approssimazione, si può provare a calcolare il limite da questa prospettiva. I polinomi di Taylor sono esattamente lo strumento che consente di effettuare l’approssimazione descritta, più precisamente, dal fondamentale prossimo teorema.

Teorema 1 (formula di Taylor con resto di Peano). Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile $n$ volte in $x_0 \in [a,b]$ . Allora

(1) $\begin{equation*} f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n + R(x) \qquad \text{per } x \to x_0, \end{equation*}$

dove $R(x)$ è detto resto ed è tale che

(2) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \frac{R(x)}{(x-x_0)^n}=0. \end{equation*}$

relazione che si esprime come $R(x)=o\big( (x-x_0)^n \big)$ , che si legge “ $R(x)$ è $o$ -piccolo di $(x-x_0)^n$ “.

Il polinomio $P_n(x) = \sum _{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ al membro di destra è detto polinomio di Taylor di $f$ di grado $n$ centrato in $x_0$ .

$P_n(x)$ è inoltre l’unico polinomio di grado minore o uguale a $n$ con la proprietà di sopra: ovvero se $Q(x)$ ha grado minore o uguale a $n$ ed è tale che $f(x) = Q(x) + o\big( (x-x_0)^n \big)$ , allora $Q(x)=P_n(x)$ .

Se $x_0=0$ , $P_n(x)$ è detto polinomio di McLaurin di $f$ di grado $n$ .

Rimandiamo a [2] per una guida esaustiva dell’utilizzo dei polinomi di Taylor nel calcolo dei limiti e all’articolo [3] per la teoria sull’espansione di Taylor.

Poiché le funzioni elementari sono infinitamente derivabili nei loro domini, con l’esclusione di al più un numero finito di punti, a esse si applica il teorema 1 per qualsiasi $n \in \mathbb{N}$ e quindi esse possiedono polinomi di Taylor di qualunque ordine. Di seguito elenchiamo gli sviluppi di McLaurin maggiormente utilizzati nella pratica.

Per $x \rightarrow 0$ si ha:

$\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...+x^n + o(x^n)$ ;

$\displaystyle (1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{6}x^3+...+ \binom{a}{n}x^n + o(x^n)$ ;

$\displaystyle \sqrt{1+x}= 1+\frac{1}{2}x -\frac{1}{8}x^2 +\dfrac{x^3}{16}+ ... + (-1)^{n-1} \frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^{n} + o(x^{n+1})$ ;

$\displaystyle e^x = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}...+ \frac{x^n}{n!} + o(x^{n})$ ;

$\displaystyle a^x = 1+x\ln(a)+\frac{x^2}{2}\ln^2(a)+\frac{x^3}{6}\ln^3(a)...+ \frac{x^n}{n!} \ln^n(a) + o(x^{n}), \quad \text{per } a>0;$

$\displaystyle \ln(1+x)= x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}+... + (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} + o(x^n);$

$\displaystyle \sin x =x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+...+ \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + o(x^{2n+1});$

$\displaystyle \cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+...+ \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + o(x^{2n});$

$\displaystyle \tan x = x+\frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15} x^5 + \frac{17}{315} x^7 + \frac{62}{2835} x^9 + o(x^{9});$

$\displaystyle \arcsin x = x+\frac{x^3}{6}+\frac{3}{40}x^5+...+\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}+ o(x^{2n+1})$ ;

$\displaystyle \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x = \frac{\pi}{2} - x - \frac{x^3}{6} - \frac{3}{40}x^5 - \ldots - \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n + 1)} x^{2n + 1} +$ $+o(x^{2n+1});$

$\displaystyle \arctan x = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5} -\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1})$ ;

$\displaystyle \sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 +o(x^6)$ ;

$\displaystyle \csc x = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120} x^5 + o(x^5)$ ;

$\displaystyle \cot x = \frac{1}{x} -\frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2}{945}x^5 + o (x^5)$ ;

$\displaystyle \sinh x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\frac{x^7}{5040}+...+ \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$ ;

$\displaystyle \cosh x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^6}{720}+...+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$ ;

$\displaystyle \tanh x=x-\frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15} x^5 - \frac{17}{315} x^7 + \frac{62}{2835} x^9 + o(x^{9})$ ;

$\displaystyle \text{settsinh} x= x-\frac{x^3}{6}+\frac{3}{40}x^5+...+(-1)^n\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}+ o(x^{2n+1})$ ;

$\displaystyle \text{setttanh} x = x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5} +\frac{x^7}{7}+...+\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1})$ ;

$\displaystyle -\ln\left(1-x\right)=x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^5}{5}+\dots+\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+o\left(x^{n+1}\right).$

Riferimenti bibliografici

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[1] Qui Si Risolve, Teoria sui limiti.

[2] Qui Si Risolve, Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso.

[3] Qui Si Risolve, Espansione di Taylor – teoria.

[4] Qui Si Risolve, Limiti con Taylor.

[5] Qui Si Risolve, Limiti di successioni – Esercizi con i polinomi di Taylor.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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