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Limiti di funzione svolti con Taylor

Limiti di funzione con Taylor

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sul calcolo dei limiti svolti con Taylor! In questo articolo proponiamo ben 91 esercizi su questo argomento centrale nell’analisi delle funzioni di una variabile, ovvero su come sfruttare l’approssimazione di funzioni mediante i polinomi di Taylor nel calcolo dei limiti. L’idea centrale soggiacente è in fondo semplice: poiché i limiti di rapporti tra polinomi sono estremamente semplici da calcolare, si cerca di approssimare delle funzioni arbitrarie con dei polinomi che risultino a esse equivalenti nel calcolo dei limiti. Così facendo, si è virtualmente in grado di semplificare il calcolo di qualsiasi limite.
Questa tecnica così limpida richiede però molta pratica per essere compresa a fondo e applicata in maniera corretta. In questa serie di esercizi vogliamo appunto offrire al lettore numerosi esempi di difficoltà e natura estremamente varia sul calcolo dei limiti con Taylor.
Gli esercizi sono completamente risolti, così che il lettore possa confrontare le sue soluzioni con quelle da noi fornite, per un apprendimento al massimo dell’efficacia.

Oltre alla nostra guida Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso, consigliamo le seguenti risorse teoriche di riferimento:

Come ulteriore materiale pratico, segnaliamo la raccolta Limiti di successioni con Taylor.

Buona lettura!

 

Sommario

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Questa dispensa presenta 91 esercizi dedicati alla risoluzione di limiti mediante l’applicazione del teorema di Taylor. Il teorema di Taylor costituisce un pilastro fondamentale dell’analisi matematica moderna, consentendo di approssimare una funzione sufficientemente differenziabile con un polinomio di grado e coefficienti adeguati, a qualsiasi ordine desiderato. Questa approssimazione è uno strumento potentissimo, poiché permette di semplificare notevolmente il calcolo di limiti altrimenti complessi, riducendo l’espressione iniziale a un problema più gestibile grazie all’uso di polinomi.

L’utilizzo del teorema di Taylor nell’ambito dei limiti è immediato: limiti che, a prima vista, possono apparire difficili da trattare, possono essere risolti efficacemente tramite l’approssimazione delle funzioni coinvolte con polinomi, semplificando le espressioni e portando a un risultato più chiaro e trattabile. Un obiettivo di questa dispensa è infatti esercitare lo studente nell’applicazione pratica del teorema di Taylor per la risoluzione di limiti, aiutandolo a sviluppare una comprensione profonda del metodo. Un aspetto cruciale di questo processo consiste nell’identificare correttamente il grado fino al quale espandere la funzione tramite la serie di Taylor, così da ottenere un’approssimazione adeguata ai fini del calcolo del limite.

Gli esercizi presentati sono strutturati in modo da guidare lo studente passo dopo passo, iniziando con esempi semplici e progressivamente affrontando problemi di maggiore complessità, affinando così le abilità richieste. Alcuni degli esercizi più complessi, prevedono un’applicazione del Teorema di Taylor in contesti meno convenzionali, offrendo un’opportunità per esplorare la versatilità del teorema in differenti tipologie di problemi analitici.

Per un approfondimento ulteriore del teorema di Taylor e delle sue applicazioni, si consiglia di consultare anche la guida Espansione di Taylor – Istruzioni per l’uso, che offre una trattazione dettagliata e complementare ai contenuti qui proposti.


 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Giulio Binosi, Sara Sottile.


 
 

Limiti svolti con Taylor: richiami di teoria

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Definizione 1.1 (o-piccolo). Siano f:A\subseteq \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g:B\subseteq \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} e x_0\in \mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} un punto di accumulazione per A\cap B. Allora vale:

\[ f(x)=o\left(g\left(x\right)\right)\quad \text{per}\,\, x \rightarrow x_0 \quad \Leftrightarrow \quad \displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=0.\]

Teorema 1.2 (teorema di Taylor con il resto nella forma di Peano). Sia f: (a,b) \to \mathbb{R} una funzione reale, derivabile n volte in (a,b), e x_0 \in (a,b). Allora, \forall x \in (a,b), si ha:

\[f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n+o\left(\left(x-x_0\right)^n\right).\]

Più precisamente, possiamo scrivere

(1) \begin{equation*} f(x) = P_n(x) + R_n(x;x_0), \end{equation*}

dove

\[\begin{aligned} P_n(x) &=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n\\ &= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \end{aligned}\]

è un polinomio di grado al più n, che prende il nome di polinomio di Taylor di f(x) centrato in x_0, e

(2) \begin{equation*} R_n(x;x_o) = o((x-x_0)^n) \ \text{per $x \to x_0$} \end{equation*}

viene chiamato resto nella forma di Peano. Il polinomio di Taylor è l’unico polinomio di grado minore o uguale a n che verifica

(3) \begin{equation*} p^{(j)}_n(x_0)=f^{(j)}(x_0)\qquad \forall j, \text{ con } 0 \leqslant j \leqslant n. \end{equation*}

Quindi tutte le derivate di f fino all’ordine n valutate in x_0 sono uguali alle corrispondenti derivate di p_n, sempre calcolate in x_0.

Se in particolare x_0=0, l’espansione prende il nome di sviluppo di MacLaurin della funzione f.

Teorema 1.3 (formula di Taylor con il resto nella forma di Lagrange). Sia x_0 \in (a,b) e sia f: (a,b) \to \mathbb{R} una funzione reale n volte derivabile in (a,b). Consideriamo un punto x_0 \in (a,b) ed assumiamo che esista f^{(n+1)}(x) per ogni x \in (a,b)\setminus \{x_0 \}. Allora per ogni x \in (a,b) esiste \xi \in (x_0, x) se x>x_0 (\xi \in (x, x_0) se x_0>x) tale che

(4) \begin{equation*} R_n(x; x_0)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}. \end{equation*}

In questo caso il termine R_n(x; x_0) viene detto resto nella forma di Lagrange.

\[\quad\]

Sviluppi di McLaurin di funzioni elementari:

Gli sviluppi di McLaurin sono gli sviluppi di Taylor centrati in x=0. Riportiamo di seguito i più importanti, che verranno usati negli esercizi.

Per x \rightarrow 0 si ha:

(5) \begin{equation*} a)\, \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...+x^n + o(x^n), \end{equation*}

(6) \begin{equation*} b)\, (1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{6}x^3+...+ \binom{a}{n}x^n + o(x^n) \end{equation*}

(7) \begin{equation*} c)\, \sqrt{1+x}= 1+\frac{1}{2}x -\frac{1}{8}x^2 +\dfrac{x^3}{16}+ ... + (-1)^{n-1} \frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^{n} + o(x^{n+1}) \end{equation*}

(8) \begin{equation*} d)\, e^x = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}...+ \frac{x^n}{n!} + o(x^{n}) \end{equation*}

(9) \begin{equation*} e)\, a^x = 1+x\ln(a)+\frac{x^2}{2}\ln^2(a)+\frac{x^3}{6}\ln^3(a)...+ \frac{x^n}{n!} \ln^n(a) + o(x^{n}), \quad \text{per } a>0 \end{equation*}

(10) \begin{equation*} f)\, \ln(1+x)= x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}+... + (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} + o(x^n) \end{equation*}

(11) \begin{equation*} g)\,\sin x =x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+...+ \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + o(x^{2n+1}) \end{equation*}

(12) \begin{equation*} h)\,\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+...+ \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + o(x^{2n}) \end{equation*}

(13) \begin{equation*} i)\,\tan x = x+\frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15} x^5 + \frac{17}{315} x^7 + \frac{62}{2835} x^9 + o(x^{9}) \end{equation*}

(14) \begin{equation*} l)\, \arcsin x = x+\frac{x^3}{6}+\frac{3}{40}x^5+...+\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}+ o(x^{2n+1}) \end{equation*}

(15) \begin{equation*} m)\, \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x= \frac{\pi} {2} - x-\frac{x^3}{6}-\frac{3}{40}x^5-...-\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}+ o(x^{2n+1}) \end{equation*}

(16) \begin{equation*} n)\, \arctan x = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5} -\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1}) \end{equation*}

(17) \begin{equation*} o)\,\sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 +o(x^6) \end{equation*}

(18) \begin{equation*} p)\, \csc x = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120} x^5 + o(x^5) \end{equation*}

(19) \begin{equation*} q) \cot x = \frac{1}{x} -\frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2}{945}x^5 + o (x^5) \end{equation*}

(20) \begin{equation*} r)\, \sinh x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\frac{x^7}{5040}+...+ \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1}) \end{equation*}

(21) \begin{equation*} s)\,\cosh x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^6}{720}+...+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n}) \end{equation*}

(22) \begin{equation*} t)\, \tanh x=x-\frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15} x^5 - \frac{17}{315} x^7 + \frac{62}{2835} x^9 + o(x^{9}) \end{equation*}

(23) \begin{equation*} u)\, \text{settsinh} = x-\frac{x^3}{6}+\frac{3}{40}x^5+...+(-1)^n\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}+ o(x^{2n+1}) \end{equation*}

(24) \begin{equation*} v)\,\text{setttanh} x = x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5} +\frac{x^7}{7}+...+\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1}) \end{equation*}

(25) \begin{equation*} z)\,-\ln\left(1-x\right)=x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^5}{5}+\dots+\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+o\left(x^{n+1}\right) \end{equation*}

Teorema 1.4 (teorema Ponte). Sia F : D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione reale e sia x_0 un punto di accumulazione per D. Si ha

\[ \lim_{x \to x_0} F(x) = L \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}, \]

se e solo se per ogni successione \{x_n\} a valori in D tale che

\[ \lim_{n \to +\infty} x_n = x_0 \]

e x_n \neq x_0 definitivamente, si ha

\[ \lim_{n \to +\infty} F(x_n) = L. \]

\[\quad\]


 
 

Limiti svolti con Taylor: Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite, se esiste:

\[\lim_{x\to0}\dfrac{2-x^2-2\cos x}{x^4}.\]

Svolgimento.

Applichiamo lo sviluppo di Taylor (12), per x\to 0 fino al quarto grado per via del denominatore

\[\begin{aligned} \lim_{x\to0}\dfrac{2-x^2-2\cos x}{x^4}=\lim_{x\to0}\dfrac{2-x^2-2\left(1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24} \right)+o(x^4)}{x^4}=\lim_{x\to0} \dfrac{-\dfrac{x^4}{12}+o(x^4)}{x^4}=-\dfrac{1}{12}.\end{aligned}\]

Concludiamo dunque

\[\boxcolorato{analisi}{\lim_{x\to0}\dfrac{2-x^2-2\cos x}{x^4}=-\dfrac{1}{12}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite, se esiste:

(26) \begin{equation*} \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{2-e^x-e^{-\sin x}}{x^2}. \end{equation*}

Svolgimento.

Utilizzando (11) e (8) possiamo riscrivere il numeratore come

\[\begin{aligned} 2-e^x-e^{-\sin x}&=2-\left(1+x+\dfrac{x^2}{2} \right)-e^{-x+o(x)}=2-\left(1+x+\dfrac{x^2}{2} \right)-\left(1-x+\dfrac{x^2}{2} \right)+o(x^2)=\\ &=-x^2+o(x^2) \end{aligned}\]

Tornando al limite si ha

\[\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{2-e^x-e^{-\sin x}}{x^2}=\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{-x^2+o(x^2)}{x^2}=-1\]

e quindi concludiamo che il limite esiste finito e vale quanto segue

\[\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{2-e^x-e^{-\sin x}}{x^2}=-1. }\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite, se esiste:

\[\displaystyle\lim_{x\to0} \dfrac{\sin(e^x-1)-x-\dfrac{x^2}{2}}{x^4}.\]

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