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Esercizi sulla derivabilità

Punti di non derivabilità nel calcolo differenziale

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Esercizi sulla derivabilità

\[\quad\]

In questo articolo presentiamo 11 esercizi sullo studio della derivabilità e classificazione dei punti di non derivabilità per funzioni reali di variabile reale. I problemi sono preceduti da alcuni richiami di teoria e sono completamente svolti, per consentire al lettore un istruttivo confronto tra le proprie soluzioni e quelle da noi proposte. La raccolta è quindi indicata per tutti coloro che desiderano approfondire le questioni di derivabilità per le funzioni reali di variabile reale, in particolare per studenti dei corsi di Analisi Matematica 1. Auguriamo a tutti una piacevole lettura!

Oltre alla nostra dispensa di teoria sulle derivate e l’articolo Calcolo delle derivate: la guida pratica, consigliamo le nostre raccolte di esercizi:

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Sommario

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Questa dispensa si focalizza sullo studio della derivabilità delle funzioni all’interno del loro dominio di definizione. Nonostante la consegna degli esercizi sia ripetitiva, le soluzioni variano in base alla natura delle funzioni considerate. In tutti i casi, le funzioni proposte risultano derivabili in insiemi aperti, e tale proprietà viene dimostrata sfruttando il principio secondo cui la derivabilità si conserva nelle composizioni di funzioni derivabili. Di conseguenza, i punti di non derivabilità formano un sottoinsieme chiuso della retta reale, tipicamente discreto.

Nei punti in cui la funzione non è derivabile, è necessario dimostrare esplicitamente la non derivabilità utilizzando la definizione stessa di derivata. Questo viene fatto calcolando il limite del rapporto incrementale centrato nei punti in questione e dimostrando che tale limite non esiste o non è finito. I richiami teorici all’inizio della dispensa guidano lo studente nell’applicazione corretta di queste tecniche.

Le funzioni elementari trattate, che presentano tipicamente punti di non derivabilità, includono il valore assoluto, le radici con indice arbitrario e la funzione arcoseno, permettendo allo studente di esplorare una varietà di casi significativi.


 
 

Autori e revisori

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Autori: Donato Ciampa

Revisori: Giulio Bonosi, Matteo Talluri, Valerio Brunetti.


 
 

Introduzione

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Questa dispensa è dedicata allo studio della derivabilità di funzioni di una variabile reale e include esercizi focalizzati su funzioni con punti angolosi da identificare. All’inizio del documento è fornito un richiamo alla teoria pertinente. Per ulteriori approfondimenti, è possibile consultare il link Teoria sulle derivate.

 
 

Richiami di teoria

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Definizione 1.1 (derivabilità). Siano f\colon A\subseteq\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e x_{0} \in A un punto di accumulazione per A. Si dice che f è derivabile in x_{0} se esiste finito il limite del rapporto incrementale:

(1) \begin{equation*} f'(x_{0})=\lim_{x \to x_0} r_{f,x_0}(x)=\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_0}. \end{equation*}

Se f è derivabile in x_0 allora il valore f'(x_{0}) viene detto derivata di f in x_0.

Definizione 1.2 (funzione derivata prima). Sia A \subseteq \mathbb{R} e sia f\colon A \to \mathbb{R} una funzione. Diciamo che f è derivabile in A se è derivabile in x_0 per ogni x_{0} \in A. In questo caso viene ad essere definita una nuova funzione, la funzione derivata prima

\[f'\colon A \to \mathbb{R},\]

che assegna ad ogni punto x\in A la derivata f'(x) della funzione f in tale punto.

Definizione 1.3 (derivata destra e sinistra). Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} una funzione. Supponiamo che x_0 \in A sia un punto di accumulazione a destra per A. Se esiste finito il seguente limite

(2) \begin{equation*} f^\prime_+(x_0)=\lim_{h\to 0^+}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{equation*}

allora f si dice derivabile a destra in x_0 e (2) si definisce derivata destra di f in x_0. Analogamente, supponiamo che x_0 \in A sia un punto di accumulazione a sinistra per A. Se esiste finito il seguente limite

(3) \begin{equation*} f^\prime_-(x_0)=\lim_{h\to 0^-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{equation*}

allora f si dice derivabile a sinistra in x_0 e (3) si definisce derivata sinistra di f in x_0.

\[\quad\]

  • Se f_{+}^{\prime}(x_{0}) \neq f_{-}^{\prime}(x_{0}) e almeno una delle due è finita diciamo allora che x_{0} è un punto angoloso per f.

    Esempio: f(x) = |x-x_0|, x_{0} è un punto angoloso per f.

    •  

  • Se f_{+}^{\prime}(x_{0}) \neq f_{-}^{\prime}(x_{0}) e sono entrambe infinite diciamo allora che x_{0} è un punto di cuspide per f.

    Esempio: f(x) = \sqrt{|x-x_{0}|}, x_{0} è un punto di cuspide per f.

    •  

  • Se f_{+}^{\prime}(x_{0}) = f_{-}^{\prime}(x_{0}) e sono entrambe infinite diciamo allora che x_{0} è un punto a tangente verticale per f.

    Esempio: f(x) = \sqrt[3]{x-x_{0}}, x_{0} è un punto di flesso a tangente verticale per f.

Teorema 1.4 (teorema di Lagrange). Sia f:[a,b]\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} una funzione continua, che sia derivabile su (a,b). Allora esiste almeno un punto c\in(a,b) tale che

\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

\[\quad\]

Osserviamo che dal teorema di Lagrange si ottiene il seguente

Corollario 1.5. Sia f:[a,b]\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} una funzione continua, che sia derivabile su (a,b). Supponiamo che esista finito il \lim_{x\to a^+}f'(x), allora f è derivabile (a destra) in a e vale

\[ \lim_{x\to a^+}f'(x)=f_+'(a). \]

Analogamente, se esiste finito il \lim_{x\to b^-}f'(x), allora f è derivabile (a sinistra) in b e vale

\[ \lim_{x\to b^-}f'(x)=f_-'(b). \]


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire in quali punti del proprio dominio di definizione la funzione

(4) \begin{equation*} y(x)=\sqrt{\cos x+1} \end{equation*}

è derivabile e determinare la natura degli eventuali punti in cui non è derivabile.

Svolgimento.

Si osservi che la funzione è periodica di periodo 2\pi in quanto

\[\sqrt{\cos(x+2\pi)+1}=\sqrt{\cos x+1}.\]

Restringiamo quindi il nostro studio all’intervallo chiuso e limitato [0,2\pi]. Su tale intervallo l’argomento della radice risulta sempre non negativo, in quanto \cos x\geq -1 per ogni x reale. Ne segue che Dom=[0,2\pi].

La funzione è derivabile nell’insieme [0,2\pi]\setminus\{\pi\} in quanto somma e composizione di funzioni derivabili. Rimane da studiare il punto x=\pi. Per verificare se la funzione sia derivabile in x=\pi, calcoliamo il limite del rapporto incrementale destro e sinistro in tale punto. Abbiamo

\[\lim_{x\rightarrow\pi^{\pm}}\dfrac{y(x)-y(\pi)}{x-\pi}= \lim_{x\rightarrow\pi^{\pm}}\dfrac{\sqrt{\cos x+1}-0}{x-\pi}.\]

Applichiamo la sostituzione x-\pi=t: ne segue che per x\rightarrow\pi^{\pm}, t\rightarrow 0^{\pm} e quindi il limite diventa

\[\begin{aligned} \lim_{t \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\sqrt{\cos(t + \pi) + 1}}{t} &= \lim_{t \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\sqrt{1 - \cos t}}{t} \\ &= \lim_{t \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\sqrt{t^2/2}}{t} \\ &= \lim_{t \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\frac{|t|}{\sqrt{2}}}{t} \\ &= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{t}{t \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \displaystyle \lim_{t \rightarrow 0^{-}} \frac{-t}{t \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right.. \end{aligned}\]

Poiché i due limiti non coincidono, ne segue che la funzione non è derivabile in x=\pi in cui presenta un punto angoloso.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire in quali punti del proprio dominio di definizione la funzione

(5) \begin{equation*} y(x)=\frac{e^{|x|}-1}{x+1} \end{equation*}

è derivabile e determinare la natura degli eventuali punti in cui non è derivabile.

Svolgimento.

La funzione in questione è ovviamente definita per tutti i punti dell’asse reale eccetto -1 in cui il denominatore si annulla: quindi Dom=(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty). Si osservi che, non potendosi estendere la funzione per continuità nel punto -1 (i limiti destro e sinistro tendono a infinito in tale punto) la funzione sarà ovviamente non derivabile in esso (e, in ogni caso, il punto resta escluso dal dominio di definizione quindi non ha senso studiare la derivabilità in tale punto). La funzione è derivabile nell’insieme Dom(y)\setminus\{0\} in quanto somma, rapporto e composizione di funzioni derivabili. Rimane da studiare il punto x=0. Calcoliamo allora il limite del rapporto incrementale destro e sinistro. Abbiamo

\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0^{\pm}} \frac{y(x) - y(0)}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0^{\pm}} \frac{\dfrac{e^{|x|} - 1}{x + 1} - 0}{x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0^{\pm}} \frac{e^{|x|} - 1}{x(x + 1)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0^{\pm}} \frac{e^{|x|} - 1}{x} \\ &= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \\ \\ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{e^{-x} - 1}{x} = -\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{e^{-x} - 1}{-x} = -1 \end{array} \right.. \end{aligned}\]

Ne segue che la funzione non è derivabile in x=0 in quanto presenta un punto angoloso.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire in quali punti del proprio dominio di definizione la funzione

(6) \begin{equation*} y(x)=\arcsin(1-x^2) \end{equation*}

è derivabile e determinare la natura degli eventuali punti in cui non è derivabile.

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