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Esercizio sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate – 3

Esercizi sul teorema di Weierstrass con l'uso delle derivate

Home » Esercizio sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate – 3

In questo terzo articolo della raccolta Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate studiamo l’applicabilità del teorema a 4 funzioni definite in alcuni insiemi, e ne ricerchiamo i punti di massimo e di minimo mediante l’uso delle derivate. Segnaliamo anche il precedente esercizio sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate – 2 e il successivo esercizio sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate – 4 per ulteriore materiale sul medesimo tema.

 

Richiami teorici

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Ricordiamo i principali risultati teorici utilizzati nella soluzione dell’esercizio. Per le dimostrazioni e approfondimenti della teoria, rimandiamo agli articoli Funzioni continue – Teoria e Teoria sulle derivate.

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti. Sia f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione. M\in \mathbb{R} si dice massimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

\[f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo M = \max_A f e x_0 si dice punto di massimo per f.

Analogamente, m\in \mathbb{R} si dice minimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

\[f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo m=\min_A f e x_0 si dice punto di minimo per f.

 

Un punto x_0 può non essere di massimo o di minimo assoluto per f, ma può esserlo se restringiamo f a un intorno di x_0. Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali. Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione. x_0\in A si dice punto di massimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

\[f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

Analogamente, x_0\in A si dice punto di minimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

\[f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

 

Teorema di Weierstrass.  Siano a, b \in \mathbb{R}, con a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in [a,b] tali che

\[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

 

Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1. Valgono le seguenti proprietà:

  • Ogni funzione polinomiale P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua.
  • La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua.
  • La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per x \in \mathbb{R} è continua.
  • Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua.
  • Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua.
  • Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua.
  • La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua.
  • La funzione f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right] definita da f(x) = \arccos x per x \in [-1,1] è continua.
  • La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua.

 

La prossima proposizione riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2. Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora

  • La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni continue.
  • Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}.
  • Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.
  • Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

 

Il teorema che segue ci permette di identificare i punti di massimo o minimo locale per funzioni derivabili.

Teorema di Fermat. Sia f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e sia x_0\in (a,b). Supponiamo che f sia derivabile in x_0 e che x_0 sia un punto di massimo o minimo locale per f. Allora f'(x_0)=0.

  Da questo risultato segue dunque che i punti di massimo o minimo di una funzione f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} sono da ricercare tra i punti interni stazionari e negli estremi dell’intervallo.

Riassumiamo infine i risultati sulla derivabilità delle operazioni tra funzioni derivabili:

Proposizione 3. Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni derivabili. Valgono le seguenti proprietà:

  • La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni derivabili e vale

    \[\begin{aligned} (f+g)'(x) =& f'(x)+g'(x), \qquad \forall x \in A,\\ (f\cdot g)'(x) =& f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x), \qquad \forall x \in A. \end{aligned}\]

  • Il quoziente \frac{f}{g} è derivabile nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\} e vale

    \[\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \qquad \forall x \in A^*.\]

  • Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è derivabile in x_0\in A e g è derivabile in y_0 \coloneqq f(x_0), allora la funzione composta g \circ f è derivabile in x_0 e vale

    \[(g \circ f)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g'(f(x_0)).\]

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 3  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Stabilire se le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate per le seguenti funzioni f \colon D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, dove D rappresenta il campo di esistenza di ciascuna funzione, negli intervalli dati A. In caso affermativo, calcolarne massimo e minimo assoluti.

\[\begin{aligned} 1. & \quad f(x) = \tan x, \qquad A=\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right];\\ 2. & \quad f(x) = \begin{cases} x^2 \quad & x \le 1 \\ x+1 \quad & x >1 \end{cases}, \qquad A=[0,3];\\ 3. & \quad f(x) = x^3-3x+2, \qquad A=[-3,0]; \\ 4. & \quad f(x) = -x - \dfrac{4}{x}+6, \qquad A=[-3,-1].\\ \end{aligned}\]

 

Svolgimento punto 1.

Studiamo l’espressione

\begin{equation*} f(x)=\tan x \qquad \text{su } A=\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]. \end{equation*}

Osserviamo che il campo di esistenza della funzione f è dato dall’insieme

\[\left\{ x\in \mathbb{R} \; \colon \; x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, \; k \in \mathbb{Z}\right\}.\]

Segue che f è ben definita nell’intervallo chiuso e limitato A ed inoltre è continua per la proposizione 2; le ipotesi del teorema di Weierstrass sono dunque verificate. La funzione f è rappresentata in figura 1.

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Figura 1: rappresentazione della funzione dell’esercizio 1.

 

Poiché la funzione tangente è strettamente crescente, segue che i punti di massimo e minimo assoluti di f sono assunti agli estremi dell’intervallo, cioè

\[f(0) = 0, \quad f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \quad \Longrightarrow \quad \min_{A}f(x)=f(0) = 0, \quad \max_{A}f(x)=f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.\]

Svolgimento punto 2.

Studiamo l’espressione

\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x^2 \quad & x \le 1 \\ x+1 \quad & x >1 \end{cases}, \qquad A=\left[0,3\right]. \end{equation*}

Osserviamo che la funzione f è continua negli intervalli [0,1) e (1,3) per la proposizione 2. Resta da verificare la continuità nel punto x=1:

\[\begin{aligned} \lim_{x\to 1^-} f(x) &= 1=f(1), \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) &= 2. \end{aligned}\]

Segue che funzione f non è continua in nel punto 1, dunque le ipotesi del teorema di Weierstrass non sono verificate nell’intervallo dato A. La funzione f è rappresentata in figura 2.

 

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Svolgimento punto 3.

Studiamo l’espressione

\begin{equation*} f(x) = x^3-3x+2, \qquad A=\left[-3,0\right]. \end{equation*}

La funzione f ha come campo di esistenza \mathbb{R}. Inoltre f è una funzione polinomiale e dunque continua per la proposizione 1. Segue che f ben definita nell’intervallo chiuso e limitato A ed ivi continua, dunque le ipotesi del teorema di Weierstrass ed f ammette massimo e minimo assoluti in [-3,0]. La funzione f è rappresentata in figura 3.

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Figura 3: rappresentazione della funzione dell’esercizio 3.

Utilizziamo il teorema di Fermat per trovare i punti di massimo e minimo locale di f. Per la proposizione 3 si ha che la funzione f è derivabile e la sua derivata è

\[f'(x) = 3x^2- 3 = 0 \Longleftrightarrow x_{1,2} = \pm 1.\]

Poiché il punto x=1\notin [-3,0] e ricordando che il teorema di Fermat fornisce informazione sui massimi e minimi locali nell’interno dell’intervallo, valutiamo la funzione negli estremi del dominio dato e nel punto x=-1:

\[f(-3) = - 16, \quad f(-1) =4, \quad f(0) = 2.\]

Segue dunque che

\[\min_{A}f(x) = f(-3)=-16, \qquad \max_{A}f(x)=f(-1) = 4.\]

Svolgimento punto 4.

Studiamo l’espressione

\begin{equation*} f(x) =-x-\dfrac{4}{x}+6 , \qquad A=\left[-3,-1\right]. \end{equation*}

Osserviamo che la funzione f ha come campo di esistenza \mathbb{R}\setminus \{0\}, dunque è ben definita sull’intervallo chiuso e limitato A. Inoltre f è una funzione continua per le proposizioni 1 e 2. Segue che le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate ed f ammette massimo e minimo assoluto in [-3,-1]. La funzione f è rappresentata in figura 4.

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Figura 4: rappresentazione della funzione dell’esercizio 4.

 

Per la proposizione 3 la funzione f è derivabile, dunque procediamo al calcolo della derivata di f per applicare il teorema di Fermat. Per la proposizione 3 la derivata di f è

\[f'(x) = -1 + \dfrac{4}{x^2},\]

da cui

\[f'(x) = 0 \Longleftrightarrow 4 - x^2 = 0 \Longleftrightarrow x_{1,2} = \pm 2.\]

Poiché il punto 2 \notin [-3,-1], segue che l’unico punto interno stazionario per f è x=-2. Ricordando che il teorema di Fermat fornisce informazioni solo sui punti interni stazionari, valutiamo dunque la funzione nel punto trovato e agli estremi dell’intervallo:

\[f(-3) = \dfrac{31}{3}, \qquad f(-2) = 10, \qquad f(-1) = 11.\]

Segue dunque che f assume minimo e massimo assoluti negli estremi del dominio e

\[\min_{A} f(x) = f(-2)=10, \qquad \max_{A}f(x)=f(-1) = 11.\]

 
 

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