Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Calcolo delle derivate: esercizi svolti

Calcolo delle derivate

Home » Calcolo delle derivate: esercizi svolti

Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sul calcolo delle derivate: in questo articolo presentiamo 18 esercizi su questo importante tema, ognuno dei quali si compone di 6 derivate da calcolare. Gli esercizi sono completamente risolti e tutti i passaggi sono giustificati dai risultati riportati nei richiami teorici, al fine di offrire la massima chiarezza al lettore.

Questi esercizi sono particolarmente indicati per studenti delle scuole superiori e dei corsi di Analisi Matematica 1, che desiderano fare pratica con questo importante strumento dalle innumerevoli applicazioni.

Tutto il materiale teorico di riferimento può essere reperito nella nostra esaustiva guida Teoria sulle derivate, mentre segnaliamo le seguenti ulteriori risorse:

Buona lettura!

 

Sommario

Leggi...

In questo articolo vengono presentati esercizi elementari sull’applicazione diretta delle regole e delle tecniche di derivazione.

 
 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Valerio Brunetti, Donato Ciampa, Francesco Tamberi, Sara Sottile.

Revisori: Matteo Talluri, Silvia Lombardi.


 
 

Notazioni

Leggi...

\mathbb{R}      insieme dei numeri reali;
f'      derivata della funzione f;
\log(\cdot)      logaritmo naturale.


 
 

Richiami teorici

Leggi...

Richiamiamo di seguito i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per la giustificazione di tali risultati e una trattazione teorica approfondita, si rimanda alla dispensa di teoria sulle derivate [1].

Definizione 1.1. Sia f: A\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}. Dato x_{0} \in A un suo punto di accumulazione, si dice che f è derivabile in x_{0} se esiste ed è finito il seguente limite:

\begin{equation*}\label{derivabilità} \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}. \end{equation*}

Se tale limite esiste finito si indica con f'(x_{0}) e viene detto derivata di f in x_{0}.

Inoltre, f si dice derivabile in A se è derivabile in ogni punto di A. In tal caso si definisce una funzione f' \colon A \to \mathbb{R}, chiamata derivata prima di f, tale che a ogni x\in A associa la derivata f'(x) di f in x.

\[\quad\]

Una volta calcolate le derivate di alcune funzioni elementari mediante la definizione, le derivate di loro combinazioni come somme, prodotti, composizioni e inverse possono essere ottenute da queste mediante delle regole di calcolo generali. In questo articolo ci accingiamo ad affrontare il calcolo delle derivate di somme delle funzioni elementari le cui derivate riportiamo di seguito. Rimandiamo a [1, Sez. 2.1] per le dimostrazioni di queste formule, valide nei rispettivi insiemi di definizione delle funzioni in esame.

\[\quad\]

(1) \begin{equation*} & f(x)=k,\;k\in\mathbb{R} & \quad \quad &f^\prime(x)=0\\[0.2em] \end{equation*}

(2) \begin{equation*} & f(x)=x & \quad \quad &f^\prime(x)=1\\[0.2em] \end{equation*}

(3) \begin{equation*} & f(x)=x^\alpha,\,\alpha \in \mathbb{R} & \quad \quad &f'(x)=\alpha\,x^{\alpha-1}\\[0.2em] \end{equation*}

(4) \begin{equation*} & f(x)=e^x & \quad \quad &f'(x)=e^x\\[0.2em] \end{equation*}

(5) \begin{equation*} & f(x)=a^x,\,a>0,\,a\neq 1 & \quad \quad &f'(x)=a^x\log(a)\\[0.2em] \end{equation*}

(6) \begin{equation*} & f(x)=\log(x) & \quad \quad &f'(x)=\dfrac{1}{x}\\[0.2em] \end{equation*}

(7) \begin{equation*} & f(x)=\log_a(x),\,a>0,\,a\neq 1 & \quad \quad &f'(x)=\dfrac{1}{x}\log_a(e)\\[0.2em] \end{equation*}

(8) \begin{equation*} & f(x)=\sin(x) & \quad \quad &f'(x)=\cos(x)\\[0.2em] \end{equation*}

(9) \begin{equation*} & f(x)=\cos(x) & \quad \quad &f'(x)=-\sin(x)\\[0.2em] \end{equation*}

(10) \begin{equation*} & f(x)=\tan(x) & \quad \quad &f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\\[0.2em] \end{equation*}

(11) \begin{equation*} & f(x)=\cot(x) & \quad \quad &f'(x)=-\dfrac{1}{\sin^2(x)}\\[0.2em] \end{equation*}

(12) \begin{equation*} & f(x)=\arcsin(x) & \quad \quad &f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[0.2em] \end{equation*}

(13) \begin{equation*} & f(x)=\arccos(x) & \quad \quad &f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[0.2em] \end{equation*}

(14) \begin{equation*} & f(x)=\arctan(x) & \quad \quad &f'(x)=\frac{1}{1+x^2}. \end{equation*}

\[\quad\]

Riassumiamo i risultati sulla derivabilità delle operazioni tra funzioni derivabili.

Proposizione 1.2. Sia A \subseteq \mathbb{R}, siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni derivabili e siano \alpha, \beta \in \mathbb{R}. Allora la funzione \alpha f + \beta g è derivabile e vale

\[(\alpha f+ \beta g)'(x) = \alpha f'(x) + \beta g'(x) \qquad \forall x \in A.\]

In particolare si ha

\[(\alpha f)'(x)= \alpha f'(x), \quad (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x) \qquad \forall x \in A.\]

Proposizione 1.3. Sia A \subseteq \mathbb{R} e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni derivabili. Allora il prodotto f\cdot g è una funzione derivabile e si ha:

\[(f\cdot g)'(x) = f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x), \qquad \forall x \in A.\]

Proposizione 1.4. Sia A \subseteq \mathbb{R} e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni derivabili. Allora il quoziente \frac{f}{g} è una funzione derivabile nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\} e si ha:

\[\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \qquad \forall x \in A^*.\]

\[\quad\]

Dalla proposizione 1.4 deriva il seguente risultato sulla derivata del reciproco di una funzione.

Proposizione 1.5. Sia A \subseteq \mathbb{R} e siano f \colon A \to \mathbb{R} una funzione derivabile. Allora il reciproco \dfrac{1}{f} è una funzione derivabile nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : f(x) \neq 0\} e si ha:

\[\left(\frac{1}{f}\right)'(x) = - \dfrac{f'(x)}{f^2(x)} \qquad \forall x \in A^*.\]

\[\quad\]

Il seguente risultato fornisce informazioni sulla derivabilità della funzione composta di due funzioni.

Proposizione 1.6. Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è derivabile in x_0\in A e g è derivabile in f(x_0), allora la funzione composta g \circ f è derivabile in x_0 e si ha:

\[(g \circ f)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g'(f(x_0)).\]

\[\quad\]

Dalla proposizione 1.6 seguono i seguenti risultati.

Proposizione 1.7. Sia f \colon A \subseteq \mathbb{R}\to (0,+\infty) una funzione derivabile. Allora

\[\quad\]

  1. La funzione f^\alpha, con \alpha \in \mathbb{R} è derivabile e vale

    \[(f^\alpha)'(x) = \alpha \cdot f^{\alpha-1}(x) \cdot f'(x) \qquad \forall x \in A.\]

    2.  

  2. Se g\colon A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} è derivabile, allora f^g è derivabile e vale

    \[(f^g)'(x) = f(x)^{g(x)}\left[g^\prime(x)\log f(x)+g(x)\dfrac{f^\prime(x)}{f(x)}\right] \qquad \forall x \in A.\]

\[\quad\]

Osserviamo che il punto 2. della proposizione 1.7 si ottiene a partire dalla scrittura

\[f(x)^g(x) = e^{g(x)\log(f(x))}\]

a cui si applica la proposizione 1.7.

Il seguente risultato ci permette di calcolare la derivata della funzione inversa di una funzione invertibile senza conoscere l’espressione di tale inversa.

Proposizione 1.8. Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}. Supponiamo che f sia invertibile e sia x_0 \in A tale che f'(x_0)\neq 0. Allora f^{-1} è derivabile nel punto y_0\coloneq f(x_0) e vale

\[\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)}.\]

\[\quad\]

Richiamiamo ora la definizione di derivate di ordine successivo.

Definizione 1.9. Sia f \colon A \subseteq \mathbb{R}\to (0,+\infty) una funzione e sia n\in \mathbb{N} un intero positivo. Posto A_n \coloneqq \{ x \in A \colon \exists f^{(n)}(x) \}, si definisce derivata n-esima di f la funzione

\[f^{(n)} \colon A_n \to \mathbb{R} \quad \text{tale che} \quad x \longmapsto f^{(n)}.\]

\[\quad\]

Concludiamo la sezione richiamando le derivate di funzioni in due variabili.

Definizione 1.10. Siano A \subseteq \mathbb{R}^2 un insieme aperto e f \colon A \to (0,+\infty) una funzione di due variabili. Dato P_0 \coloneqq (x_0,y_0)\in A un suo punto di accumulazione, si dice che f è parzialmente derivabile rispetto ad x in P_0 se esiste ed è finito il seguente limite:

\[\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h, y_0) - f(x_0,y_0)}{h}.\]

Tale derivata si indica con f'_x(P_0) e viene detta derivata parziale di f rispetto a x in P_0.

Analogamente, si dice che f è parzialmente derivabile rispetto ad y in P_0 se esiste ed è finito il seguente limite:

\[\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0, y_0+h) - f(x_0,y_0)}{h}.\]

Tale derivata si indica con f'_y(P_0) e viene detta derivata parziale di f rispetto a y in P_0.

\[\quad\]


 
 

Testi degli esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

\[\begin{aligned} 1.\; & f(x)=3\cdot 5^x&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 2. \; & f(x)=4 \log_3(x)&\qquad \forall x \in (0,+\infty);\\ 3. \; & f(x)= \sin x - 2 \cos x + 1&\qquad \forall x \in \mathbb{R}; \\ 4. \; & f(x)=2x- \frac{1}{2}+2^x&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 5. \; & f(x)=x^3+4x+1&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 6. \; & f(x)=x^5 - 4x^3 +2x -3&\qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{aligned}\]

Svolgimento.

1. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (5) si ha:

\[f'(x) = (3\cdot 5^x)' = 3 \cdot (5^x)' = 3 \log(5)\cdot 5^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.\]

2. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (7) si ha:

\[f'(x) = (4\log_3(x))= 4 (\log_3(x))' = 4 \log_3(e) \cdot \dfrac{1}{x} \qquad \forall x \in (0,+\infty).\]

3. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (1), (8) e (9) si ha:

\[f'(x) = (\sin x)' - 2 \cdot (\cos x)' + (1)' = \cos x + 2 \sin x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.\]

4. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (1), (2) e (5) si ha:

\[f'(x) = 2\cdot(x)' - \left(\dfrac{1}{2}\right)' + (2^x)' = 2 + \log(2)\cdot 2^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.\]

5. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (1), (2) e (3) si ha:

\[f'(x) = (x^3)' + 4\cdot (x)' + (1)' = 3 x^2 + 4 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.\]

6. Utilizzando la proposizione 1.2 e applicando (1), (2) e (3) si ha:

\[f'(x) = (x^5)' - 4 \cdot(x^3)' + 2\cdot(x)' - 3 = 4x^4 - 12 x^2 +2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare la derivata delle funzioni definite dalle seguenti espressioni negli insiemi indicati.

\[\begin{aligned} 1.\; & f(x)=\sqrt[5]{x}-3x^3&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 2. \; & f(x)=\dfrac{2}{x^4}-\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{1}{x^2}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\};\\ 3. \; & f(x)= e^x-3 \log x&\qquad \forall x \in (0,+\infty); \\ 4. \; & f(x)=5\sin x + 3\cos x - 2&\qquad \forall x \in \mathbb{R};\\ 5. \; & f(x)=\dfrac{1+8x^2}{2x^3}&\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\};\\ 6. \; & f(x)=\sqrt{\sqrt{x}}-\log\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+e^4&\qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{aligned}\]

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi