Pillole teoriche integrali di linea

Forme differenziali e campi vettoriali, Integrali di linea di seconda specie, Teorema di Gauss-Green, Teoria Funzioni di più variabili

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Benvenuti nella nostra guida dedicata sugli integrali di linea delle forme differenziali. In questo articolo forniamo sia alcune basi teoriche (di tipo operativo e di facile comprensione) sia numerosi esempi ed esercizi completamente risolti, per illustrare l’applicazione pratica e i punti di forza degli strumenti teorici presentati.
Il testo è quindi un valido aiuto per appassionati e studenti dei corsi di Analisi Matematica 2 che ricercano un supporto snello ed essenziale che coniughi teoria e pratica.

Segnaliamo anche il nostro materiale su argomenti affini:

Buona lettura!

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Donato Ciampa, Silvia Lombardi.

Revisori: Giulio Binosi, Matteo Talluri, Sergio Fiorucci.

Introduzione

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Il presente lavoro è stato concepito come supporto pratico per affrontare gli esercizi relativi all’integrale di linea di seconda specie e all’analisi delle forme differenziali, con particolare attenzione ai loro domini. Nel corso dell’elaborato, si presuppone che il lettore abbia già acquisito una solida base teorica su questi argomenti, possibilmente studiando da un buon testo di riferimento¹. Pertanto, la lettura è sconsigliata a chi non possiede ancora una conoscenza teorica consolidata, poiché, essendo strutturato come guida pratica, molti concetti verranno dati per acquisiti. Verranno citati solamente i teoremi necessari alla risoluzione degli esercizi.

L’esposizione seguirà un ordine che favorisce un approccio pratico, basato sulla logica del “problem solving”, lo stesso che dovrebbe adottare uno studente durante lo svolgimento di un esercizio. Queste pillole teoriche sono particolarmente utili per un corso di studi in Ingegneria o, in generale, per chi desidera approfondire la pratica di questi problemi.

Ad esempio, si consigliano M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi matematica o E. Giusti, Analisi matematica 2. ↩

Definizioni utili

Forme differenziali.

Si ricorda la definizione di forma differenziale.

Definizione 1. Sia $\Omega$

un aperto di $\mathbb{R}^n$

e siano $F_1(x_1,\dots,x_n),\dots, F_n(x_1,\dots,x_n)$

: $\Omega\to\mathbb{R}$

delle funzioni. Si definisce forma differenziale la seguente espressione

$\omega=F_1(x_1,\dots,x_n)dx_1+\dots+F_n(x_1,\dots,x_n)dx_n=\sum_{j=1}^nF_j(x_1,\dots,x_n)dx_j,$

dove l’elemento $dx_i$ è la funzione lineare che associa ad un vettore $v=(v_1,\dots,v_n)\in\mathbb{R}^n$ la componente $v_i$ , per ogni $i=1,\dots,n$ . Le funzioni $F_1,\dots, F_n$ si dicono componenti di $\omega$ . Una forma differenziale si dice continua (rispettivamente, di classe $\mathcal{C}^k$ ) su $\Omega$ se le sue componenti sono funzioni continue (rispettivamente, di classe $\mathcal{C}^k$ ) su $\Omega$ .

$\quad$

Nel caso in cui $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ o $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ , adotteremo la seguenti notazione

$\begin{aligned} \omega&=F_1(x,y)dx+F_2(x,y)dy\\ \omega&=F_1(x,y,z)dx+F_2(x,y,z)dy+F_3(x,y,z)dz. \end{aligned}$

Diamo di seguito due definizioni fondamentali che riguardano le forme differenziale che verranno usate nel seguito di questo testo

Definizione 2. Sia $\Omega\subseteq\mathbb{R}^3$

un aperto connesso. Una forma differenziale $\omega=F_1(x,y,z)\,dx+F_2(x,y,z)\,dy+F_3(x,y,z)\,dz$

continua in $\Omega$

, associata al campo vettoriale $\textbf{F}:\Omega \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$

tale che $\textbf{F}=\left(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z)\right)$

, si dice esatta in $\Omega$

se esiste una funzione $U: \Omega \to \mathbb{R}$

, tale che $U \in \mathcal{C}^1(\Omega)$

e valga $\textbf{F} =\nabla U$

, cioè

$\begin{cases} F_1(x,y,z) = \dfrac{\partial U}{\partial x}(x,y,z)\\ \\ F_2(x,y,z) = \dfrac{\partial U}{\partial y}(x,y,z)\\ \\ F_3(x,y,z) = \dfrac{\partial U}{\partial z}(x,y,z). \end{cases}$

In particolare $U$ si definisce funzione potenziale di $\omega$ o primitiva.

Definizione 3. Sia una forma differenziale $\omega=F_1(x,y,z)\,dx+F_2(x,y,z)\,dy+F_3(x,y,z)\,dz$

. Si definisce chiusa se è soddisfatta la seguente condizione (detta condizione delle derivate incrociate)

$\begin{cases} \dfrac{\partial F_3}{\partial y}(x,y,z)=\dfrac{ F_2}{\partial z}(x,y,z)\\\\ \dfrac{\partial F_1}{\partial z}(x,y,z)=\dfrac{\partial F_3}{\partial x}(x,y,z)\\\\ \dfrac{\partial F_2}{\partial x}(x,y,z)=\dfrac{\partial F_1}{\partial y}(x,y,z). \end{cases}$

$\quad$

Con le definizioni precedenti risulta immediato verificare che una forma $\omega$ di classe $\mathcal{C}^1$ esatta è anche chiusa, in quanto si può applicare il teorema di Schwarz sulle derivate seconde miste. Nel seguito andremo invece ad analizzare quali sono le condizioni affinché una forma chiusa risulti esatta. Diamo infine la definitione di integrale di linea.

Definizione 4. Sia $\textbf{r}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n$

una curva di classe $C^1$

e sia $\omega=F_1(x_1,\dots,x_n)dx_1+\dots+F_n(x_1,\dots,x_n)dx_n$

una forma differenziale continua. Si definisce integrale curvilineo di seconda specie

$\begin{aligned} \int_{\textbf{r}}\omega&=\int_{\textbf{r}}\left(F_1dx_1+\dots+F_ndx_n\right)\\ &=\int_{a}^{b}\left(F_1\left(\textbf{r}(t)\right)r_1^\prime(t)+\dots+ F_n\left(\textbf{r}(t)\right)r_n^\prime(t)\right)\,dt. \end{aligned}$

Risultati fondamentali

Introduzione.

Quando si ha a che fare con un integrale di linea di seconda specie di una forma differenziale o di un campo vettoriale, a seconda del linguaggio scelto, la prima cosa che al lettore viene spontanea fare è applicare la definizione: in realtà questa non è sempre la strada migliore da intraprendere. La prima cosa che è necessario fare è verificare se la forma differenziale sia chiusa oppure no.

Forma differenziale chiusa in un sottoinsieme dello spazio.

Vale il seguente teorema

Teorema 1. Sia $\Omega\subseteq \mathbb{R}^3$

un insieme aperto e connesso. Una forma differenziale $\omega=F_1\,dx+F_2\,dy+F_3\,dz$

di classe $C^1\left(\Omega\right)$

, associata al campo vettoriale $\textbf{F}=\left(F_1,F_2,F_3\right)$

, è chiusa in $\Omega$

se vale $\nabla \times \textbf{F}=\textbf{0}$

(Rotore del campo vettoriale uguale a zero).

$\quad$

Si ricorda al lettore che il rotore di un campo vettoriale è

$\begin{aligned} \nabla \times \textbf{F} & = \text{det}\begin{pmatrix}\hat{x} &\hat{y} &\hat{z} \\\\{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{1}&F_{2}&F_{3}\end{pmatrix}=\\\\ = \hat{x} \left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)&+\hat{y} \left({\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}\right)+\hat{z} \left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right), \end{aligned}$

dove il determinante è inteso in senso formale e $\hat x,\hat y,\hat z$ definiscono i versori nella direzione $x,y$ e $z$ , rispettivamente.

Forma differenziale chiusa in un sottoinsieme nel piano.

Teorema 2. Sia $\Omega\subseteq \mathbb{R}^2$

un insieme aperto e connesso. Una forma differenziale $\omega=F_1\,dx+F_2\,dy$

di classe $C^1\left(\Omega\right)$

, associata al campo vettoriale $\textbf{F}=\left(F_1,F_2\right)$

, è chiusa in $\Omega$

se vale che le derivate miste sono uguali, ovvero se $\dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{\partial F_2}{\partial x}.$

$\quad$

Quindi, dal punto di vista teorico risulta chiaro come si determini quando una forma differenziale sia chiusa. Chiariamo il concetto con degli esercizi.

Esercizio 1. Sia $\omega=\dfrac{y}{\sqrt{1-x^2}}\,dx+\left(2y+\arcsin x\right)\,dy$

: verificare se è chiusa nel suo dominio.

$\quad$

Soluzione. Il dominio di $\omega$ è $\Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:-1<x<1\}$ . Calcoliamo le derivate miste della forma differenziale

$\begin{equation*} \dfrac{\partial F_2}{\partial x}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation*}$

e osserviamo che

$\begin{equation*} \dfrac{\partial F_2}{\partial x}=\dfrac{\partial F_1}{\partial y} \end{equation*}$

pertanto $\omega$ è chiusa nel suo dominio.

Esercizio 2. Sia $\omega= \left(y+z\right) \, dx + \left(x+z\right) \, dy+\left(x+y\right)\,dz=F_1\, dx +F_2 \,dy+F_3\,dz$

e verificare se è chiusa nel suo dominio.

$\quad$

Soluzione. Osserviamo che il suo dominio è $\mathbb{R}^3$ . Calcoliamo il $\nabla\times\textbf{F}$ dove $\textbf{F}=(F_1,F_2,F_3)$ è il campo vettoriale associato alla forma differenziale.

Dunque

$\begin{aligned} \nabla\times\textbf{F}&=\text{det}\begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\ \dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & \dfrac{\partial }{\partial z}\\ F_1& F_2& F_3 \end{pmatrix}= \\\\ =\hat{x}\left(\dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z}\right)&-\hat{y}\left(\dfrac{\partial F_3}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial z}\right)+\hat{z}\left(\dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}\right)=\\\\ =\left(1-1\right)\,\hat{x}&-\hat{y}\left(1-1\right)+\hat{z}\left(1-1\right)=\textbf{0} \end{aligned}$

dunque $\omega$ è chiusa nel sul dominio.

Forma differenziale esatta.

Data una forma differenziale, una volta stabilito se essa sia chiusa sul suo dominio, il passo successivo è quello di verificare la sua esattezza. A tale scopo ricordiamo il seguente risultato:

Teorema 3 (teorema di Poincaré). Sia $\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$

un insieme semplicemente connesso (definizione 11) e $\omega$

una forma differenziale chiusa in $\Omega$

. Allora $\omega$

è esatta in $\Omega$

$\quad$

A questo punto forniamo dei metodi che permettono di applicare in maniera pratica il risultato appena esposto. Per fare ciò abbiamo ancora necessità di alcune definizioni di carattere topologico.

Cenni di topologia di $\mathbb{R}^n$

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Definizione 5. Dati $\textbf{x}\in \mathbb{R}^n$

e $\delta$

numero reale positivo non nullo, si dice intorno sferico di $\textbf{x}$

di raggio $\delta$

l’insieme così definito

$\begin{equation*} I_\delta\left(\textbf{x}\right):=\{\textbf{y}\in\mathbb{R}^n:|\textbf{x}-\textbf{y}|<\delta\}. \end{equation*}$

$\quad$

Un altro modo di definire un intorno sferico di $\textbf{x}$ è pensarlo come una palla di centro $\textbf{x}$ e raggio $\delta$ . Si vuole far osservare al lettore che in $\mathbb{R}^2$ l’intorno sferico non è nient’altro che un cerchio di centro $\textbf{x}=\left(x_0,y_0\right)$ e raggio $\delta$ privato del bordo come in figura 1.

$\quad$

Figura 1.

$\quad$

Definizione 6. Dati $\textbf{x}\in \mathbb{R}^n$

e $\delta$

numero reale positivo non nullo, si definisce sfera di centro $\textbf{x}$

e raggio $\delta$

$S_\delta\left(\textbf{x}\right)=\{\textbf{y}\in\mathbb{R}^n:\textbf{x}-\textbf{y}|=\delta\}.$

$\quad$

In questo caso la rappresentazione grafica è quella data in figura 2.

$\quad$

Figura 2.

$\quad$

Definizione 7. Sia $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$

. Preso un punto di $\textbf{x}\in \mathbb{R}^n$

esso si dice:

$\quad$

- interno ad $\Omega$ , se esiste un intorno sferico di $\textbf{x}$ contenuto in $\Omega$ ;

- esterno ad $\Omega$ , se esiste un intorno sferico di $\textbf{x}$ contenuto nel complementare² di $\Omega$ ;

di frontiera per $\Omega$ , se ogni intorno sferico di $\overline{x}$ contiene almeno un punto di $\Omega$ e un punto del complementare di $\Omega$ ;

$\quad$

In figura 3 rappresentiamo quanto detto

$\quad$

Figura 3.

$\quad$

Definizione 8. Un insieme $A\subseteq\mathbb{R}^n$

si definisce

$\quad$

- aperto se ogni punto è interno;

chiuso se il suo complementare è aperto.

Definizione 9. Un insieme $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$

si dice connesso se non è possibile trovare due insiemi entrambi aperti (o entrambi chiusi) $A$

e $B$

tali che $\Omega=A\cup B$

e $A\cap B=\emptyset$

Definizione 10. Un insieme aperto $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$

si definisce connesso per archi se, presi due punti di tale insieme, esiste un arco di curva continuo congiungente questi due punti interamente contenuto in $\Omega$

$\quad$

Si può dimostrare che in $\mathbb{R}^n$ le due definizioni 7 e 8 risultano equivalenti per insiemi aperti. Concludiamo questa sezione con quella che è la definizione topologica fondamentale per lo studio delle forme in $\mathbb{R}^n$ . Ricordiamo che una curva $\gamma:[a,b]\subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2$ si dice semplice se comunque presi due punti $t_1,t_2\in (a,b)$ , con $t_1\neq t_2$ , risulta $\gamma(t_1)\neq \gamma(t_2)$ . Nel caso in cui $\gamma(a)=\gamma(b)$ , la curva semplice si dice chiusa.

Definizione 11. Sia $p\in\mathbb{R}^n$

un punto. Un arco (o laccio) centrato in $p$

è una funzione continua $f:[0,1]\to\mathbb{R}^n$

tale che $f(0)=f(1)=p$

. Dati due lacci $f,g$

centrati in $p\in\mathbb{R}^n$

, un’omotopia da $f$

a $g$

è una funzione continua $F:[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R}^n$

tale che $F(t,0)=f(t)$

e $F(t,1)=g(t)$

, per ogni $t\in[0,1]$

. Il laccio si dice contraibile se esiste un’omotopia che lo trasforma nel laccio costante $g(t)\equiv p$

, per ogni $t$

. Un sottoinsieme $\Omega\subset\mathbb{R}^n$

connesso per archi si dice semplicemente connesso se per ogni $p\in\Omega$

, ogni laccio centrato in $p$

è contraibile.

Se $A\subseteq\mathbb{R}^n$ il suo complementare è l’insieme differenza $\mathbb{R}^n\setminus A$ ↩

Dominio semplicemente connesso: teoria ed applicazioni

Dominio semplicemente connesso nel piano.

Nella maggior parte dei casi negli esercizi vengono trattati insiemi con dei “buchi”: si può ragionare in modo empirico e pensare che ogni tale sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$

non sia un insieme semplicemente connesso. Infatti considerando una curva semplice e chiusa che circondi tale “buco” la sua contrazione porterà ad uscire dall’insieme.

Forniamo un elenco di insiemi semplicemente connessi nel piano:

$\quad$

1. 1. - cerchio pieno, ellisse piena, poligono convesso pieno, semipiano e tutte le figure piane che si possono ottenere da queste deformandole con continuità; il piano stesso ( $\mathbb{R}^2$ ) o il piano privato di una semiretta.

Non sono semplicemente connessi

$\quad$

1. 1. - il piano o un cerchio privato di un punto (vale per una generica figura geometrica), una corona circolare, una circonferenza, ogni insieme che presenta un “buco”.

Riportiamo alcuni esempi di esercizi in cui si mostra che una forma differenziale è esatta nel suo dominio applicando il teorema 1.

Esercizio 3. Verificare che

$\omega(x,y)= \dfrac{1+y}{1+x} \, dx + \ln(1+x) \, dy=F_1\, dx +F_2 \,dy$

è esatta nel suo insieme di definizione.

$\quad$

Soluzione. Verifichiamo se la forma differenziale è chiusa. Calcolando le derivate miste

$\begin{equation*} \dfrac{\partial F_2}{\partial x} = \dfrac{1}{x+1} \quad \mbox{e} \quad \dfrac{\partial F_1}{\partial y} = \dfrac{1}{x+1} \end{equation*}$

osserviamo che sono uguali, quindi possiamo affermare che $\omega$ è chiusa.

Il dominio di $\omega$ è

$\text{Dom} (\omega) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \vert x>-1 \}$

che è un insieme semplicemente connesso, allora $\omega$ è esatta.

Esercizio 4. Verificare che

$\omega(x,y)= e^y\sin\left(x+y\right) \, dx +e^y\left(\sin\left(x+y\right)-\cos\left(x+y\right)\right)\, dy=F_1\, dx +F_2 \,dy$

è esatta nel suo insieme di definizione.

$\quad$

Soluzione. Verifichiamo se la forma differenziale è chiusa. Calcolando le derivate miste

$\begin{equation*} \dfrac{\partial F_2}{\partial x}=e^y\left(\cos\left(x+y\right)+\sin\left(x+y\right)\right) \end{equation*}$

$\begin{equation*} \dfrac{\partial F_1}{\partial y}=e^y\sin\left(x+y\right)+e^y\cos\left(x+y\right)=e^y\left(\cos\left(x+y\right)+\sin\left(x+y\right)\right) \end{equation*}$

osserviamo che sono uguali, quindi possiamo affermare che $\omega$ è chiusa.

Il dominio di $\omega$ è $\mathbb{R}^2$ che è un insieme semplicemente connesso, allora $\omega$ è esatta.

Esercizio 5. Verificare se la forma

$\omega(x,y)= y^2 \, dx + \left(\dfrac{1}{y}+2xy\right)\, dy=F_1\, dx +F_2 \,dy$

è chiusa e se è possibile applicare il teorema di Poincaré.

$\quad$

Soluzione. Verifichiamo se la forma differenziale è chiusa. Calcolando le derivate miste

$\begin{equation*} \dfrac{\partial F_2}{\partial x} =2y \quad \mbox{e} \quad \dfrac{\partial F_1}{\partial y} = 2y \end{equation*}$

osserviamo che sono uguali, quindi possiamo affermare che $\omega$ è chiusa.

Il dominio di $\omega$ è

$\text{Dom} (\omega) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \vert\, y\neq0 \}$

che non è un insieme connesso e pertanto neanche semplicemente connesso (unione di due semipiani).

L’esercizio 5 serve a sottolineare l’importanza del teorema di Poincaré e cosa accade quando non è possibile applicarlo: se la forma differenziale è chiusa, ma il suo dominio non è un insieme semplicemente connesso non possiamo dire nulla sull’esattezza di $\omega$ nel suo dominio. Questo perché la condizione di semplice connessione è una condizione sufficiente ai fini del teorema.

Esercizio 6. Verificare se

$\omega(x,y)=\dfrac{x}{x+y} \; dx + \dfrac{y}{x+y} \; dy=F_1\,dx+F_2\,dy$

è esatta nel suo insieme di definizione.

$\quad$

Soluzione. Il dominio di $\omega$ è $\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\, x \neq -y\right\}$ .

Verifichiamo se $\omega$ è chiusa procedendo come segue

$\begin{aligned} \left(\dfrac{\partial F_2}{\partial x} - \dfrac{\partial F_1}{\partial y} \right) = -y(x+y)^{-2} + x(x+y)^{-2}\neq 0. \end{aligned}$

Dal risultato appena ottenuto, deduciamo che $\omega$ non è chiusa e allora non è neanche esatta.

Dall’esercizio 6 è bene notare che se una forma differenziale non è chiusa, allora non è esatta; il fatto che una forma differenziale sia chiusa è una condizione necessaria per far sì che sia esatta.

Dominio semplicemente connesso nello spazio.

Riportiamo ora degli esempi di insiemi semplicemente connessi nello spazio:

$\quad$

1. 1. - Sfera, ellissoide, poliedri convessi e tutti i solidi che si possono ottenere da questi ultimi deformandoli con continuità (sia i solidi, sia le loro frontiere), la corona sferica, il semispazio, lo spazio privo di un numero finito di punti.

Non sono semplicemente connessi

$\quad$

1. 1. - Il toro, la sfera privata di un diametro, lo spazio privato di una retta, poliedri concavi.

Riportiamo un esercizio

Esercizio 7. Verificare che

$\omega(x,y,z)= \left(y+z\right) \, dx + \left(x+z\right) \, dy+\left(x+y\right)\,dz=F_1\, dx +F_2 \,dy+F_3\,dz$

è esatta nel suo insieme di definizione.

$\quad$

Soluzione. Abbiamo già verificato nell’esercizio 2 che la forma risulta chiusa. Inoltre osserviamo che il suo dominio è $\mathbb{R}^3$ che è un insieme semplicemente connesso, pertanto per il teorema di Poincaré $\omega$ è esatta.

Forma differenziale localmente esatta

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