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Esercizio leggi della dinamica 58

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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L’esercizio 58 sulle leggi della dinamica è il cinquantottesimo esercizio della raccolta presente nella cartella Dinamica del punto materiale: Leggi di Newton in meccanica classica. Questo è l’esercizio successivo ad Esercizio leggi della dinamica 57. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato agli studenti di ingegneria, fisica e matematica.
Questo è l’ultimo esercizio dedicato alle leggi della dinamica. Qualora si voglia continuare lo studio, ti consigliamo di procedere con il primo esercizio dedicato al Lavoro e l’energia di un punto materiale, partendo dall’Esercizio lavoro ed energia 1. Nel caso si voglia riprendere dal primo esercizio di questa collezione, puoi farlo andando alla sezione dedicata alle leggi della dinamica.

 

Testo leggi della dinamica 58

Esercizio 58 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo una giostra rotante che possiamo modellare come un disco omogeneo. Essa compie una rotazione attorno al proprio asse fisso verticale, che passa per il centro O come illustrato nella figura 1.
Vista dall’alto, la giostra ruota in senso antiorario e la sua velocità angolare aumenta nel tempo seguendo la relazione \omega = \alpha t (valida per t\geq 0),
dove \alpha è una costante positiva.
Sul disco è posizionato un baule, modellato come un corpo puntiforme P di massa m, situato a una distanza r dall’asse di rotazione.
Data la condizione di attrito statico con coefficiente \mu_s tra il baule e la giostra e considerando l’accelerazione gravitazionale \vec{g}, vogliamo determinare l’istante t_s>0 in cui il baule inizia a scivolare sulla giostra in funzione dei parametri \alpha, m, r, g, e \mu_s.

 

 

Figura 1: configurazione del sistema.

Schema di una giostra rotante modellata come un disco omogeneo con asse fisso verticale. Sul disco è posizionato un baule P di massa m a distanza r dall'asse di rotazione. La velocità angolare ω aumenta nel tempo secondo la relazione ω = αt, con accelerazione gravitazionale g indicata. La giostra ruota in senso antiorario.

 

Premessa.

Di seguito, illustreremo due metodi distinti per risolvere l’esercizio. Il primo metodo si basa sulla scelta di un sistema di riferimento inerziale con un asse tangente e normale rispettivamente alla direzione della velocità, mentre il secondo metodo utilizza un sistema di riferimento inerziale Oxy tale per cui nel generico istante t ≥ 0 il punto P si trova nella generica posizione (x,y). Mostreremo che, nonostante l’uso di sistemi di riferimento differenti, si arriverà alla stessa soluzione.


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