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Verifica del limite: esercizio 16

Verifica del limite in funzioni

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Verifica del limite: esercizio 16

In questo sedicesimo esercizio della raccolta Esercizi sulla verifica del limite presentiamo la verifica di un limite sinistro e destro. Segnaliamo l’esercizio precedente esercizio sulla verifica del limite 15 sulla verifica del limite della funzione polinomiale e quello successivo esercizio sulla verifica del limite 17.

 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Revisori: Matteo Talluri, Sergio Fiorucci.

 

Richiami di teoria sulla verifica del limite

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento di questo esercizio sulla verifica del limite. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria sulla verifica dei limiti.

Definizione 1 (limiti di funzioni)  Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

verifica del limite

Definizione 2 (limiti destri e sinistri) ; Siano A\subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in {\mathbb{R}} un punto di accumulazione sinistro per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite sinistro di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste \delta>0 tale che

(3)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0) \cap A . \end{equation*}

In tal caso si scrive

(4)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell. \end{equation*}

Analogamente si definisce il limite destro di f per x \to x_0 ed esso si indica con \displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x).

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 16  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Verificare, mediante la definizione, i seguenti limiti:

  1. \displaystyle \lim_{x \to 3^+} e^{\frac{2}{3-x}} = 0;
  2. \displaystyle \lim_{x \to 3^-} e^{\frac{2}{3-x}} = +\infty.

 

Svolgimento punto 1.

Occorre provare la variante del caso 1 della tabella 1 relativa ai limiti destri per x_0=3 e \ell=0, dove f \colon \mathbb{R} \setminus \{3\} \to \mathbb{R} è definita da

(5)   \begin{equation*} f(x) = e^{\frac{2}{3-x}} \qquad \forall x \neq 3. \end{equation*}

Esplicitamente, bisogna dimostrare che, per ogni \varepsilon>0 esiste \delta>0 per cui è valida la seguente implicazione:

(6)   \begin{equation*} x \in (3,3+\delta) \implies |f(x)|< \varepsilon. \end{equation*}

Grazie all’osservazione 1 dei richiami di teoria, è sufficiente scegliere \varepsilon \in (0,1), in modo che \log \varepsilon< 0. Si ha

(7)   \begin{equation*} |f(x)|< \varepsilon \iff e^{\frac{2}{3-x}} < \varepsilon \iff \frac{2}{3-x} < \log \varepsilon \iff 0 > 3-x > \frac{2}{\log \varepsilon} \iff 3 < x < 3 - \frac{2}{\log \varepsilon}, \end{equation*}

dove nella terza equivalenza abbia usato \log \varepsilon<0 e il fatto che, poiché siamo interessati a intorni destri di 3, possiamo considerare 3-x<0. Poiché \frac{2}{\log \varepsilon}<0, scegliendo \delta=- \frac{2}{\log \varepsilon} si ottiene la validità di (6), si veda la figura 16.

  verifica del limite 16

Figura 16: raffigurazione dell’esercizio 16.

Svolgimento punto 2.

Dobbiamo mostrare che vale la condizione al punto 3 della tabella 1, con x_0=3, per i limiti sinistri. Bisogna cioè far vedere che, per ogni M \in \mathbb{R}, si può scegliere \delta>0 per cui la seguente proprietà è valida:

(8)   \begin{equation*} x \in (3-\delta,3) \implies f(x)>M. \end{equation*}

Scegliamo quindi M \in \mathbb{R} e, in virtù dell’osservazione 1 dei richiami di teoria si può scegliere M>1 in modo da avere \log M>0. Dunque si ha

(9)   \begin{equation*} f(x)>M \iff e^{\frac{2}{3-x}} > M \iff \frac{2}{3-x} > \log M \iff 3> x > 3- \frac{2}{\log M}, \end{equation*}

dove nella terza equivalenza abbiamo sfruttato il fatto che \log M>0 e quindi deve valere 3-x>0. Da tali equivalenze è evidente che, scegliendo \delta= \frac{2}{\log M}, (8) è soddisfatta.

 
 

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