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Esercizio sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate – 4

Esercizi sul teorema di Weierstrass con l'uso delle derivate

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In questo quarto articolo della raccolta Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate studiamo l’applicabilità del teorema a 4 funzioni definite in alcuni insiemi, e ne ricerchiamo i punti di massimo e di minimo mediante l’uso delle derivate. Segnaliamo anche il precedente esercizio sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate – 3 e il successivo esercizio sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate – 5 per ulteriore materiale sul medesimo tema.

 

Richiami teorici

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Ricordiamo i principali risultati teorici utilizzati nella soluzione dell’esercizio. Per le dimostrazioni e approfondimenti della teoria, rimandiamo agli articoli Funzioni continue – Teoria e Teoria sulle derivate.

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti. Sia f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione. M\in \mathbb{R} si dice massimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

\[f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo M = \max_A f e x_0 si dice punto di massimo per f.

Analogamente, m\in \mathbb{R} si dice minimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

\[f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo m=\min_A f e x_0 si dice punto di minimo per f.

 

Un punto x_0 può non essere di massimo o di minimo assoluto per f, ma può esserlo se restringiamo f a un intorno di x_0. Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali. Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione. x_0\in A si dice punto di massimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

\[f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

Analogamente, x_0\in A si dice punto di minimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

\[f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

 

Teorema di Weierstrass.  Siano a, b \in \mathbb{R}, con a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in [a,b] tali che

\[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

 

Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1. Valgono le seguenti proprietà:

  • Ogni funzione polinomiale P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua.
  • La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua.
  • La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per x \in \mathbb{R} è continua.
  • Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua.
  • Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua.
  • Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua.
  • La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua.
  • La funzione f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right] definita da f(x) = \arccos x per x \in [-1,1] è continua.
  • La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua.

 

La prossima proposizione riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2. Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora

  • La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni continue.
  • Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}.
  • Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.
  • Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

 

Il teorema che segue ci permette di identificare i punti di massimo o minimo locale per funzioni derivabili.

Teorema di Fermat. Sia f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e sia x_0\in (a,b). Supponiamo che f sia derivabile in x_0 e che x_0 sia un punto di massimo o minimo locale per f. Allora f'(x_0)=0.

  Da questo risultato segue dunque che i punti di massimo o minimo di una funzione f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} sono da ricercare tra i punti interni stazionari e negli estremi dell’intervallo.

Riassumiamo infine i risultati sulla derivabilità delle operazioni tra funzioni derivabili:

Proposizione 3. Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni derivabili. Valgono le seguenti proprietà:

  • La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni derivabili e vale

    \[\begin{aligned} (f+g)'(x) =& f'(x)+g'(x), \qquad \forall x \in A,\\ (f\cdot g)'(x) =& f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x), \qquad \forall x \in A. \end{aligned}\]

  • Il quoziente \frac{f}{g} è derivabile nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\} e vale

    \[\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \qquad \forall x \in A^*.\]

  • Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è derivabile in x_0\in A e g è derivabile in y_0 \coloneqq f(x_0), allora la funzione composta g \circ f è derivabile in x_0 e vale

    \[(g \circ f)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g'(f(x_0)).\]

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 4  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Stabilire se le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate per le seguenti funzioni f \colon D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, dove D rappresenta il campo di esistenza di ciascuna funzione, negli intervalli dati A. In caso affermativo, calcolarne massimo e minimo assoluti.

\[\begin{aligned} 1. & \quad f(x) = 2+\sqrt{x+6}, \qquad A=[-6,-4];\\ 2. & \quad f(x) = \dfrac{x^2}{e^{2x}}, \qquad A=[-1,1]; \\ 3. & \quad \dfrac{x}{\ln x}, \qquad A=[e,e^3]; \\ 4. & \quad f(x) = \dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}, \qquad A=[0,\pi].\\ \end{aligned}\]

 

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