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Funzioni convesse – Esercizi

Funzioni Convesse

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Autori e revisori

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Autori: Francesco Conti, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti, Daniele Bjørn Malesani, Davide Ranieri, Sara Sottile, Matteo Talluri.


 
 

Notazioni

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f'    Derivata prima della funzione f;
f''    Derivata seconda della funzione f;
I^{\mathrm{o}}    Parte interna dell’intervallo I, ossia l’intervallo aperto contenuto in I avente i suoi stessi estremi.


 
 

Introduzione

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In questa raccolta di esercizi sulle funzioni convesse, esploriamo il significato di convessità e lo applichiamo a numerosi casi pratici e teorici. Più precisamente, in questo articolo offriamo al lettore 17 esercizi sia teorici che pratici per mettere alla prova la sua conoscenza della nozione di convessità, presentata in Funzioni convesse – Teoria.

Gli esercizi sono di difficoltà e carattere vario, e ciascuno di essi è completamnte risolto e spesso illustrato, al fine di offrire al lettore la massima chiarezza espositiva.


 
 

Richiami di teoria

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Riportiamo in questa sezione le principali nozioni e teoremi utilizzati nella risoluzione degli esercizi, rimandando all’articolo Funzioni convesse – Teoria per le dimostrazioni e una trattazione approfondita.

Iniziamo ricordando la definizione di funzione convessa.

Definizione 1 (funzioni convesse e concave). Sia I\subseteq \mathbb{R} un intervallo e sia f\colon I \to \mathbb{R} una funzione. Si dice che f è convessa se, per ogni x_1, x_2 \in I e ogni \alpha \in [0,1] vale

(1) \begin{equation*} f(\alpha x_1 + (1-\alpha) x_2) \leq \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2). \end{equation*}

Se la disuguaglianza (1) è verificata in senso stretto per \alpha \in (0,1), allora f si dice strettamente convessa.

Riportiamo ora alcune caratterizzazioni delle funzioni convesse, molto utili negli esercizi che seguono. La prima di esse riguarda i soli rapporti incrementali di f ed è il teorema 2.3 in Funzioni convesse – Teoria.

Teorema 2 (caratterizzazione della convessità). Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo e sia f \colon I \to \mathbb{R} una funzione. Allora le seguenti proprietà sono equivalenti:

  1. f è (strettamente) convessa;

    2.  

  2. se x_1,x_2 \in I con x_1 < x_2, si ha

    (2) \begin{equation*} f(x) \underset{(\text{risp.} <)}{\leq} f(x_1) + \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} (x-x_1) \qquad \forall x \in (x_1,x_2); \end{equation*}

  3. I rapporti incrementali di f sono (strettamente) crescenti:

    (3) \begin{equation*} \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \underset{(\text{risp.} <)}{\leq} \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \underset{(\text{risp.} <)}{\leq} \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}, \qquad \forall x_1 < x_2 < x_3 \in I. \end{equation*}

\[\quad\]

Per le funzioni derivabili è possibile dare ulteriori caratterizzazioni della convessità, come il teorema 2.9 in Funzioni convesse – Teoria, il cui enunciato riportiamo qui di seguito.

\[\quad\]

Teorema 3 (caratterizzazione delle funzioni convesse derivabili). Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo e sia f\colon I \to \mathbb{R} una funzione continua in I e derivabile in I^{\circ}. Allora le seguenti proprietà sono equivalenti:

\[\quad\]

  1. f è (strettamente) convessa;

  2. per ogni x_1 \in I^{\circ}, x_2 \in I si ha che

    \[f(x_2) \geq f(x_1) + f'(x_1)(x_2-x_1) \qquad \text{(risp. $f(x_2) > f(x_1) + f'(x_1)(x_2-x_1) $)}.\]

    3.  

  3. f' è una funzione (strettamente) crescente in I^{\circ}.

\[\quad\]

Per le funzioni derivabili due volte, la convessità equivale al fatto che la derivata seconda sia non-negativa, come mostra il teorema 2.10 in Funzioni convesse – Teoria, che richiamiamo qui.

Teorema 4. Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo e sia f\colon I \to \mathbb{R} una funzione continua in I e derivabile due volte in I^{\circ}. Allora f è convessa se e solo se f''(x) \ge 0 per ogni x \in I^{\circ}.

\[\quad\]

Le funzioni convesse sono continue nella parte interna del loro intervallo di definizione. Più precisamente, esse sono localmente lipschitziane (si veda la parte finale della dispensa Funzioni continue – Teoria per il significato di questa proprietà), come chiarisce il teorema 3.4 di Funzioni convesse – Teoria, che ricordiamo.

\[\quad\]

Teorema 5. Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo e sia f\colon I \to \mathbb{R} una funzione convessa. Allora per ogni intervallo chiuso e limitato [c,d] \subset I^{\mathrm{o}}, f ristretta a [c,d] è lipschitziana. In particolare, f è continua in I^{\mathrm{o}}.

\[\quad\]

Riportiamo infine la definizione di punto di flesso per una funzione e la loro classificazione in base all’eventuale retta tangente al grafico in tali punti.

Teorema 6 (punti di flesso). Siano A \subseteq \mathbb{R}, f\colon A \to \mathbb{R} e x_0 \in A^{\circ}. Il punto x_0 si dice punto di flesso se esiste un intorno destro di x_0 in cui f è convessa (risp. concava) ed un intorno sinistro di x_0 in cui f è concava (risp. convessa).

Se x_0 è un punto di flesso per f tale che esista f'(x_0) (finita o infinita), esso si dice:

\[\quad\]

  • punto di flesso orizzontale se la tangente a f in x_0 è orizzontale, ovvero se f'(x_0) = 0;

    •  

  • punto di flesso verticale se la tangente a f in x_0 è verticale, ovvero se f'(x_0) = \pm \infty;

    •  

  • punto di flesso obliquo se la tangente a f in x_0 è obliqua, ovvero se f'(x_0) \in \mathbb{R} \setminus \{0\}.

 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f\colon[0, +\infty) \to \mathbb{R} una funzione monotona crescente. Si provi allora che la funzione g\colon[0, +\infty) \to \mathbb{R} definita da

\[ g(x) \coloneqq \int_{0}^{x}f(t)\,dt \qquad \forall x \in [0, +\infty) \]

è una funzione convessa.

Svolgimento.

La funzione g è ben definita, in quanto le funzioni monotone sono integrabili secondo Riemann, si veda ad esempio il teorema 4 in Integrali definiti e indefiniti: teoria ed esercizi. Consideriamo quindi a,b \in [0,+\infty) con a \leq b e \alpha \in [0,1]; vogliamo dimostrare che

(4) \begin{equation*} g \big(\alpha a + (1-\alpha)b \big) \leq \alpha g(a) + (1-\alpha)g(b). \end{equation*}

Si ha

(5) \begin{equation*} \begin{split} g \big(\alpha a + (1-\alpha)b \big) - g(a) = & \int_0^{\alpha a + (1-\alpha)b } f(t) \,\mathrm{d}t - \int_0^{a} f(t) \,\mathrm{d}t \\ = & \int_a^{\alpha a + (1-\alpha)b } f(t) \,\mathrm{d}t \\ \leq & \big(\alpha a + (1-\alpha)b - a \big) f\big( \alpha a + (1-\alpha)b \big) \\ = & (1-\alpha)(b-a) f\big( \alpha a + (1-\alpha)b \big). \end{split} \end{equation*}

dove la disuguaglianza segue dal fatto che f è monotona crescente in [a, \alpha a + (1-\alpha)b ] e dal fatto che lunghezza dell’intervallo di integrazione è pari a \alpha a + (1-\alpha)b - a. In maniera esattamente analoga si prova che

(6) \begin{equation*} g(b) - g \big(\alpha a + (1-\alpha)b \big) \geq \alpha (b-a) f\big( \alpha a + (1-\alpha)b \big). \end{equation*}

Moltiplicando la disuguaglianza (5) per \alpha, moltiplicando la disuguaglianza (6) per 1-\alpha e confrontandole tra di loro si ottiene

(7) \begin{equation*} \alpha g \big(\alpha a + (1-\alpha)b \big) - \alpha g(a) \leq (1-\alpha) g(b) - (1-\alpha)g \big(\alpha a + (1-\alpha)b \big). \end{equation*}

Riarrangiando i termini si ottiene (4), cioè la tesi.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia a \in (0,+\infty) e sia f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione definita da

\[f(x) \coloneqq a^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.\]

Studiare la convessità di f.

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