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Equazione del calore ed equazione delle onde

Teoria Serie di Fourier

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Autori e revisori

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Introduzione

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L’equazione del calore e l’equazione delle onde sono dei modelli matematici di due fenomeni:

\[\quad\]

  • la trasmissione del calore, che descrive la temperatura u del mezzo di trasmissione in base al punto dello spazio considerato e del tempo;

    •  

  • l’oscillazione di un corpo vibrante, che descrive il discostamento u del corpo dalla posizione di equilibri, in base al punto dello spazio e del tempo.

Esse sono delle cosiddette equazioni differenziali alle derivate parziali, perché coinvolgono le derivate della funzione u rispetto allo spazio e al tempo.

In questo articolo, dopo una breve introduzione alle equazioni del calore e delle onde e al metodo risolutivo, forniamo una loro spiegazione fisica e una risoluzione formale dei problemi, dimostrando che tali equazione ammettono una soluzione, facendo uso del metodo di Fourier. Mostriamo inoltre che tali soluzioni sono uniche.


 

L’equazione del calore e delle onde e il metodo di Fourier

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Vediamo qui una importante applicazione delle serie di Fourier volta alla risoluzione di due particolari equazioni differenziali che emergono in modo naturale dalla descrizione di due fondamentali modelli fisici: la diffusione del calore in un mezzo omogeneo (equazione del calore o di diffusione) e il moto dei punti su una corda vibrante (equazione delle onde), entrambe accompagnate da opportune condizioni iniziali e al bordo.

Esse sono equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP, o PDE in inglese), ovvero equazioni differenziali relative a una funzione

(1) \begin{equation*} u \colon (t,\mathbf{x}) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d \mapsto u(t,\mathbf{x}) \in \mathbb{R}, \end{equation*}

che coinvolgono le sue derivate rispetto a t ( indicate con u_t) e rispetto a \mathbf{x}= (x_1,...,x_d) (indicate con u_{x_1},...,u_{x_d}).

Per semplicità, analizzeremo solo il caso d=1, in cui la funzione dipende da una variabile temporale e una sola variabile spaziale, e indicheremo con u_t,u_{tt},u_x,u_{xx}, u_{xt},u_{tx} le sue derivate parziali rispettivamente rispetto a t e x.

Solitamente tali equazioni differenziali sono accompagnate da opportune condizioni al bordo che, se relative alla variabile temporale prendono anche il nome di dati iniziali.

Tratteremo i seguenti problemi:

\[\quad\]

  • (Equazione del calore). Dati \alpha, L\in (0,+\infty) e una funzione f \colon [0,L] \to \mathbb{R}, si cerca una soluzione di

    (2) \begin{equation*} \begin{cases} u_{t}(x,t)=\alpha u_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t> 0\\ u(0,t)=u(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\ u(x,0)=f(x) & \forall x \in [0,L]. \end{cases} \end{equation*}

    •  

  • (Equazione delle onde). Dati c \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, L \in (0,+\infty) e due funzioni f,g \colon [0,L] \to \mathbb{R}, si cerca una soluzione di

    (3) \begin{equation*} \begin{cases} u_{tt}(x,t)=c^2 u_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t\geq 0\\ u(0,t)=u(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\ u(x,0)=f(x) & \forall x \in [0,L]\\ u_t(x,0)=g(x) & \forall x \in [0,L].\\ \end{cases} \end{equation*}

Lo strumento chiave del metodo di Fourier consiste nella linearità delle equazioni (2) e (3). La illustriamo per l’equazione del calore: date due soluzioni u_1,u_2 dei problemi aventi dati iniziali rispettivamente pari a f_1 e f_2, allora la funzione \alpha u_1+ \beta u_2 è una soluzione dell’equazione con dati iniziali \alpha f_1+ \beta f_2. Il lettore può facilmente effettuare la verifica, convincendosi che ciò è vero anche per l’equazione delle onde.

Data la condizione al bordo u(0,t)=u(L,t)=0, è solitamente abbastanza facile ottenere soluzioni u_k del problema (2) quando f è una funzione sinusoidale, ossia del tipo

(4) \begin{equation*} f_k(x)= \sin \left( \dfrac{k \pi}{L} x\right) \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\, \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}

dove i coefficienti \frac{k\pi}{L} sono gli unici per cui f_k soddisfa u(0,t)=u(L,t)=0.

L’idea principale è quindi che è ragionevole ipotizzare che la linearità dell’equazione si estenda anche a somme infinite: data una funzione f soddisfacente f(0)=f(L)=0 abbastanza regolare, estesa in maniera periodica di periodo 2L e dispari su \mathbb{R}, essa può essere sviluppata come serie di Fourier di funzioni sinusoidali

(5) \begin{equation*} f= \sum_{k=1}^{+\infty} b_k f_k, \end{equation*}

si cerca di mostrare che la soluzione u del problema (2) è la somma della serie

(6) \begin{equation*} u = \sum_{k=1}^{+\infty} b_k u_k, \end{equation*}

dove ricordiamo che le u_k sono le soluzioni di (10) per f=f_k.

Tenendo a mente questa idea, i passi del metodo di Fourier si possono riassumere nel seguente schema.

Passo 1: separazione delle variabili. Si cercano soluzioni u dell’equazione differenziale aventi la forma u(x,t)=F(x) G(t); questa assunzione sulla forma di u riduce l’equazione differenziale per u a un sistema di due equazioni differenziali ordinarie per F e G (che coinvolgono cioè le derivate rispetto ad una sola variabile).

Passo 2: condizione al bordo. Si determinano tutte le funzioni F e G affinché la funzione u=FG soddisfi l’equazione differenziale e la condizione al bordo

(7) \begin{equation*} u(0,t)=u(L,t)=0 \qquad \forall t\geq 0. \end{equation*}

Ciò conduce a determinare, in generale, due successioni di funzioni F_k e G_k per cui le funzioni u_k=F_k G_k soddisfino l’equazione differenziale insieme alla condizione u(0,t)=u(L,t)=0.

Si vede poi che le funzioni u_k così costruite sono soluzioni dei problemi (2) e (3) in cui le funzioni f e g sono del tipo \sin(kx),\cos(kx).

Passo 3: uso delle serie di Fourier. Prendiamo come esempio il caso dell’equazione del calore; se la funzione f è sufficientemente regolare e la sua serie di Fourier è

(8) \begin{equation*} f(x)= \sum_{k =1}^{+\infty} b_k \sin(kx) \qquad \forall x \in [0,L], \end{equation*}

si può dimostrare che la funzione

(9) \begin{equation*} u(x,t) \coloneqq \sum_{k =1}^{+\infty} b_k u_k(x,t) \qquad \forall x \in [0,L],\,\,\forall t \geq 0 \end{equation*}

è soluzione del problema, dove le funzioni u_k sono definite al passo precedente.

Applichiamo ora questo metodo nei casi (2) e (3).


L’Equazione del calore

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In questa sezione ci proponiamo di affrontare la risoluzione di (2).

Problema 1 (equazione del calore). Fissati \alpha,L\in (0,+\infty) e una funzione f \colon [0,L] \to \mathbb{R}, determinare una soluzione di

(10) \begin{equation*} \begin{cases} u_{t}(x,t)=\alpha u_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t> 0\\ u(0,t)=u(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\ u(x,0)=f(x) & \forall x \in [0,L]. \end{cases} \end{equation*}

\[\quad\]

Il risultato principale che dimostreremo in questa sezione è l’esistenza di una soluzione di (10) usando le serie di Fourier, quando f è una funzione regolare a tratti.

\[\quad\]

Teorema 2 (esistenza della soluzione del problema 1). Se f è una funzione regolare a tratti, allora l’equazione del calore (10) possiede una soluzione u \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

(11) \begin{equation*} u(x,t) = \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right)e^{-\alpha\lambda^2_k t} \qquad \forall x \in [0,L], \,\,\forall t \in [0,+\infty), \end{equation*}

dove \lambda_k= \frac{k\pi}{L} e i coefficienti b_k sono dati da

(12) \begin{equation*} b_k = \dfrac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \left( \dfrac{k \pi}{L}x \right) \,\mathrm{d} x \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}

La soluzione del problema 1 è inoltre unica, come stabilito dal prossimo risultato. Esso fornisce una ulteriore conferma che il modello matematico della trasmissione del calore proposto sia valido: ci aspettiamo che, date le condizioni iniziali e al contorno, l’andamento della temperatura nel tempo sulla sbarretta sia univocamente determinato.

\[\quad\]

Proposizione 3 (unicità della soluzione del problema 1). La funzione u del teorema 2 è l’unica soluzione del problema 1.

\[\quad\]

Clicca qui per la dimostrazione.

Osservazione 4. I coefficienti b_k della funzione u sono i coefficienti di Fourier della funzione f estesa a \mathbb{R} in maniera dispari e in modo che sia periodica di periodo 2L.


 
 

Spiegazione fisica dell’equazione del calore

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L’equazione del calore modellizza la trasmissione nel calore attraverso un mezzo omogeneo. Nel caso unidimensionale che ci siamo proposti di esaminare, il problema fisico che stiamo considerando è quello di determinare la temperatura di una barretta di materiale omogeneo di lunghezza L, che possiamo considerare unidimensionale. Tale barretta è modellizzata con un segmento descritto dalla coordinata x, che varia appunto tra 0 e L. La quantità u(x,t) rappresenta la temperatura nel punto x \in [0,L] al tempo t \geq 0. Oltre alla prima equazione in (10), che spiegheremo a breve, vi sono altre equazioni che descrivono le cosiddette condizioni al contorno, cioè lo stato del sistema ai suoi bordi e all’istante iniziale. La condizione

(13) \begin{equation*} u(0,t) = u(L,t) = 0 \qquad \forall t \geq 0 \end{equation*}

vuol dire appunto che la temperatura nei punti estremi della barretta (ossia x=0 e x=L) è mantenuta costantemente al valore 0. Ciò corrisponde al fatto che gli estremi della barretta siano collegati termicamente a delle sorgenti a temperatura costante. Invece, la condizione

(14) \begin{equation*} u(x,0) = f(x) \qquad \forall x \in [0,L] \end{equation*}

esprime il fatto che, all’istante t=0 iniziale, in cui si inizia cioè ad osservare il fenomeno, la temperatura u(x,0) della barretta nel punto x\in [0,L] è data da una certa funzione f(x) che dipende appunto dallo stato iniziale della barretta.

Ciò che si vuole determinare, ossia l’incognita del problema, è la funzione u(x,t) che descrive la temperatura dei punti della barretta in tutti gli istanti successivi. Ovviamente, per ottenere questa descrizione, occorre stabilire come varia tale temperatura, e tale variazione è descritta appunto dall’equazione differenziale

(15) \begin{equation*} u_t(x,t) = \alpha u_{xx}(x,t) \qquad \forall x \in (0,L),\,\,\,\forall t >0. \end{equation*}

Questa equazione dice che la derivata temporale della temperatura è pari alla sua derivata spaziale seconda, moltiplicata per una costante \alpha, che modellizza la conduttività termica del materiale di cui è composta la barretta. Tentiamo di fornirne una giustificazione intuitiva. Consideriamo un pezzetto X molto piccolo di barretta, di estremi x e x + \Delta x a un certo istante t. Tale situazione è rappresentata in figura 1.

\[\quad\]

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Figura 1: la barretta di lunghezza L e il pezzetto X considerato nella derivazione dell’equazione del calore. Si noti il flusso \phi di energia termica rivolto da destra a sinistra.

\[\quad\]

La differenza di energia termica E di X tra l’istante t e t+\Delta t è pari alla differenza di temperatura moltiplicata per il calore specifico lineare c della barretta e per la lunghezza \Delta x di X:

(16) \begin{equation*} c \big(u(x,t+ \Delta t)-u(x, t) \big) \Delta x = E(x,t+\Delta t) - E(x,t). \end{equation*}

Inoltre, tale differenza di energia termica è anche pari al prodotto del flusso di calore netto entrante in X per il tempo trascorso \Delta t:

(17) \begin{equation*} E(x,t+\Delta t) - E(x,t) = \big(\phi(x+ \Delta x,t)-\phi(x, t) \big) \Delta t, \end{equation*}

dove appunto la quantità \phi(x+ \Delta x,t)-\phi(x, t) è il flusso di calore entrante in x+\Delta x meno quello uscente in x. Osserviamo ora che, per la legge di trasmissione del calore, il flusso di calore \phi è proporzionale alla derivata della temperatura tramite una costante \kappa che descrive la conduttività termica del materiale:

(18) \begin{equation*} \phi(x,t) = \kappa u_x(x,t). \end{equation*}

Inserendo queste informazione in (16) e (17) otteniamo

(19) \begin{equation*} \dfrac{u(x,t+ \Delta t)-u(x, t)}{\Delta t} = \dfrac{\kappa}{c} \dfrac{u_x(x+ \Delta x,t)-u_x(x, t)}{\Delta x}. \end{equation*}

Passando al limite per \Delta x \to 0 e \Delta t \to 0 otteniamo

(20) \begin{equation*} u_t(x,t) = \alpha u_{xx}(x,t), %\qquad %\forall x \in (0,L),\,\,\,\forall t \in (0,+\infty), \end{equation*}

dove abbiamo posto \alpha=\dfrac{\kappa}{c}.


 
 

Risoluzione dell’equazione del calore e unicità della soluzione

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Si potrebbe mostrare il teorema 2 in maniera diretta, facendo cioè vedere che la funzione u ivi definita è derivabile rispetto a t, derivabile 2 volte rispetto a x e che soddisfa le equazioni in (10); invece preferiamo guidare il lettore nel procedimento che ha condotto alla definizione di u, rispondendo alla seguente domanda.

Domanda 5. Da dove deriva l’intuizione che la funzione u definita in (11) sia effettivamente una soluzione di (10)?

La risposta risiede nel metodo a cui abbiamo accennato all’inizio della sezione 1. Ripercorreremo quindi i passi di tale metodo che portano alla formulazione dell’espressione di u data in (11) e nel passo 3 mostreremo il teorema 2, cioè che tale u è effettivamente soluzione dell’equazione del calore (10).

Passo 1 Come abbiamo anticipato, cerchiamo delle funzioni F \colon [0,L] \to \mathbb{R} e G \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R} tali che la soluzione u si possa scrivere come

(21) \begin{equation*} u(x,t)=F(x) G(t) \qquad \forall x \in (0,L),\,\,\, \forall t \in (0,+\infty). \end{equation*}

Indicando con “ ' ” le derivate rispetto a x e con “ \dot{} ” quelle rispetto a t, dall’equazione u_t=\alpha u_{xx} otteniamo

(22) \begin{equation*} F(x)\dot{G}(t)=\alpha F''(x) G(t) \qquad \forall x \in (0,L),\,\,\,\forall t \in (0,+\infty). \end{equation*}

Assumiamo ora di poter dividere l’equazione per \alpha GF.1 Otteniamo

(23) \begin{equation*} \dfrac{\dot{G}(t)}{\alpha G(t)} = \dfrac{F''(x)}{F(x)} \qquad \forall x \in (0,L),\,\,\,\forall t \in (0,+\infty). \end{equation*}

Poiché le funzioni nei due membri dell’equazione dipendono da variabili diverse, affinché essa sia soddisfatta tali funzioni devono essere costanti. Esiste quindi una costante \beta \in \mathbb{R} tale che

(24) \begin{equation*} \dfrac{\dot{G}(t)}{\alpha G(t)} = \dfrac{F''(x)}{F(x)} = \beta \qquad \forall x \in (0,L),\,\,\,\forall t \in (0,+\infty). \end{equation*}

Le funzioni F e G devono quindi essere delle soluzioni delle seguenti equazioni:

(25) \begin{gather*} F''(x) = \beta F(x) \qquad \forall x \in (0,L), \\ \end{gather*}

(26) \begin{gather*} \dot{G}(t) = \alpha \beta G(t) \qquad \forall t \in (0,+\infty). \end{gather*}

Passo 2. Per la condizione al bordo

(27) \begin{equation*} u(0,t)=u(L,t) \qquad \forall t \geq 0, \end{equation*}

abbiamo

(28) \begin{equation*} 0=u(0,t)=F(0) G(t), \quad 0=u(L,t)=F(L) G(t) \qquad \forall t \geq 0, \end{equation*}

da cui risulta che deve valere F(0)=F(L)=0. Ponendo |\beta|=p^2, la soluzione generale dell’equazione (25) è

(29) \begin{gather*} \beta=0 \quad \Longrightarrow \quad F(x)=Ax+B \qquad \forall x \in [0,L], \\ \beta=p^2>0 \quad \Longrightarrow \quad F(x)=A e^{-px}+B e^{px} \qquad \forall x \in [0,L], \\ \beta=-p^2<0 \quad \Longrightarrow \quad F(x)=A\cos(px)+B\sin(px) \qquad \forall x \in [0,L], \end{gather*}

con A,B \in \mathbb{R}. Affinché si abbia F(0)=F(L)=0, i primi due casi sono possibili solo per A=B=0, che producono F identicamente nulla e quindi priva di significato fisico. L’unica possibilità è quindi che \beta =-p^2 <0. Imponendo la condizione F(0)=F(L)=0 si ricava

(30) \begin{equation*} F(0)=A=0, \quad F(L)=B\sin (p L)=0. \end{equation*}

Dato che deve valere B\neq 0, da \sin (pL)=0 ricaviamo

\[p=\frac{k \pi}{L} \eqqcolon \lambda_k,\qquad k=1,2,3,\ldots\]

Ricaviamo la successione di soluzioni F_k \colon [0,L] \to \mathbb{R} definite da

(31) \begin{equation*} F_k(x)=\sin\left(\frac{k\pi}{L}x\right) \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\,\forall x \in [0,L]. \end{equation*}

Osserviamo ora che, fissato k \in \mathbb{N}, per p=\frac{k \pi}{L} si ha

(32) \begin{equation*} \beta = -\left(\frac{k\pi}{L}\right)^2. \end{equation*}

Ricordando che \lambda_k = \frac{k \pi}{L} per ogni k \in \mathbb{N}, l’equazione (26) diviene

(33) \begin{equation*} \dot{G_k}(t) = - \alpha \lambda_k^2 G_k(t) \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\forall t \in [0,+\infty). \end{equation*}

La soluzione generale di tale equazione è

(34) \begin{equation*} G_k(t)=B_k e^{-\alpha\lambda^2_k t} \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\forall t \in [0,+\infty), \end{equation*}

con B_k \in \mathbb{R}. Ricordando che stiamo cercando funzioni u_k del tipo F_k G_k, è facile mostrare la seguente proprietà.

Proposizione 6. Per ogni k \in \mathbb{N}, la funzione u_k \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

(35) \begin{equation*} u_k(x,t)\coloneqq F_k(x) G_k(t) = \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right)e^{-\alpha\lambda^2_k t} \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\, \forall x \in [0,L], \,\,\forall t \in [0,+\infty) \end{equation*}

è soluzione del problema

(36) \begin{equation*} \begin{cases} u_t(x,t) = \alpha u_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t\geq 0\\[8pt] u(0,t)=u(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\[8pt] u(x,0)=\sin \left(\dfrac{k\pi}{L}x \right) & \forall x \in [0,L]. \end{cases} \end{equation*}

\[\quad\]

Dimostrazione. Fissato k \in \mathbb{N}, è chiaro che

(37) \begin{equation*} u_k(x,0) = \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right) \qquad \forall x \in [0,L]. \end{equation*}

Inoltre derivando l’espressione di u_k rispetto a t e due volte rispetto a x si ottiene che vale l’equazione

(38) \begin{equation*} (u_k)_t(x,t) = \alpha (u_k)_{xx}(x,t) \qquad \forall x \in [0,L], \,\,\forall t \in [0,+\infty). \end{equation*}

Passo 3: dimostrazione del teorema 2. Consideriamo l’estensione di f a \mathbb{R} dispari e periodica di periodo 2L, che con un leggero abuso di notazione continuiamo a chiamare f. Sviluppandola in serie di Fourier otteniamo

(39) \begin{equation*} f(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \sin \left( \dfrac{k\pi}{L}x\right) \qquad \forall x \in [0,L], \end{equation*}

dove b_k sono i coefficienti di Fourier delle funzioni di tipo seno. Osserviamo che la serie è puntualmente convergente per il teorema di convergenza puntuale delle serie di Fourier (teorema 2.8 di Serie di Fourier – Teoria e applicazioni) dato che f è regolare a tratti. Per risolvere il problema (10), vorremmo quindi definire una funzione u \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R} come

(40) \begin{equation*} u(x,t) = \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right)e^{-\alpha\lambda^2_k t} \qquad \forall x \in [0,L], \,\,\forall t \in [0,+\infty). \end{equation*}

e verificare che essa è effettivamente una soluzione. Per fare ciò dobbiamo affrontare due questioni.

  1. La funzione u è ben definita? In altre parole, la serie (40) è convergente per ogni x \in [0,L] e per ogni t \in [0,+\infty)?

    2.  

  2. u soddisfa l’equazione u_t = \alpha u_{xx}?

Osserviamo che la convergenza della serie in (40) non implica a priori che u risolva l’equazione differenziale. Per affermare ciò, occorre mostrare che la serie si può derivare termine a termine: vedremo che questo è conseguenza delle sue proprietà di convergenza.

\[\quad\]

Proposizione 7. La funzione u \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R} definita da (40) è derivabile infinite volte in [0,L] \times (0,+\infty). In particolare, u risolve (10).

\[\quad\]

Dimostrazione. Mostriamo innanzitutto che la serie (40) è convergente in ogni punto. Per t=0 essa diventa

(41) \begin{equation*} u(x,0) = \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right) = f(x) \qquad \forall x \in [0,L], \end{equation*}

in quanto essa è la serie di Fourier di f che converge puntualmente a essa per il teorema di convergenza puntuale delle serie di Fourier (teorema 2.8 diSerie di Fourier – Teoria e applicazioni).

Dimostriamo ora che la serie converge totalmente negli insiemi del tipo [0,L] \times [\tau,+\infty), con \tau>0. Infatti, fissiamo \tau>0 e innanzitutto osserviamo che la successione dei coefficienti di Fourier b_k è limitata per l’identità di Parseval applicata a f

(42) \begin{equation*} \|f\|^2 = L^2\sum_{k=1} b_k^2. \end{equation*}

Infatti, poiché tale serie è convergente, il termine generale b_k^2 è infinitesimo e ciò implica in particolare che la successione b_k è limitata, cioè esiste M_b>0 tale che

(43) \begin{equation*} |b_k| \leq M_b \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}

Il termine generale della serie di funzioni in (40) soddisfa quindi

(44) \begin{equation*} \left| b_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right)e^{-\alpha\lambda^2_k t} \right| \leq M_b e^{\alpha \frac{\pi^2}{L^2}\tau} e^{-k^2} \eqqcolon M e^{-k^2} \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\, \forall x \in [0,L], \,\,\forall t \in [\tau,+\infty), \end{equation*}

dove M è indipendente da k. Dato che la serie \sum_{k=1}^{+\infty}e^{-k^2} è convergente, la serie (40) è totalmente convergente in [0,L] \times [\tau,+\infty). Ciò mostra che u è ben definita.

Osserviamo ora che non possiamo semplicemente derivare per serie la funzione u per concludere che essa è soluzione del problema. Occorre cioè giustificare tale operazione: lo facciamo con il ragionamento che segue.

Consideriamo la serie delle derivate rispetto alla variabile x:

(45) \begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \dfrac{k \pi}{L} \cos\left(\frac{k\pi}{L} x\right)e^{-\alpha\lambda^2_k t}. \end{equation*}

Come prima, vediamo che

(46) \begin{equation*} \left| b_k \dfrac{k \pi}{L} \cos\left(\frac{k\pi}{L} x\right)e^{-\alpha\lambda^2_k t} \right| \leq M_b \dfrac{k \pi}{L} e^{\alpha \frac{\pi^2}{L^2}\tau} e^{-k^2} \eqqcolon M' k e^{-k^2} \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\, \forall x \in [0,L], \,\,\forall t \in [\tau,+\infty). \end{equation*}

Poiché la serie \sum_{k=1}^{+\infty}k e^{-k^2} è convergente,2 anche la serie delle derivate (45) è totalmente convergente in [0,L] \times [\tau,+\infty). Quindi questa serie converge uniformemente a una funzione v \colon [0,L] \times [\tau,+\infty). che è anche continua in tale insieme.

Per il teorema di derivazione per serie, u è derivabile rispetto alla variabile x in [0,L] \times [\tau,+\infty) e

(47) \begin{equation*} u_x(x,t) = v(x,t) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [\tau,+\infty). \end{equation*}

Poiché questo ragionamento può essere ripetuto infinite volte,3 abbiamo che u è derivabile infinite volte rispetto a x e la sua derivata n-esima è pari alla serie delle derivate n-esime delle funzioni della serie (40). Per l’arbitrarietà di \tau, u è derivabile termine a termine in [0,L] \times (0,+\infty) rispetto a x.

In maniera esattamente analoga, si prova che u è derivabile infinite volte rispetto alla variabile t e che la sua derivata n-esima è pari alla serie delle derivate n-esime rispetto al tempo delle funzioni della serie (40). Occorre ora solo verificare che u risolve l’equazione u_t=\alpha u_{xx}. Dai ragionamenti precedenti possiamo derivare termine a termine la (45) ottenendo

(48) \begin{equation*} \begin{split} u_t(x,t) = & -\alpha \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \sin \left(\frac{k\pi}{L} x\right) \lambda_k^2 e^{-\alpha\lambda^2_k t} \\ = & - \alpha \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \sin \left(\frac{k\pi}{L} x\right) \left(\frac{k\pi}{L} x\right)^2 e^{-\alpha\lambda^2_k t} \\ = & \alpha v_x(x,t) \\ = & \alpha u_{xx}(x,t) \end{split} \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times (0,+\infty). \end{equation*}

Ciò prova la validità dell’equazione differenziale in (10).

In virtù della precedente proposizione, il teorema 2 è provato.

Osservazione 8. La dimostrazione della proposizione 7 rimane invariata anche se si indebolisce l’ipotesi su f, assumendo soltanto che essa sia integrabile secondo Riemann. Anche in tale caso quindi, u è infinitamente derivabile in [0,L] \times (0,+\infty) e risolve l’equazione differenziale in (10).

L’unico punto della dimostrazione che viene meno è il fatto che u(x,0)=f mostrato in (41), in cui si è sfruttata la convergenza puntuale verso f della sua serie di Fourier, che in generale è falsa se f non è regolare a tratti. Abbiamo però visto, nel teorema di convergenza in norma delle serie di Fourier (teorema 2.14 di Serie di Fourier – Teoria e applicazioni), che la serie di Fourier di f converge a essa rispetto alla norma di \tilde{P}_{2\pi}. In virtù di questo fatto si potrebbe dire che, anche se f non è regolare a tratti, la funzione u definita in (11) risolve il problema 1 e soddisfa la condizione iniziale u(x,0)=f(x) nel senso della norma di \tilde{P}_{2\pi}. Tale affermazione, per quanto imprecisa a causa dei limitati strumenti a nostra disposizione, può essere resa rigorosa nel contesto degli spazi di Hilbert; rimandiamo il lettore a [3] e [1] per un approfondimento.

Dimostriamo ora la proposizione 3.

Dimostrazione della proposizione 3. Siano u_1,u_2 due soluzioni del problema 1. Per la linearità dell’equazione, la differenza w \coloneqq u_1-u_2 è una soluzione del problema

(49) \begin{equation*} \begin{cases} w_{t}(x,t)=\alpha w_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t> 0\\ w(0,t)=w(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\ w(x,0)=0 & \forall x \in [0,L]. \end{cases} \end{equation*}

Moltiplicando l’equazione differenziale per w e integrando in [0,L] si ottiene

(50) \begin{equation*} 0 = \int_0^L w_t(x,t)w(x,t) \,\mathrm{d}x- \int_0^L w_{xx}(x,t) w(x,t) \,\mathrm{d}x = \int_0^L w_t(x,t)w(x,t) \,\mathrm{d}x + \int_0^L w_x^2(x,t) \,\mathrm{d}x, \end{equation*}

dove alla seconda uguaglianza abbiamo integrato per parti il secondo termine e abbiamo utilizzato w(0)=w(L)=0.

Poiché \int_0^L w_x^2(x,t) \mathrm{d}x \geq 0 per ogni t \geq 0, ciò implica che

(51) \begin{equation*} 0 \leq \int_0^L w_t(x,t)w(x,t) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_0^L \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} w^2(x,t) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_0^L w^2(x,t) \,\mathrm{d}x \qquad \forall t \geq 0, \end{equation*}

dove nella terza uguaglianza abbiamo derivato sotto il segno di integrale [2, capitolo 3, sezione 34]. Dunque l’energia \frac{1}{2} \int_0^L w^2(x,t) \,\mathrm{d}x è decrescente nel tempo, in quanto la sua derivata è negativa. Essa è inoltre non-negativa in quanto integrale di una funzione non-negativa. Pertanto per ogni t \geq 0 si ha

(52) \begin{equation*} 0 \leq \frac{1}{2} \int_0^L w^2(x,t) \,\mathrm{d}x \leq \frac{1}{2} \int_0^L w^2(x,0) \,\mathrm{d}x = 0, \end{equation*}

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo usato la condizione iniziale w(x,0)=0. Tale catena di disuguaglianze prova che l’energia è nulla per ogni t \geq 0; poiché w^2 \geq 0, ciò implica che w è la funzione ovunque nulla.

Osservazione 9. La proposizione 7, l’osservazione 8 e la proposizione 3 mettono in luce una caratteristica importantissima dell’equazione del calore. Anche se la configurazione iniziale della temperatura è poco regolare, ovvero anche se la funzione u(\cdot,0) è soltanto regolare a tratti o addirittura solo integrabile, la distribuzione spaziale della temperatura u(\cdot,t) diventa immediatamente infinitamente derivabile in ogni istante t>0. Questa proprietà viene espressa dicendo che l’equazione del calore regolarizza le soluzioni.

   

  1. Verificheremo a posteriori che la funzione u ottenuta è soluzione del problema, quindi possiamo non preoccuparci della liceità di questa operazione. ↩

    2.    

    1. Basta applicare il criterio del rapporto. ↩

      2.    

      1. La serie \sum_{k=1}^{+\infty}k^n e^{-k^2} è convergente per ogni n \in \mathbb{N} per il criterio del rapporto. ↩

 
 

L’equazione delle onde

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In questa sezione ci dedichiamo al problema ai dati iniziali/al bordo relativo all’equazione delle onde.

Problema 10 (equazione delle onde). Dati c\in \mathbb{R}\setminus\{0\} e L \in \mathbb{R} e date due funzioni f,g \colon [0,L] \to \mathbb{R}, determinare una soluzione di

(53) \begin{equation*} \begin{cases} u_{tt}(x,t)=c^2 u_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t\geq 0\\ u(0,t)=u(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\ u(x,0)=f(x) & \forall x \in [0,L]\\ u_t(x,0)=g(x) & \forall x \in [0,L].\\ \end{cases} \end{equation*}

\[\quad\]

Il risultato principale di questa sezione è il seguente.

\[\quad\]

Teorema 11 (soluzione del problema 10). Se f è di classe C^2 e g è di classe C^1, allora il problema 10 possiede una soluzione u \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

(54) \begin{equation*} u(x,t) = \sum_{k=1}^{+\infty} \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right) \Big(A_k\cos(\lambda_k t)+B_k\sin(\lambda_k t)\Big) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty), \end{equation*}

dove \lambda_k= \frac{k\pi}{L}, mentre A_k, B_k sono dati da

(55) \begin{equation*} A_k = \dfrac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \left( \dfrac{k \pi}{L}x \right) \,\mathrm{d} x, \quad B_k = \dfrac{2}{c k \pi} \int_0^L g(x) \sin \left( \dfrac{k \pi}{L}x \right) \,\mathrm{d} x \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}

Essa è inoltre l’unica soluzione del problema 1.

\[\quad\]

Osservazione 12. I coefficienti A_k e B_k della funzione u soddisfano

(56) \begin{equation*} A_k= \alpha_k, \quad B_k= \frac{\beta_k}{\lambda_k} \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \end{equation*}

dove \alpha_k e \beta_k sono i coefficienti di Fourier rispettivamente delle funzioni f,g estese in maniera dispari a \mathbb{R} e in modo che siano periodiche di periodo 2L. Nel seguito considereremo tacitamente f e g pari a queste estensioni periodiche.


 
 

Spiegazione fisica dell’equazione delle onde

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L’equazione delle onde trae la propria origine dalla descrizione del moto di una corda vibrante. Immaginiamo una corda di lunghezza iniziale L che giaccia su un piano xy, i cui estremi sono tesi nei punti (0,0) e (L,0). Si immagini che gli altri punti della corda siano liberi di muoversi senza attrito nella direzione verticale delle ordinate; supponiamo inoltre che venga data una piccola oscillazione iniziale ad alcune porzioni della corda e che successivamente essa sia lasciata libera di muoversi.

La coordinata y al tempo t \geq 0 del punto della corda avente ascissa x \in [0,L] è descritta dalla funzione u(x,t). Si vuole determinare la funzione definita da u(x,t), una volta note le condizioni iniziali della corda.

La condizione u(0,t)=u(L,t)=0 per t \geq 0 esprime il fatto che i due estremi della corda sono fissi nei punti (0,0) e (L,0). Tale situazione è rappresentata in figura 2.

\[\quad\]

Figura 2: schematizzazione di una corda vibrante. All’istante t l’ordinata del punto della corda avente ascissa x è fornito dal valore u(x,t).

\[\quad\]

La funzione f descrive il profilo iniziale della corda, infatti la condizione u(x,0)=f(x) afferma proprio che l’ordinata u(x,0) iniziale del punto della corda avente ascissa x è fornito dal valore f(x).

Per determinare il moto della corda, è necessario descrivere anche la velocità iniziale della corda e ciò avviene tramite la funzione g: la condizione u_t(x,0)=g(x) traduce il fatto che la velocità u_t(x,0) nella direzione verticale del punto della corda avente ascissa x è data proprio dal valore g(x).

La funzione u è quindi determinata, oltre che dalle condizioni iniziali e al bordo, dall’equazione differenziale u_{tt}=cu_{xx}. Spieghiamo l’intuizione soggiacente a tale equazione.

Facciamo l’assunzione iniziale che il discostamento della corda dalla condizione di equilibrio u(x,t)=0 è piccolo e che tutti gli angoli in gioco siano molto piccoli. Si consideri un piccolo pezzo di corda, compreso tra le ascisse x e x+h di massa m all’istante t. Per la seconda legge di Newton, la forza risultante (F_r)_y nella direzione y agente sul pezzo di corda è fornita dal prodotto dell’accelerazione u_{tt}(x,t) per la massa m:

(57) \begin{equation*} (F_r)_y = m u_{tt}(x,t) = \rho h u_{tt}(x,t), \end{equation*}

dove abbiamo scritto la massa m come prodotto della densità lineare \rho della corda per la lunghezza h del pezzo considerato.4

Consideriamo ora le forze a cui è soggetto il pezzo di corda: si tratta della tensione nella corda, che possiamo considerare costante rispetto a x e pari a T, diretta nella direzione tangente al pezzo di corda e avente verso uscente: \vec{F}=\vec{F}(x) + \vec{F}(x+h). Scriviamo ora questa equazione in componenti:

(58) \begin{equation*} (F_r)_x = - T \cos(\theta(x)) + T \cos(\theta(x+h)), \qquad (F_r)_y = - T \sin(\theta(x)) + T \sin(\theta(x+h)). \end{equation*}

Poiché stiamo assumendo che tali angoli sono vicini a 0, possiamo approssimare al primo ordine

(59) \begin{equation*} \cos(\theta(x))=\cos(\theta(x+h))=1, \qquad \sin(\theta(x))=\tan(\theta(x)), \qquad \sin (\theta(x+h)) = \tan(\theta(x+h)). \end{equation*}

La quantità \tan(\theta(\cdot)) corrisponde inoltre alla derivata nella direzione x della funzione u(\cdot,t) che descrive il profilo della corda all’istante t, quindi

(60) \begin{equation*} (F_r)_y = T \big( u_x(x+h,t)- u_x(x,t) \big). \end{equation*}

Unendo (57) e (60) otteniamo

(61) \begin{equation*} u_{tt}(x,t) = \dfrac{T}{\rho} \dfrac{u_x(x+h,t)- u_x(x,t)}{h}. \end{equation*}

Considerando il limite per h \to 0 della precedente relazione otteniamo

(62) \begin{equation*} u_{tt}(x,t) = c^2 u_{xx}(x,t), \end{equation*}

ovvero l’equazione differenziale in (53), dove abbiamo posto c^2= \frac{T}{\rho}. Questa scelta è dovuta al fatto che la quantità \frac{T}{\rho} è dimensionalmente il quadrato di una velocità, che abbiamo quindi indicato con c. Si può verificare che c corrisponde alla velocità di trasmissione dell’onda attraverso la corda.

   

  1. La lunghezza del pezzo di corda è circa pari a \frac{h}{\cos \theta}, ma poiché stiamo assumendo che tutti gli angoli siano piccoli, possiamo ragionevolmente approssimarla con h. ↩

 
 

Risoluzione dell’equazione delle onde e unicità della soluzione

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Anche in questo caso potremmo direttamente dimostrare il teorema 11, ma preferiamo illustrare al lettore le motivazioni che conducono alla formulazione dell’espressione di u data in (54). Nel passo 3 del metodo mostreremo poi che tale u è soluzione dell’equazione delle onde, provando quindi il teorema 11.

Utilizziamo dunque lo stesso metodo descritto all’inizio della sezione 1. Poiché alcuni passaggi sono molto simili a quelli effettuati nella sezione 2, li presenteremo in maniera più snella. Il lettore potrà consultare la sezione 2 per maggiori dettagli.

Passo 1. Vogliamo determinare delle funzioni F \colon [0,L] \to \mathbb{R} e G \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R} in modo che la funzione u definita da

(63) \begin{equation*} u(x,t)=F(x) G(t) \qquad \forall x \in [0,L],\,\,\, \forall t \in [0,+\infty) \end{equation*}

sia una soluzione dell’equazione differenziale u_{tt}=cu_{xx}. Indichiamo di nuovo con “ ' ” le derivate rispetto a x e con “ \dot{} ” quelle rispetto a t, ottenendo

(64) \begin{equation*} F(x)\ddot{G}(t)=c^2 F''(x) G(t) \qquad \forall x \in [0,L],\,\,\, \forall t \in [0,+\infty), \end{equation*}

ossia, dividendo l’equazione per F(x)G(t),5

(65) \begin{equation*} \dfrac{\ddot{G}(t)}{c^2 G(t)} = \dfrac{F''(x)}{F(x)} \qquad \forall x \in [0,L],\,\,\, \forall t \in [0,+\infty). \end{equation*}

Anche in questo caso, dato che le funzioni \frac{\ddot{G}}{G} e \frac{F''}{F} dipendono da variabili diverse, l’uguaglianza è valida solo se esse sono costanti. Esiste quindi una costante \beta \in \mathbb{R} tale che

(66) \begin{equation*} \dfrac{\ddot{G}(t)}{c^2 G(t)} = \dfrac{F''(x)}{F(x)} = \beta \qquad \forall x \in [0,L],\,\,\, \forall t \in [0,+\infty). \end{equation*}

Da ciò ricaviamo quindi che F,G risolvono le equazioni differenziali ordinarie

(67) \begin{gather*} F''(x) = \beta F(x) \qquad \forall x \in [0,L], \\ \end{gather*}

(68) \begin{gather*} \ddot{G}(t) = c^2 \beta G(t) \qquad \forall t \in [0,+\infty). \end{gather*}

Passo 2. Analizzando (67), con gli stessi ragionamenti fatti per l’equazione del calore e ricordando che la condizione al bordo u(0,t)=u(L,t)=0 implica F(0)=F(L)=0, otteniamo che \beta_k= -\left(\frac{k\pi}{L}\right)^2 per qualche k \in \mathbb{N} e quindi ricaviamo la successione di soluzioni F_k definite da

(69) \begin{equation*} F_k(x)=\sin\left(\frac{k\pi}{L}x\right), \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\,\forall x \in [0,L]. \end{equation*}

Ricordando \beta_k= -\left(\frac{k\pi}{L}\right)^2 e definendo

(70) \begin{equation*} \lambda_k \coloneqq c\dfrac{k\pi}{L} \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \end{equation*}

fissando k \in \mathbb{N} l’equazione per G (68) diviene

(71) \begin{equation*} \ddot{G} = - \lambda_k^2 G. \end{equation*}

Essa è ancora l’equazione di un oscillatore armonico. Poiché la condizione al bordo su u non impone restrizioni su G, otteniamo che la sua soluzione generale è la funzione G_k definita da

(72) \begin{equation*} G_k(t)=A_k\cos(\lambda_k t)+B_k\sin(\lambda_k t) \qquad \forall t \geq 0, \end{equation*}

per opportuni coefficienti A_k, B_k.

Ricordando di aver imposto u=F\cdot G, usando (69) e (72) si può facilmente verificare che, per ogni k \in \mathbb{N}, la funzione u_k \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

(73) \begin{equation*} u_k(x,t) = F_k(x) G_k(t) = \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right) \Big(A_k\cos(\lambda_k t)+B_k\sin(\lambda_k t)\Big) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty) \end{equation*}

è soluzione dell’equazione

(74) \begin{equation*} \begin{cases} u_{tt}(x,t)=c^2 u_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t\geq 0\\ u(0,t)=u(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\[8pt] u(x,0)=A_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L} x\right) & \forall x \in [0,L]\\[8pt] u_t(x,0)= B_k \lambda_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L} x\right) & \forall x \in [0,L]. \end{cases} \end{equation*}

Passo 3: dimostrazione del teorema 11. Sviluppando f e g in serie di Fourier ricaviamo

(75) \begin{equation*} f(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} \alpha_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L} x\right), \quad g(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} \beta_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L} x\right) \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}

dove \alpha_k e \beta_k sono rispettivamente i coefficienti di Fourier di f e g, ossia

(76) \begin{equation*} \alpha_k = \dfrac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left(\dfrac{k\pi}{L} x\right) \,\mathrm{d} x, \quad \beta_k = \dfrac{2}{L} \int_0^L g(x) \sin\left(\dfrac{k\pi}{L} x\right) \,\mathrm{d} x \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}

Osserviamo che le serie in (75) convergono puntualmente per il teorema 2.8 di Serie di Fourier – Teoria e applicazioni, in quanto f,g sono assunte essere rispettivamente di classe C^2 e C^1, quindi in particolare regolari a tratti.

Poiché per ogni k \in \mathbb{N} la funzione u_k definita in (73) è soluzione del problema (74), per la linearità dell’equazione e dalle espressioni (75) è ragionevole supporre che una soluzione del problema (53) sia la funzione u \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

(77) \begin{equation*} u(x,t) = \sum_{k=1}^{+\infty} \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right) \Big(A_k\cos(\lambda_k t)+B_k\sin(\lambda_k t)\Big) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty), \end{equation*}

dove

(78) \begin{equation*} A_k = \alpha_k, \quad B_k \lambda_k = \beta_k \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}

Ovviamente questa è solo una motivazione intuitiva e non costituisce una dimostrazione del teorema 11, cioè che la funzione u sia effettivamente soluzione di (53). Per provare ciò, occorre mostrare che:

\[\quad\]

  1. u è ben definita, ossia che la serie in (73) converge;

    2.  

  2. u è derivabile 2 volte nella variabile t e nella variabile x e soddisfa l’equazione e le condizioni al bordo in (53).

Ciò è conseguenza della seguente proposizione, che stabilisce la nota formula di D’Alembert.

Proposizione 13 (formula di D’Alembert). Nelle ipotesi del teorema 11, la serie u in (77) converge puntualmente in [0,L] \times [0,+\infty). Inoltre la funzione u da essa definita soddisfa la seguente ormula di D’Alembert:

(79) \begin{equation*} u(x,t) = \dfrac{1}{2} \Big( f(x+ ct) + f(x-ct) \Big) + \dfrac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) \,\mathrm{d} s \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty). \end{equation*}

In particolare u è di classe C^2 e risolve l’equazione delle onde (53).

\[\quad\]

Dimostrazione. Chiamiamo S_n la somma parziale n-esima della serie (77). Usando le formule di Werner e le definizioni di A_k, B_k date in (78), si ottiene

(80) \begin{equation*} \begin{split} S_n = & \dfrac{1}{2} \Bigg( \sum_{k=1}^n \alpha_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x + \lambda_k t\right) + \sum_{k=1}^n \alpha \sin\left(\frac{k\pi}{L} x - \lambda_k t\right) + \sum_{k=1}^n \dfrac{\beta_k}{\lambda_k} \cos\left(\frac{k\pi}{L} x - \lambda_k t\right) \\ & \qquad - \sum_{k=1}^n \dfrac{\beta_k}{\lambda_k} \cos\left(\frac{k\pi}{L} x + \lambda_k t\right) \Bigg) \qquad \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty). \end{split} \end{equation*}

Ora osserviamo che, per la prima espressione in (75) e per la definizione di \lambda_k in (70) si ha

(81) \begin{equation*} \begin{gathered} \sum_{k=1}^{+\infty} \alpha_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x + \lambda_k t\right) = \sum_{k=1}^{+\infty} \alpha_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} (x + ct)t\right) = f(x+ct) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty), \\ \sum_{k=1}^{+\infty} \alpha_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x - \lambda_k t\right) = \sum_{k=1}^{+\infty} \alpha_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} (x - ct)t\right) = f(x-ct) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty). \end{gathered} \end{equation*}

Di nuovo ricordando la definizione di \lambda_k in (70), per le altre due sommatorie in (80) troviamo

(82) \begin{equation*} \begin{split} \sum_{k=1}^{n} \beta_k \dfrac{L}{c k \pi} \cos\left(\frac{k\pi}{L} (x - ct)\right) - \sum_{k=1}^{n} \beta_k \dfrac{L}{c k \pi} \cos\left(\frac{k\pi}{L} (x + ct)\right) = & \dfrac{1}{c} \sum_{k=1}^{n} \beta_k \int_{x-ct}^{x+ct} \sin\left(\frac{k\pi}{L} s \right) \,\mathrm{d} s \\ = & \dfrac{1}{c} \int_{x-ct}^{x+ct} \left( \sum_{k=1}^{n} \beta_k\sin\left(\frac{k\pi}{L} s \right) \right) \,\mathrm{d} s. \end{split} \end{equation*}

Consideriamo il limite per n \to + \infty nell’equazione precedente in quanto l’integranda all’ultimo membro è la serie di Fourier della funzione g, che si può integrare per serie per il teorema 2.18 di Serie di Fourier – Teoria e applicazioni. Quindi si ottiene

(83) \begin{equation*} \begin{split} \sum_{k=1}^{+\infty} \beta_k \dfrac{L}{c k \pi} \left( \cos\left(\frac{k\pi}{L} (x - ct)\right) - \cos\left(\frac{k\pi}{L} (x + ct)\right) \right) = & \dfrac{1}{c} \int_{x-ct}^{x+ct} \left( \sum_{k=1}^{+\infty} \beta_k\sin\left(\frac{k\pi}{L} s \right) \right) \,\mathrm{d} s \\ = & \dfrac{1}{c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) \,\mathrm{d} s. \end{split} \end{equation*}

Inserendo (81) e (83) in (80) otteniamo che S_n è convergente per n \to + \infty, quindi u è ben definita e soddisfa la formula di D’Alembert (79).

Dato che u soddisfa l’uguaglianza in (79), f è di classe C^2 e g è di classe C^1, per il teorema fondamentale del calcolo integrale (teorema 4.1 di Teorema fondamentale del calcolo integrale) si ha che u è di classe C^2 e inoltre soddisfa

(84) \begin{gather*} u_{tt}(x,t) = \dfrac{c^2}{2} \Big( f''(x+ ct) + f''(x-ct) \Big) \dfrac{c}{2} \Big( g'(x+ct)-g'(x-ct) \Big) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty), \\ u_{xx}(x,t) = \dfrac{1}{2} \Big( f''(x+ ct) + f''(x-ct) \Big) \dfrac{1}{2c} \Big( g'(x+ct)-g'(x-ct) \Big) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty), \end{gather*}

dove si è usato di nuovo il teorema fondamentale del calcolo integrale (teorema 4.1 di Teorema fondamentale del calcolo integrale) per derivare la funzione integrale. Ciò mostra che u soddisfa l’equazione differenziale in (53). In aggiunta essa soddisfa le condizioni iniziali in quanto di nuovo da (79) è chiaro che u(x,0)=f(x) per ogni x \in [0,L] e inoltre

(85) \begin{equation*} u_t(x,0) = \dfrac{c}{2}\big( f'(x) - f'(x) \big) + \dfrac{c}{2c}\big( g(x)+ g(x) \big) = g(x) \qquad \forall x \in [0,L], \end{equation*}

dove si è usato di nuovo il teorema fondamentale del calcolo integrale (teorema 4.1 di Teorema fondamentale del calcolo integrale) per derivare la funzione integrale.

Ciò dimostra dunque l’esistenza della soluzione enunciata nel teorema 11. L’unicità della soluzione si dimostra in maniera analoga a quanto fatto per l’unicità della soluzione dell’equazione del calore provata con la proposizione 3. Invitiamo pertanto il lettore a dimostrarla come utile esercizio.    

  1. Anche in questo caso verificheremo a posteriori che la funzione u determinata sarà soluzione dell’equazione differenziale, quindi possiamo non preoccuparci del fatto che le divisioni siano effettivamente lecite. ↩

 
 

Riferimenti bibliografici

[1] Brezis, H., Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer (2010).

[2] Marcellini, P. & Fusco, N. & Sbordone, C., Analisi Matematica due, Liguori (2001).

[3] Rudin, W., Real and complex Analysis, McGraw-Hill (1984).