Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche

Funzioni elementari, Teoria sulle Funzioni: Concetti Fondamentali e Proprietà

Home » Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche

Il presente volume è una risorsa essenziale nell’esplorazione delle funzioni elementari, naturale prosecuzione di Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche . In questa seconda parte offriamo una presentazione chiara, semplice ma accurata dei seguenti argomenti:

  • Definizione degli angoli orientati e le loro misure in gradi e radianti;
  • Funzioni trigonometriche fondamentali seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante;
  • Funzioni trigonometriche inverse arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante, e arcocosecante;
  • Formule trigonometriche di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione;
  • Funzioni seno e coseno iperbolico, loro inverse e relative formule.

Grazie a una trattazione dettagliata ma vicina al lettore, il volume è ideale sia per studenti della scuola secondaria, sia per studenti universitari che desiderano prepararsi ai corsi di Analisi Matematica. Gli argomenti vengono presentati con esempi concreti e grafici illustrativi, rendendo il materiale accessibile e facilmente comprensibile.

Cosa aspetti quindi? Non ti resta che immergerti nella lettura di questi affascinanti temi!

Oltre all’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo, consigliamo la lettura del seguente materiale collegato:

 

Prerequisiti

Leggi...

Questo testo è pensato per un ampio pubblico e prevede i seguenti requisiti minimi: la logica elementare (implicazione, equivalenza), la definiziona di insieme, le operazioni tra insiemi (unione, intersezione, prodotto cartesiano), e infine la definizione e le proprietà degli insiemi numerici.

Per leggere con profitto questo volume, il lettore dovrebbe anche conoscere le definizioni fondamentali della teoria delle funzioni, così come le proprietà generali delle funzioni contenute in Teoria delle funzioni : definizione di funzione, immagine, controimmagine, iniettività, suriettività, biettività, limitatezza, massimi, minimi, monotonia, periodicità. Inoltre, nell’ultima sezione faremo uso delle funzioni esponenziali, introdotte in Funzioni elementari – Volume 1. Invitiamo il lettore a consultare tali volumi in modo da avere una panoramica degli argomenti in esso contenuti.

 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Roberto Castorrini , Jacopo Garofali.  

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Sara Sottile.

 

Notazioni

Leggi...

\emptyset \qquad \qquadinsieme vuoto;
\mathbb{N}\coloneqq \{ 1,2, \dots \} \qquad \qquadinsieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z} \qquad \qquadinsieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup \{0\} \qquad \qquadinsieme dei numeri interi non negativi;
\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}\setminus\{0\} \qquad \qquadinsieme dei numeri interi non nulli;
\mathbb{Q} \qquad \qquadinsieme dei numeri razionali;
\mathbb{R} \qquad \qquadinsieme dei numeri reali;
\mathbb{C} \qquad \qquadinsieme dei numeri complessi;
\mathbb{R}^+\coloneqq \{x\in \mathbb{R}: x>0\} \qquad \qquadinsieme dei numeri reali positivi, cf. [4, Definizione 2.62];
\mathbb{R}^+_0\coloneqq \{x\in \mathbb{R}: x \ge 0\} \qquad \qquadinsieme dei numeri reali non negativi, cf. [4, Definizione 2.62];
\mathbb{R}^-\coloneqq \{x \in \mathbb{R}: x<0\} \qquad \qquadinsieme dei numeri reali negativi, cf. [4, Definizione 2.62];
\mathbb{R}^-_0\coloneqq \{x\in \mathbb{R}: x \le 0\} \qquad \qquadinsieme dei numeri reali non positivi, cf. [4, Definizione 2.62];
\mathbb{R}^*\coloneqq \{x \in \mathbb{R}: x \neq 0\} \qquad \qquadinsieme dei numeri reali non nulli;
A \times B \qquad \qquadprodotto cartesiano degli insiemi A e B;
A^c\coloneqq U\setminus A \qquad \qquadcomplementare di A nell’insieme ambiente U;
\mathbb{R}^2\coloneqq \mathbb{R}\times \mathbb{R} \qquad \qquadpiano cartesiano, i.e. prodotto cartesiano di \mathbb{R} con sè stesso;
f \colon E \to F \qquad \qquadfunzione da E a F, cf. [4, Definizione 1.1];
f \colon x \in E\mapsto f(x) \in F \qquad \qquadfunzione da E a F, cf. [4, Definizione 1.1];
{\rm Dom} f \qquad \qquaddominio della funzione f, cf. [4, Definizione 1.1];
\Gamma_f \qquad \qquadgrafico della funzione f, cf. [4, Definizione 1.2];
f(A) \qquad \qquadimmagine dell’insieme A tramite f, cf. [4, Definizione 1.6];
{\rm Im} f \qquad \qquadimmagine della funzione f, cf. [4, Definizione 1.6];
f^{-1}(B) \qquad \qquadcontroimmagine dell’insieme B tramite f, cf. [4, Definizione 1.11];
g \circ f \qquad \qquadcomposizione delle funzioni g e f, cf. [4, Definizione 2.16];
{\rm Id}_E \qquad \qquadfunzione identità di E, cf. [4, Definizione 2.18];
f|_{E'}, f|^{F'}, f|_{E'}^{F'} \qquad \qquadrestrizioni di f, cf. [4, Definizione 2.29];
f^{-1} \qquad \qquadfunzione inversa di f, cf. [4, Definizione 2.22];
f+g, fg \qquad \qquadrispettivamente somma e prodotto delle funzioni f,g, cf. [4, Definizione 2.10,2.13];
\max E, \min E \qquad \qquadrispettivamente massimo e minimo dell’insieme E, cf. [4, Definizione 2.69];
\sup E, \inf E \qquad \qquadrispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore dell’insieme E, cf. [4, Definizione 2.76];
\max f, \min f \qquad \qquadrispettivamente massimo e minimo della funzione f, cf. [4, Definizione 2.82];
\sup f, \inf f \qquad \qquadrispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore della funzione f, cf. [4, Definizione 2.82];
\overset{\rightarrow}{AB} \qquad \qquadvettore di estremo iniziale A ed estremo finale B;
AB \qquad \qquadsegmento di estremi A e B;
\overline{AB} \qquad \qquadmisura del segmento di estremi A e B;
\overset{\large \frown}{AB} \qquad \qquadarco di circonferenza di estremi A e B;
\angle ABC \qquad \qquadangolo di vertice B, di lato iniziale \overset{\rightarrow}{BA} e lato finale \overset{\rightarrow}{BC};
\triangle ABC \qquad \qquadtriangolo di vertici A, B, C.

 

Introduzione

Leggi...

Lo scopo di queste note è fornire gli strumenti minimi necessari alla comprensione del concetto di funzione reale di variabile reale, descrivendone le proprietà principali, ponendo una particolare attenzione sui grafici di alcune funzioni elementari fondamentali. In particolare, in questo volume, presentiamo due famiglie di funzioni elementari note come funzioni trigonometriche e funzioni iperboliche. Di esse studiamo le principali proprietà, ne rappresentiamo i grafici e mostriamo alcuni esempi di utilizzo.

Di seguito un breve sommario della dispensa:  

  • Nella sezione 1 introduciamo la nozione di angolo, di misura di un angolo, e costruiamo le funzioni trigonometriche geometricamente. Studiamo inoltre la circonferenza goniometrica, parametrizzata dalle funzioni trigonometriche, e introduciamo le coordinate polari nel piano.
  • Nella sezione 2 riportiamo le principali formule che coinvolgono le funzioni trigonometriche, ordinate per difficoltà.
  • Nella sezione 3 studiamo le principali proprietà delle funzioni trigonometriche e ne rappresentiamo il grafico.
  • Nella sezione 4 dimostriamo l’esistenza delle funzioni inverse delle funzioni trigonometriche e ne studiamo le proprietà, rappresentandone il grafico.
  • Nella sezione 6 introduciamo le cosiddette funzioni iperboliche, chiamate così perché parametrizzano un arco di iperbole.

 

Prime definizioni

Leggi...

In questa sezione ci occupiamo di definire le cosiddette funzioni trigonometriche , i.e. relative ai triangoli, note anche come funzioni goniometriche , i.e. funzioni legate alle misure degli angoli o ancora come funzioni circolari , i.e. relative a una circonferenza. Le diverse nomenclature esistenti riflettono il fatto che ci sono diversi modi di definire tali funzioni. In questa dispensa scegliamo di definirle in modo geometrico, usando i triangoli rettangoli. Per definizioni più rigorose, si veda ad esempio [6, pag. 182].

Prima di tutto definiamo rigorosamente un angolo.  

Definizione 1 (angoli). Chiamiamo angolo una figura geometrica piana composta da due semirette Oa e Ob, detti i lati dell’angolo, aventi in comune un estremo O, detto vertice dell’angolo, insieme con una scelta di quale sia il lato iniziale e quale sia il lato finale. Identifichiamo due angoli se i loro lati possono essere sovrapposti ordinatamente tramite una traslazione e una rotazione.

 

Denotiamo con \angle AOB l’angolo avente per lati le semirette Oa e Ob individuate dai segmenti OA e OB, essendo A\in a e B\in b due punti distinti da O. Quando non è necessario esplicitare vertice e lati, indichiamo gli angoli con le lettere greche \alpha, \beta, \gamma, \dots. Si veda la figura 1 per una rappresentazione grafica.

   

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1: un angolo \angle AOB

   

Osservazione 2. Dati due angoli \angle AOB e \angle A'O'B' aventi i segmenti OA, OB, O'A', O'B' congruenti fra loro, essi sono equivalenti se e soltanto se, nel sovrapporre OA e OA' tramite una traslazione e una rotazione, OB si sovrappone a OB'. In tal caso scriviamo \angle AOB\equiv \angle A'O'B', o semplicemente \angle AOB= \angle A'O'B'.

 

Definizione 3 (operazioni sugli angoli). Siano \angle AOB,\; \angle A'O'B' due angoli. A meno di cambiare i punti scelti, possiamo supporre che i segmenti OA, OB, O'A', O'B' siano congruenti tra loro.

 

  • Somma. La somma di \angle AOB e \angle A'O'B' è l’angolo ottenuto sovrapponendo il lato finale del primo con il lato iniziale del secondo.
  • Angolo zero. L’angolo \angle AOB è detto angolo zero1 se A=B.
  • Angolo opposto. L’angolo \angle BOA è detto l’angolo opposto di \angle AOB. Si noti che la somma di un angolo con il suo opposto produce l’angolo zero.
  • Angolo piatto. L’angolo \angle AOB è piatto se OA e OB sono paralleli e non coincidenti.
  • Angolo retto. L’angolo \angle AOB è retto se, sommato a sè stesso, produce un angolo piatto.

\[\]

  1. In questo contesto l’angolo zero coincide con l’angolo giro, cf. figura 3. ↩

 

Le seguenti figure hanno lo scopo di esplicitare le operazioni sugli angoli appena definite.

   

Rendered by QuickLaTeX.com

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 2: somma di angoli, angolo opposto, angolo zero, angolo piatto.

    La definizione che abbiamo dato potrebbe non rispecchiare la nostra idea di angolo. In effetti, anche la notazione grafica, che fa uso di una freccia, potrebbe sembrare ambigua. Infatti, in essa non viene specificato il senso di rotazione del segmento OA sul segmento OB, come si vede in figura 3.

   

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 3: L’orientazione della freccia in un angolo \alpha.

   

Notiamo quindi che per definire un sistema di misura degli angoli, dobbiamo poter distinguerli a seconda del verso della rotazione della freccia. In questo modo, ad esempio, distinguiamo l’angolo zero, in cui non avviene alcuna rotazione, dall’angolo ottenuto facendo una rotazione completa del lato, detto angolo giro .

Nella prossima definizione, stabiliamo un tale criterio.

 

Definizione 4 (angoli orientati). Un angolo orientato è un angolo \angle AOB con la scelta di un “segno” (o di un verso). Per convenzione, scegliendo il segno + (risp. -), si dice che l’angolo \angle AOB è orientato positivamente (risp. orientato negativamente ) e si fa corrispondere ad esso la porzione di piano ottenuta dalle rotazione in senso antiorario (risp. orario) del lato OA sul lato OB.

 

Si veda la figura 4 per una rappresentazione grafica.

Per semplificare la notazione, denotiamo ancora con \angle AOB un angolo generalizzato, quando non c’è rischio di confusione.

   

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 4: orientazione dell’angolo \theta.

   

   

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 5: angoli e angoli orientati a confronto.

   

La prossima definizione ha lo scopo di introdurre il lettore alla nozione di angolo generalizzato, in cui si tiene conto di quanti giri il lato OA compie sul lato OB nel formare l’angolo \angle AOB.

 

Definizione 5 (angoli generalizzati). Un angolo generalizzato è un angolo orientato con la scelta di un numero naturale n\in \mathbb{N}, detto “indice di avvolgimento” dell’angolo. Ad un angolo \angle AOB con indice n, si fa corrispondere la rotazione che porta il lato OA sul lato OB, compiendo n giri nel verso specificato dall’orientazione.

 

Si veda la figura 6 per una rappresentazione grafica.

Per semplificare la notazione, denotiamo ancora con \angle AOB un angolo generalizzato, quando non c’è rischio di confusione.    

 

Figura 6: un angolo generalizzato.

   


Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi