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Esercizi sulle forme bilineari

Applicazioni lineari ed endomorfismi

Home » Esercizi sulle forme bilineari

In questa sezione troverete 10 esercizi dettagliatamente svolti sulle forme bilineari, organizzati in ordine di difficoltà crescente. Gli argomenti chiave di questa raccolta sono la diagonalizzazione delle forme bilineari e i concetti di vettori e sottospazi ortogonali e isotropi. Questa dispensa, particolarmente indicata per i corsi di algebra rivolti agli studenti di ingegneria, fisica e matematica, si basa sulle conoscenze sulle applicazioni lineari che il lettore può testare in Esercizi sulle applicazioni lineari – 1 e in Esercizi su endomorfismi e diagonalizzazione. Auguriamo una buona lettura!

 

Autori e revisori

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Autore: Daniele Volpe,

Revisori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi, Sara Sottile, Matteo Talluri  


 

Notazioni sulle forme bilineari

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\mathbb{R} campo dei numeri reali
\mathbb{C} campo dei numeri complessi
\mathbb{N} insieme dei numeri naturali (incluso lo zero)
\mathbb{K} campo generico
V spazio vettoriale generico
\dim V dimensione dello spazio vettoriale V
W^{\bot} sottospazio di V ortogonale al sottospazio W \subset V
\mathbf{0}_V vettore nullo in V
\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) spazio vettoriale delle matrici m\times n a coefficienti reali
\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) spazio vettoriale delle matrici quadrate n\times n a coefficienti reali
\operatorname{Id} matrice identità (dimensione deducibile dal contesto)
\operatorname{rnk} A rango della matrice A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})
\det A determinante della matrice quadrata A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})
\operatorname{Tr} A traccia della matrice quadrata A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})
\ker b nucleo della forma bilineare (simmetrica o antisimmetrica) b
A^{\top} trasposta della matrice A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})
\mathbb{R}_{\leq k}[x] spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado al più k \in \mathbb{N}
\operatorname{ma}(\lambda),\ \operatorname{mg}(\lambda) molteplicità algebrica e geometrica dell’autovalore \lambda
\mathcal{L}(v_1,\dots,v_n) \subseteq V sottospazio vettoriale di V generato dai vettori v_1,\dots,v_n \in V
E(\lambda) \subseteq V autospazio relativo all’autovalore \lambda

 

Richiami di teoria sulle forme bilineari

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In questa sezione riepilogheremo i concetti teorici essenziali per la comprensione e lo svolgimento degli esercizi proposti. L’attenzione sarà focalizzata sulla diagonalizzazione di forme bilineari definite su spazi vettoriali di dimensione finita. I risultati presentati sono ampiamente trattati in testi fondamentali di algebra lineare e geometria. Per coloro che desiderano approfondire ulteriormente, si consiglia la consultazione di quattro testi elencati in bibliografia. In particolare, tutte le informazioni qui riportate sono disponibili, con piccole modifiche, ad esempio in [3, capitolo 5, sezioni 3-4].    

Definizione 1.1 (forma bilineare).  Siano V e W spazi vettoriali sul campo \mathbb{K}. Una funzione

\[b\colon V\times W\to \mathbb{K}\]

è detta forma bilineare se soddisfa le seguenti condizioni:

  • linearità nella prima variabile: f(\cdot;w)\colon V\to\mathbb{K} è un’applicazione lineare per ogni w\in W;
  • linearità nella seconda variabile: f(v;\cdot)\colon W\to\mathbb{K} è un’applicazione lineare per ogni v\in V.

Ricordiamo che la definizione di applicazione lineare è stata affrontata nella specifica dispensa sulla diagonalizzazione di endomorfismi, [4]. In termini generali, si utilizza il termine “forme” quando si tratta di applicazioni definite su spazi vettoriali il cui codominio è il campo di scalari associato allo spazio in questione.

Consideriamo ora due spazi vettoriali V e W su un campo \mathbb{K}, rispettivamente di dimensione n ed m e quindi finita. Sia b\colon V\times W\to\mathbb{K} una forma bilineare e siano \mathcal{B}_V=\{v_1,\dots,v_n\}, \mathcal{B}_W=\{w_1,\dots,w_n\} basi rispettivamente di V e W. Come nel caso delle applicazioni lineari, è possibile associare a b una matrice che la rappresenti rispetto alle basi \mathcal{B}_V e \mathcal{B}_W. Infatti, dati due vettori v\in V e w\in W, sappiamo che essi si decompongono in maniera unica nelle rispettive basi:

\[v=\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i,\qquad w=\sum_{j=1}^m \beta_j w_j.\]

Segue quindi dalla linearità in entrambe le variabili che

\[\begin{aligned} b(v;w)& = b\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i;\sum_{j=1}^m \beta_j w_j\right)=\sum_{i=1}^n \alpha_i b\left(v_i; \sum_{j=1}^m \beta_j w_j\right)= \\& =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \alpha_i \beta_j b(v_i; w_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \alpha_i \beta_j B_{ij}, \end{aligned}\]

dove abbiamo posto B_{ij}\coloneqq b(v_i,v_j). Chiamando \alpha \in \mathbb{R}^n il vettore colonna delle componenti di v e \beta \in \mathbb{R}^m il vettore colonna delle componenti di w, possiamo riscrivere la precedente relazione come un prodotto matriciale:

\[b(v;w)=\alpha^{\top}B\beta,\]

dove B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}) è la matrice avente per componenti gli scalari B_{ij} sopra definiti.    

Definizione 1.2 (matrice associata a una forma bilineare).  Siano V,W spazi vettoriali di dimensione finita, rispettivamente n,m\in\mathbb{N}, sul campo \mathbb{K} e sia b\colon V\times W\to \mathbb{K} una forma bilineare. Siano inoltre \mathcal{B}_V=\{v_1,\dots,v_n\}, \mathcal{B}_W=\{w_1,\dots,w_n\} rispettivamente una base di V ed una base di W. La matrice B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}) detta matrice associata alla forma rispetto alla basi \mathcal{B}_V e \mathcal{B}_W è definita da

\[B_{ij}=b(v_i;w_j).\]

Definiamo inoltre il rango della forma bilineare come il rango della matrice B ad essa associata rispetto a due basi qualsiasi per V e W.

È fondamentale comprendere come la matrice associata a una forma bilineare si modifichi al variare delle basi degli spazi V e W. In particolare, per garantire che la definizione di rango fornita in precedenza sia ben posta, è essenziale che questa non dipenda dalla scelta delle basi.    

Proposizione 1.3.  Siano V,W spazi vettoriali di dimensione finita, rispettivamente n,m\in\mathbb{N}, sul campo \mathbb{K} e sia b\colon V\times W\to \mathbb{K} una forma bilineare. Siano inoltre \mathcal{B}_V=\{v_1,\dots,v_n\}, \mathcal{B}_W=\{w_1,\dots,w_n\} rispettivamente una base di V ed una base di W. Siano adesso \mathcal{B'}_V=\{v'_1,\dots,v'_n\}, \mathcal{B'}_W=\{w'_1,\dots,w'_n\} rispettivamente un’altra base di V ed un’altra base di W. La matrice B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}) associata alla forma rispetto alla basi \mathcal{B}_V e \mathcal{B}_W e la matrice B'\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}) associata alla forma rispetto alla basi \mathcal{B'}_V e \mathcal{B'}_W sono legate dalla relazione

\[B'=Q^{\top}BP,\]

dove P\in\mathcal{M}_m(\mathbb{K}) e Q\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) sono rispettivamente la matrice di passaggio dalla base \mathcal{B'}_W alla base \mathcal{B}_W e la matrice di passaggio dalla base \mathcal{B'}_V alla base \mathcal{B}_V.

Una dimostrazione di tale proposizione e ulteriori approfondimenti possono essere reperiti in [3, sezione 5.4.1] nel caso in cui V=W, oppure in [5, capitolo 7, Teorema 5] nel caso generale. Poiché la matrice di cambio di base è invertibile e, allo stesso modo, la sua trasposta è invertibile, considerando che moltiplicare B per matrici di rango massimo ne mantiene invariato il rango, possiamo concludere che la definizione di rango di una forma bilineare sia ben posta. In questa trattazione ci concentreremo esclusivamente su forme bilineari del tipo b\colon V\times V\to\mathbb{R}, dove V è uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Ogni volta che rappresenteremo la forma associandole una matrice rispetto a una base \mathcal{B}_V, assumiamo che la stessa base sia scelta per entrambi gli argomenti. La matrice associata in questo contesto sarà naturalmente una matrice quadrata.    

Definizione 1.4 (nucleo e simmetrie).  Sia V spazio vettoriale di dimensione arbitraria sul campo \mathbb{K} e sia b\colon V\times V\to \mathbb{K} una forma bilineare. b è detta simmetrica se

\[b(v;w)=b(v;w) \qquad \forall v,w\in V.\]

b è altresì detta antisimmetrica se

\[b(v;w)=-b(w;v) \qquad \forall v,w\in V.\]

Se b è simmetrica o antisimmetrica, il suo nucleo è il sottospazio di V definito da

\[\operatorname{Ker}(b)=\{v\in V\colon b(v;w)=0,\forall w\in V\}.\]

Riportiamo un risultato evidente riguardante il legame tra la simmetria e l’antisimmetria di una forma bilineare e quella della sua matrice associata.    

Proposizione 1.5.  La matrice B associata ad una forma bilineare simmetrica rispetto ad una qualsiasi base \mathcal{B}_V è una matrice simmetrica: B^{\top}=B.

La matrice B associata ad una forma bilineare antisimmetrica rispetto ad una qualsiasi base \mathcal{B}_V è una matrice antisimmetrica: B^{\top}=-B.

Per una forma bilineare simmetrica, hanno rilevanza i concetti di vettori e sottospazi ortogonali e isotropi.

Definizione 1.6.  Sia b:V\times V\to\mathbb{K} una forma bilineare simmetrica. Due vettori v ,w\in V sono detti ortogonali se e solo se

\[b(v;w)=0.\]

Un vettore v\in V è detto isotropo se e solo se

\[b(v;v)=0.\]

Due sottospazi V,W\subseteq V sono detti ortogonali se e solo se per ogni v\in V e w\in W si ha che

\[b(v;w)=0.\]

Un sottospazio W\subseteq V è detto isotropo se e solo se è costituito da soli vettori isotropi.

Per diagonalizzare le forme bilineari simmetriche reali, seguiremo la stessa procedura illustrata in [4] per gli endomorfismi. In breve, determineremo il polinomio caratteristico della matrice associata alla forma bilineare e successivamente identificheremo i suoi autovalori. La diagonalizzabilità è garantita a priori dal teorema spettrale. Per una comprensione più approfondita di tale procedura, il lettore può fare riferimento a [5, capitolo 9, sezione 2].

Il termine segnatura di una forma quadratica denota una terna di numeri naturali. Ognuno di essi rappresenta il numero di autovalori positivi, negativi e nulli, considerati con la loro molteplicità algebrica.


 

Testi degli esercizi

 

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Provare che le seguenti applicazioni sono forme bilineari e determinare la matrice associata rispetto alla base canonica dello spazio di definizione:
 

  1. b\colon\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tale che b((x,y);(x',y'))=xx'-2xy'+\frac{1}{2}yy'.

    2.  

  2. b\colon\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} tale che b((x,y,z);(x',y',z'))=xx'-2yy'+zz'.

    3.  

  3. b\colon\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\times\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R} tale che b(A;B)=\operatorname{Tr}(AB^{T}-BA^T).

    4.  

  4. b\colon\mathbb{R}_{\leq 2}[x]\times\mathbb{R}_{\leq 2}[x]\to\mathbb{R} tale che b(f(x);g(x))=f(0)g'(0)+f'(0)g(0), dove con f'(x) si intende la derivata prima del polinomio f(x) rispetto alla variabile x.

    5.  

  5. b\colon\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} tale che b((x_1,\dots,x_n);(y_1,\dots,y_n))=(x_1+\dots+x_n)(y_1+\dots+y_n).

    6.  

  6. b\colon\mathbb{R}_{\leq 2}[x]\times\mathbb{R}_{\leq 2}[x]\to\mathbb{R} tale che b(f(x);g(x))=f(2)\cdot g(2).

    7.  

  7. b\colon\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\times\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R} tale che b((a_{ij});(d_{ij}))=\sum_{1\leq i,j\leq 2}(j-i)a_{ij}d_{ji}.

    8.  

  8. b\colon\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\times\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R} tale che b(A;B)=\operatorname{Tr}(ACB), dove C=\begin{pmatrix}1&-2\\1&1\end{pmatrix}.

Svolgimento punto 1.

Verifichiamo ad ogni punto che b rispetta la definizione (1.1) e determiniamone la matrice associata. Proviamo la linearità nella prima variabile. Siano \alpha,\beta\in\mathbb{R} e (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x',y')\in\mathbb{R}^2

\[\begin{aligned} b(\alpha(x_1,y_1) + \beta (x_2,y_2);(x',y')) &= b((\alpha x_1+\beta x_2,\alpha y_1+\beta y_2));(x',y'))= \\& = (\alpha x_1+\beta x_2)x'-2(\alpha x_1 +\beta x_2)y'+\frac{1}{2}(\alpha y_1+\beta y_2)y'= \\& = \alpha( x_1 x'-2x_1 y'+\frac{1}{2}y_1 y')+\beta ( x_2 x'-2x_2 y'+\frac{1}{2}y_2 y')= \\& = \alpha b((x_1,y_1);(x',y'))+\beta b((x_2,y_2);(x',y')). \end{aligned}\]

La linearità nella seconda variabile si prova in maniera analoga.

Determiniamo la matrice associata calcolando le immagini di tutte le possibili coppie di vettori della base canonica:

\[\begin{aligned} b((1,0);(1,0))&=1,\\ b((1,0);(0,1))&=-2,\\ b((0,1);(1,0))&=0,\\ b((0,1);(0,1))&=\frac{1}{2}. \end{aligned}\]

La matrice associata è quindi data da

\[\boxcolorato{geometria}{M=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.}\]

Svolgimento punto 2.

La prova della bilinearità della forma è identica a quella svolta nell’esercizio precedente. Determiniamo la matrice associata calcolando le immagini di tutte le possibili coppie di vettori della base canonica \mathcal{B}=\{e_1,e_2,e_3\}, dove e_i è, come di consueto, il vettore avente tutte le componenti nulle eccetto l’i-esima pari ad 1.

Notiamo innanzi tutto che ogni qualvolta i\neq j si ha che b(e_i,e_j)=0. Calcoliamo gli elementi in diagonale della matrice associata:

\[\begin{aligned} b(e_1;e_1)&=1,\\ b(e_2;e_2)&=-2,\\ b(e_3;e_3)&=1. \end{aligned}\]

La matrice associata è quindi data da

\[\boxcolorato{geometria}{M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.}\]

Svolgimento punto 3.

Sfruttiamo la linearità e l’invarianza per trasposizione della traccia per provare che b è la forma nulla, e quindi ovviamente è anche bilineare con associata la matrice nulla. Si fissino A,B\in\mathcal{M}_2(\mathbb(R)):

\[\begin{aligned} \operatorname{Tr}(AB^{\top}-BA^{\top})& = \operatorname{Tr}(AB^{\top})-\operatorname{Tr}(BA^{\top})= \\& =\operatorname{Tr}(AB^{\top})-\operatorname{Tr}((BA^{\top})^{\top})= \\& =\operatorname{Tr}(AB^{\top})-\operatorname{Tr}(AB^{\top})=0. \end{aligned}\]

Svolgimento punto 4.

Notiamo prima di tutto che la forma è simmetrica:

\[b(g(x);f(x))=g(0)f'(0)+g'(0)f(0)=f(0)g'(0)+f'(0)g(0)=b(f(x);g(x)).\]

Dunque basta provare la linearità in una sola delle due variabili per provare la bilinearità. Siano quindi \alpha,\beta\in\mathbb{R} e f(x),h(x),g(x)\in\mathbb{R}_{\leq 2}[x]. Si ha che

\[\begin{aligned} b(\alpha f(x)+ \beta h(x);g(x))& =(\alpha f(0)+\beta h(0))g'(0)+(\alpha f(0)+\beta h(0))'g(0) =\\ &=\alpha f(0)g'(0)+\beta h(0)g'(0)+\alpha f'(0)g(0)+\beta h'(0)g(0) =\\ &=\alpha b(f(x);g(x))+\beta b(h(x);g(x)), \end{aligned}\]

dove sono state usate banali proprietà della somma e del prodotto, insieme alla linearità della derivata. In alternativa si può notare, utilizzando la regola di Leibniz, che

\[b(f(x);g(x))=(fg)'(0).\]

A questo punto la simmetria discende dalla commutatività del prodotto fra numeri reali e la bilinearità si deduce dalla linearità della derivata.

Data la base canonica \mathcal{B}=\{x^2,x,1\}, ricaviamo la matrice associata, ricordando che, essendo l’applicazione simmetrica, M sarà una matrice simmetrica anch’essa.

\[\begin{aligned} b(x^2;x^2)&=0,\\ b(x^2;x)&=0,\\ b(x^2;1)&=0,\\ b(x;x)&=0,\\ b(x;1)&=1,\\ b(1;1)&=0. \end{aligned}\]

La matrice associata è quindi data da

\[\boxcolorato{geometria}{M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.}\]

Svolgimento punto 5.

Dalla commutatività del prodotto fra numeri reali segue la simmetria della forma. Dunque basta provare la linearità nella prima variabile, che segue da note proprietà della somma e del prodotto fra numeri reali. Siano quindi \alpha,\beta\in\mathbb{R} e siano (x_1,\dots,x_n),(x'_1,\dots,x'_n),(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n:

\[\begin{aligned} &b(\alpha(x_1,\dots,x_n)+\beta(x'_1,\dots,x'_n);(y_1,\dots,y_n))= \\ &=(\alpha(x_1+\dots+x_n)+\beta(x'_1+\dots+x'_n))(y_1+\dots+y_n)= \\ &=\alpha(x_1+\dots+x_n)(y_1+\dots+y_n)+\beta(x'_1+\dots+x'_n)(y_1+\dots+y_n)= \\ &=\alpha b((x_1,\dots,x_n);(y_1,\dots,y_n))+\beta b((x'_1,\dots,x'_n);(y_1,\dots,y_n)). \end{aligned}\]

Sia \mathcal{B}=\{e_1,\dots,e_n\} la base canonica di \mathbb{R}^n. Si calcola esplicitamente che per ogni coppia di indici i,j\in\{1,\dots,n\}

\[b(e_i,e_j)=1.\]

La matrice associata e b è quindi una matrice n\times n contenente 1 in tutte le componenti:

\[\boxcolorato{geometria}{M=\begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.}\]

Svolgimento punto 6.

Dalla commutatività del prodotto fra numeri reali segue la simmetria della forma. Basta quindi provare la linearità nella prima variabile. Siano dunque \alpha,\beta\in\mathbb{R} e f_1(x),f_2(x), g(x)\in\mathbb{R}_{\leq2}[x]:

\[\begin{aligned} b(\alpha f_1(x)+ \beta f_2(x);g(x))&=(\alpha f_1(2)+\beta f_2(2))\cdot g(2)=\\ &=\alpha f_1(2)\cdot g(2)+\beta f_2(2)\cdot g(2)=\\ &=\alpha b(f_1(x);g(x))+\beta b(f_2(x);g(x)). \end{aligned}\]

Valutiamo la forma su tutte le possibili combinazioni di vettori della base \mathcal{B}=\{x^2,x,1\}.

\[\begin{aligned} b(x^2;x^2)&=16,\\ b(x^2;x)&=8,\\ b(x^2;1)&=4,\\ b(x;x)&=4,\\ b(x;1)&=2,\\ b(1;1)&=1. \end{aligned}\]

La matrice associata è quindi data da

\[\boxcolorato{geometria}{M=\begin{pmatrix} 16 & 8 & 4 \\ 8 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}.}\]

Svolgimento punto 7.

Espandendo la relazione definente la forma si trova

\[b((a_{ij});(d_{ij}))=a_{12}d_{21}-a_{21}d_{12}.\]

La forma in questo caso è antisimmetrica, infatti

\[\begin{aligned} b((d_{ij});(a_{ij})) &=d_{12}a_{21}-d_{21}a_{12}= \\& =-(d_{21}a_{12}-d_{12}a_{21}) = \\& =-b((a_{ij});(d_{ij})). \end{aligned}\]

Quindi anche in questo caso basta provare la linearità nella prima variabile per dedurre la bilinearità. Dati \alpha,\beta\in\mathbb{R} e date A,A',D\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) con componenti a_{ij},a'_{ij},d_{ij}\in\mathbb{R} abbiamo

\[\begin{aligned} b((\alpha a_{ij}+ \beta a'_{ij});(d_{ij}))&=(\alpha a_{12}+\beta a'_{12})d_{21}-(\alpha a_{21}+\beta a'_{21})d_{12}\\ &=\alpha (a_{12}d_{21}- a_{21}d_{12})+\beta (a'_{12}d_{21}- a'_{21}d_{12})\\ &=\alpha b(( a_{ij});(d_{ij}))+\beta b(( a'_{ij});(d_{ij})). \end{aligned}\]

Prendiamo adesso in considerazione la base canonica dello spazio in esame

\[\begin{aligned} \mathcal{B}_{\mathcal{M}_2(\mathbb{R})}&=\left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}= \\& = \{e_1,e_2,e_3,e_4\}. \end{aligned}\]

Si ricavano quindi le uniche componenti non nulle della matrice antisimmetrica M\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}) di componenti M_{ij}=b(e_i,e_j) associata calcolando le immagini dei vettori della base:

\[\boxcolorato{geometria}{M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.}\]

Svolgimento punto 8.

Proviamo la linearità nella prima variabile. Siano A,A',B\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) e siano \alpha,\beta\in\mathbb{R}

\[\begin{aligned} b(\alpha A+\beta A'; B)&= \operatorname{Tr}((\alpha A+\beta A')CB)= \\& =\alpha \operatorname{Tr}(ACB)+\beta\operatorname{Tr}(A'CB) = \\& = \alpha b(A;B)+\beta b(A';B). \end{aligned}\]

dove si sono usate unicamente la distributività del prodotto di matrici rispetto alla somma e la linearità della traccia. La prova della linearità nella seconda variabile è identica. Vogliamo adesso determinare la matrice associata rispetto alla base canonica

\[\begin{aligned} \mathcal{B}_{\mathcal{M}_2(\mathbb{R})}&=\left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}=\\& = \{e_1,e_2,e_3,e_4\}. \end{aligned}\]

Per fare ciò notiamo prima di tutto che due generiche matrici A,B\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) possono essere scritte come

\[A=\sum_{i=1}^4 x_i e_i=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix} \qquad B=\sum_{j=1}^4 x'_j e_j=\begin{pmatrix} x'_1 & x'_2 \\ x'_3 & x'_4 \end{pmatrix}.\]

Possiamo quindi scrivere esplicitamente la forma come

\[\begin{aligned} b(A;B)& =b\left(\sum_{i=1}^4 x_i e_i ;\sum_{j=1}^4 x'_j e_j\right)=\\ &=\operatorname{Tr}\left(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'_1 & x'_2 \\ x'_3 & x'_4 \end{pmatrix}\right)= \\ &=\operatorname{Tr}\left(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'_1-2x'_3 & x'_2-2x'_4 \\ x'_1+x'_3 & x'_2+x'_4 \end{pmatrix}\right)= \\ &=\operatorname{Tr}\begin{pmatrix} x_1x'_1-2x_1x'_3+x_2x'_1+x_2x'_3 & x_1x'_2-2x_1x'_4+x_2x'_2+x_2x'_4 \\ x_3x'_1-2x_3x'_3+x_4x'_1+x_4x'_3 & x_3x'_2-2x_3x'_4+x_4x'_2+x_4x'_4 \end{pmatrix}= \\ &=x'_1x_1-2x'_3x_1+x'_1x_2+x'_3x_2+x'_2x_3-2x'_4x_3+x'_2x_4+x'_4x_4= \\& = \sum_{i,j=1}^n M_{ij}x'_i x_j. \end{aligned}\]

La matrice M\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}) associata alla forma rispetto alla base canonica può quindi essere letta dai coefficienti M_{ij}\in\mathbb{R} della precedente espressione:

\[\boxcolorato{geometria}{M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Provare che le seguenti applicazioni non sono forme bilineari:
 

  1. b\colon\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tale che b((x,y);(x',y'))=-xx'-xy'+3.

    2.  

  2. b\colon\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} tale che b((x,y,z);(x',y',z'))=e^{xx'}-yy'.

    3.  

  3. b\colon\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\times\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R} tale che b(A;B)=\det(A+B).

    4.  

  4. b\colon\mathbb{R}_{\leq 1}[x]\times\mathbb{R}_{\leq 1}[x]\to\mathbb{R} tale che b(ax+\alpha;a'x+\alpha')=aa'+\alpha.

    5.  

  5. b\colon\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} tale che b((x_1,\dots,x_n);(y_1,\dots,y_n))=|x_1 y_1+\dots+x_n y_n|.

    6.  

  6. b\colon\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} tale che b((x_1,\dots,x_n);(y_1,\dots,y_n))=\sqrt{x_1 y_1+\dots x_n y_n}.

    7.  

  7. b\colon\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} tale che b((x_1,\dots,x_n);(y_1,\dots,y_n))=\sqrt{x^2_1 y^2_1+\dots x^2_n y^2_n}.

    8.  

  8. b\colon\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} tale che b((x_1,\dots,x_n);(y_1,\dots,y_n))=1.

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