Accedi ai contenuti scaricabili
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio lavoro ed energia 76

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Esercizio lavoro ed energia 76

L’esercizio 76 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 75 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 77. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 76

Esercizio 76 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale di massa 2m è attaccato, tramite una molla ideale di costante elastica k e lunghezza a riposo \ell_0, ad un altro punto materiale di massa m. Il sistema fisico composto dalle due masse è posto verticalmente con il punto materiale di massa 2m posto ad altezza h dal suolo, come mostrato in figura 0. La molla è inizialmente a riposo. Determinare l’altezza h massima affinché la massa 2m una volta raggiunto il suolo rimanga appoggiata su di esso. Il risultato va espresso in funzione di m, g e k.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1: geometria del problema.

 

Svolgimento.

Inizialmente il sistema è disposto nel vuoto con le due palline allineate verticalmente e la molla è a riposo, quindi non è presente la forza della molla su nessuna delle due palline e le due palline cadono nel vuoto soggette solo alle rispettive forze peso. Quando 2m urta il suolo rimane appoggiata ad esso e non ci sono rimbalzi, la massa m comprime la molla fino a fermarsi per poi tornare indietro e raggiungere l’altezza massima. Tra l’istante iniziale e l’istante in cui la massa 2m tocca il suolo entrambe le masse hanno in ogni istante la stessa velocità, dato che la molla rimane sempre a riposo (cioè né si allunga e né si comprime) e su di esse l’unica forza agente è la forza peso; in altri termini entrambe le masse partendo da ferme e avendo accelerazione pari a -g hanno entrambe velocità pari a v(t)=-gt. La precedente legge è valida solo tra l’istante iniziale e un istante prima che 2m urti il suolo. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oy. Nella figura 2, si rappresenta il sistema di riferimento e il sistema fisico composto dalle due masse all’istante t=0.    

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 2: rappresentazione del sistema di riferimento.}

   

In figura 3, rappresentiamo la situazione un’istante prima che 2m urti il suolo.  

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 3: rappresentazione del sistema un istante prima che 2m urti il suolo.

Lavoro ed energia: Rappresentazione del sistema di riferimento per un problema di fisica con due masse connesse da una molla, dove una massa è posizionata ad un'altezza h dal suolo.

   

Vogliamo determinare la velocità della massa m un’istante prima che 2m urti il suolo applicando la conservazione dell’energia. Sia v_1 la velocità che possiede m un’istante prima che 2m urti il suolo. Abbiamo dunque

(1) \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv^2_1=mgh, \end{equation*}

da cui

(2) \begin{equation*} v_1=\sqrt{2gh}. \end{equation*}

Dopo l’urto l’energia cinetica della massa m inizia a convertirsi in energia potenziale della molla e della forza peso fino alla compressione massima della molla, dove tutta l’energia cinetica si trasforma in energia potenziale. Dopo di ciò il processo si inverte e l’energia potenziale viene riconvertita in energia cinetica (si veda la figura 4).

   

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 4: rappresentazione dei vari stati del sistema.

Lavoro ed energia: Schema che mostra la situazione un istante prima che una delle masse, connessa da una molla, urti il suolo. Il diagramma include le velocità delle due masse.    

Nel momento dell’urto 2m rimane attaccata al terreno e la massa m scende fino a comprime la molla di una quantità \Delta y per poi risalire fino a far tornare la molla a riposo e in quell’esatto istante avrà velocità v=\sqrt{2gh} rivolta verso l’alto (asse positivo delle y), dopo di che continuerà a salire fino a fermarsi facendo arrivare la lunghezza della molla alla sua ampiezza massima y_{\max }. Affinché la massa 2m rimanga ferma deve valere istante per istante che la somma delle forze applicate ad essa risulti nulla, mentre la massa m sale verso l’alto. Rappresentiamo quanto detto in figura 5.  

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 5: rappresentazione delle forze agenti su 2m mentre m sale.

Lavoro ed energia: Sequenza di stati che illustra la conversione dell'energia cinetica in energia potenziale della molla e il successivo movimento delle masse nel sistema.     Di seguito descriviamo le forze agenti su 2m una volta urtato il terreno. La forza \vec{N} è la reazione vincolare del terreno rivolta nel verso positivo delle y, 2m\vec{g} è la forza peso rivolta nel verso negativo delle y e \vec{F}_M è la forza della molla rivolta nel verso positivo delle y. Ovviamente la forza \vec{F}_M è rivolta nel verso negativo delle y solo fino a quando la molla non raggiunga di nuovo la posizione a riposo. Sia \tilde{y} la posizione di m nel sistema di riferimento Oy. Dalla seconda legge della dinamica per 2m abbiamo

(3) \begin{equation*} N+k\left(\tilde{y}-\ell_0\right)-2mg=0. \end{equation*}

Dato che ci è stato chiesto di determinare l’altezza massima y dobbiamo metterci nella condizione “limite” e questo avviene quando N=0. Imponendo N=0 e sostituendo \tilde{y} con y_{\max} l’equazione (3) diventa

(4) \begin{equation*} ky_{\max}=2mg +\ell_0k\quad \quad \Leftrightarrow \quad y_{\max}=\dfrac{2mg}{k}+\ell_0. \end{equation*}

Sfruttiamo nuovamente la conservazione dell’energia e consideriamo l’istante iniziale in cui la massa 2m tocca terra e l’istante finale in cui m raggiunge la quota y_{\max}. In tale istante m ha velocità nulla (si ricordi che in un moto armonico semplice quando si raggiunge l’ampiezza massima si annulla la velocità). Per la conservazione dell’energia abbiamo

(5) \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv^2_1+mg\ell_0=mgy_{\max}+\dfrac{1}{2}k\left(y_{\max}-\ell_0\right)^2. \end{equation*}

Mettiamo a sistema le equazioni (1), (4) e (5) ottenendo

(6) \begin{equation*} \begin{cases} v_1=\sqrt{2gh}\\[10pt] y_{\max}=\dfrac{2mg}{k}+\ell_0\\[10pt] \dfrac{1}{2}mv_1^2+mg\ell_0=mgy_{\max}+\dfrac{1}{2}k\left(y_{\max}-\ell_0\right)^2. \end{cases} \end{equation*}

Dal precedente sistema si ottiene

(7) \begin{equation*} \begin{aligned} &\dfrac{1}{2}m\left(2gh\right)+mg\ell_0=mg\left(\dfrac{2mg}{k}+\ell_0\right)+\dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{2mg}{k}\right)^2 \quad \Leftrightarrow \\[10pt] & \Leftrightarrow \quad mgh+mg\ell_0=\dfrac{2m^2g^2}{k}+mg\ell_0+\dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{4m^2g^2}{k^2}\right)\quad \Leftrightarrow \\[10pt] &\Leftrightarrow \quad h=\dfrac{2mg}{k}+\dfrac{2mg}{k}=\dfrac{4mg}{k}. \end{aligned} \end{equation*}

Si conclude che

\[\boxcolorato{fisica}{h=\dfrac{4mg}{k}.}\]

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 82 esercizi risolti, contenuti in 255 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione del lavoro ed energia in meccanica classica.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

    Leggi...

    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

    Leggi...

    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






    Document