Esercizio lavoro ed energia 75

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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L’esercizio 75 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 74 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 76. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

Testo lavoro ed energia 75

Esercizio 75 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m$ e dimensioni trascurabili è libero di muoversi senza attrito lungo un profilo circolare di raggio $R$ , disposto verticalmente. Una molla ideale (massa trascurabile e che rispetta la legge di Hooke) ha un estremo attaccato ad un punto fisso $A$ del profilo circolare e l’altro estremo è attaccato al punto materiale di massa $m$ , come rappresentato in figura 1. Il corpo, sottoposto alla forza peso, può scivolare senza attrito lungo il profilo. Inizialmente il corpo si trova fermo nel punto $B$ con $\theta=\theta_0$ ed in tale posizione la molla è a riposo.

Determinare i valori delle componenti normale e tangenziale dell’accelerazione del corpo nei punti $B$ e $C$ indicati in figura 1, supponendo che la costante elastica della molla sia $k$ . I risultati vanno forniti in funzione di $k$ , $g$ , $R$ , $\theta_0$ e $m$ .
Quale valore deve avere la costante $k$ della molla affinché sia nulla la forza esercitata sul profilo quando il corpo, in movimento, si trova al punto $C$ ? I risultati vanno forniti in funzione di $g$ , $R$ , $\theta_0$ e $m$ .

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Figura 1: schema del problema.

Richiami teorici.

Ricordiamo che un angolo alla circonferenza è un angolo convesso avente vertice sulla circonferenza e i lati entrambi secanti oppure uno secante e l’altro tangente alla circonferenza. Dato un angolo alla circonferenza, si dice angolo al centro corrispondente ad esso, l’angolo al centro che insiste sullo stesso arco Si dimostra che l’angolo al centro è pari al doppio del corrispondente angolo alla circonferenza (si veda la figura 2).

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Figura 2: $2\alpha$ angolo al centro, $\alpha$ angolo alla circonferenza.

Diagramma che illustra l'angolo al centro e l'angolo alla circonferenza. Viene mostrato che l'angolo al centro è pari al doppio dell'angolo alla circonferenza corrispondente. Lavoro ed energia in questo contesto riguarda la descrizione geometrica del problema.

Inoltre, ricordiamo due teoremi dei triangoli rettangoli riferendoci alla figura 2.

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Figura 3: triangolo rettangolo.

Diagramma di un triangolo rettangolo, utilizzato per dimostrare le relazioni trigonometriche. Viene indicato l'angolo α alla base e l'angolo β all'ipotenusa. Questo schema supporta la spiegazione geometrica del lavoro ed energia.

Teorema 1.

Dato un triangolo rettangolo, un cateto può essere espresso come il prodotto dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente o per il seno dell’angolo opposto:

$\begin{aligned} &a=i\cos \beta \, ,\,\,a=i\sin \alpha. \\ &b=i\cos \alpha\, , \,\, b=i \sin \beta. \end{aligned}$

Teorema 2.

Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza e avente per un lato un diametro è rettangolo. In particolare, il diametro è l’ipotenusa e l’angolo che insiste sulla circonferenza è retto.

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