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Esercizio lavoro ed energia 75

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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L’esercizio 75 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 74 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 76. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 75

Esercizio 75 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m e dimensioni trascurabili è libero di muoversi senza attrito lungo un profilo circolare di raggio R, disposto verticalmente. Una molla ideale (massa trascurabile e che rispetta la legge di Hooke) ha un estremo attaccato ad un punto fisso A del profilo circolare e l’altro estremo è attaccato al punto materiale di massa m, come rappresentato in figura 1. Il corpo, sottoposto alla forza peso, può scivolare senza attrito lungo il profilo. Inizialmente il corpo si trova fermo nel punto B con \theta=\theta_0 ed in tale posizione la molla è a riposo.

  1. Determinare i valori delle componenti normale e tangenziale dell’accelerazione del corpo nei punti B e C indicati in figura 1, supponendo che la costante elastica della molla sia k. I risultati vanno forniti in funzione di k, g, R, \theta_0 e m.
  2. Quale valore deve avere la costante k della molla affinché sia nulla la forza esercitata sul profilo quando il corpo, in movimento, si trova al punto C? I risultati vanno forniti in funzione di g, R, \theta_0 e m.

 

 

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Figura 1: schema del problema.

 

 

Richiami teorici.

Ricordiamo che un angolo alla circonferenza è un angolo convesso avente vertice sulla circonferenza e i lati entrambi secanti oppure uno secante e l’altro tangente alla circonferenza. Dato un angolo alla circonferenza, si dice angolo al centro corrispondente ad esso, l’angolo al centro che insiste sullo stesso arco Si dimostra che l’angolo al centro è pari al doppio del corrispondente angolo alla circonferenza (si veda la figura 2).  

 

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Figura 2: \small{2\alpha angolo al centro, \alpha angolo alla circonferenza.

Diagramma che illustra l'angolo al centro e l'angolo alla circonferenza. Viene mostrato che l'angolo al centro è pari al doppio dell'angolo alla circonferenza corrispondente. Lavoro ed energia in questo contesto riguarda la descrizione geometrica del problema.

 

  Inoltre, ricordiamo due teoremi dei triangoli rettangoli riferendoci alla figura 2.  

 

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Figura 3: triangolo rettangolo.

Diagramma di un triangolo rettangolo, utilizzato per dimostrare le relazioni trigonometriche. Viene indicato l'angolo α alla base e l'angolo β all'ipotenusa. Questo schema supporta la spiegazione geometrica del lavoro ed energia.

 

 


Teorema 1.

Dato un triangolo rettangolo, un cateto può essere espresso come il prodotto dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente o per il seno dell’angolo opposto:

\[\begin{aligned} &a=i\cos \beta \, ,\,\,a=i\sin \alpha. \\ &b=i\cos \alpha\, , \,\, b=i \sin \beta. \end{aligned}\]

 


Teorema 2.

Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza e avente per un lato un diametro è rettangolo. In particolare, il diametro è l’ipotenusa e l’angolo che insiste sulla circonferenza è retto.

 


Svolgimento punto 1.

Ricordiamo che l’accelerazione normale alla traiettoria di un punto materiale è definita come segue

(1) \begin{equation*} a_N =\dfrac{v^2}{R} \end{equation*}

dove v è il modulo della velocità del punto materiale. Siccome all’istante iniziale tutto è in quiete (v=0), risulta a_N=0. All’istante iniziale il corpo di massa m è soggetto alla sola forza peso m\vec{g} e alla reazione vincolare \vec{N}, generata dal contatto tra il punto materiale e la guida. Scegliamo un opportuno sistema di riferimento fisso Bnt, tangente e normale alla guida circolare, come rappresentato in figura 4.

   

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Figura 4: rappresentazione della situazione iniziale e del sistema di riferimento.

Diagramma che rappresenta la situazione iniziale e il sistema di riferimento per calcolare l'accelerazione normale alla traiettoria di un punto materiale lungo un profilo circolare. Il sistema di riferimento è tangente e normale alla guida circolare. Lavoro ed energia sono espressi nel contesto delle forze in gioco.     La reazione vincolare \vec{N} è normale alla guida, quindi l’unica forza che possiamo proiettare sull’asse tangente è m\vec{g}, cioè

(2) \begin{equation*} mg \sin \theta_0 = ma_t(0), \end{equation*}

dove a_t(0) è l’accelerazione tangenziale alla guida all’istante t=0, dunque

(3) \begin{equation*} \boxed{ a_t(0)= g\sin\theta_0.} \end{equation*}

Per t>0 il corpo comincia a muoversi perché soggetto alla forza peso e viene rallentato dalla forza della molla che spostandosi dalla posizione di riposo e cominciandosi ad allungare frena il corpo opponendosi all’azione della forza peso.\\ Quando il corpo arriva in C la somma delle forze lungo l’asse tangente risulta nulla, poiché tutte le forze puntano nella direzione normale alla guida, quindi l’accelerazione tangenziale in C vale a_t=0.\\ Indiciamo \ell_0 la lunghezza a riposo della molla. Osserviamo che su m agiscono solo forze conservative, quindi possiamo imporre la conservazione dell’energia considerando l’istante t=0 e t=t^\star>0 in cui il corpo m si trova in C, cioè

(4) \begin{equation*} K_f+U_f=K_i+U_i, \end{equation*}

dove

(5) \begin{equation*} K_f=\frac{1}{2}mv^2_f \end{equation*}

è l’energia cinetica finale con v_f=v_C velocità finale di m quando si trova in C,

(6) \begin{equation*} U_f=mgh_f+\frac{1}{2}k(\ell_f-\ell_0)^2+\text{costante} \end{equation*}

è l’energia potenziale finale di m con h_f la quota finale e \ell_f la lunghezza della molla quando m si trova in C,

(7) \begin{equation*} K_i=\frac{1}{2}mv^2_i \end{equation*}

è l’energia cinetica iniziale di m con v_i velocità iniziale di m quando si trova in B ed infine

(8) \begin{equation*} U_i=mgh_i+\text{costante} \end{equation*}

è l’energia potenziale iniziale di m con h_i quota iniziale. Si osservi che nella precedente equazione non è presente il contributo dell’energia potenziale della molla dato che in B è a riposo.   Consideriamo la figura 5, rappresenta di seguito.    

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Figura 5: geometria del problema.

    Applicando il Teorema 1 al triangolo ABC (si veda la figura 5 ) possiamo scrivere

(9) \begin{equation*} \ell_0=2R\cos \left(\dfrac{\theta_0}{2}\right). \end{equation*}

Scegliamo ora un sistema di riferimento fisso Oxy con l’origine coincidente con C, l’asse y coincidente con il diametro verticale della circonferenza e l’asse x orientato positivamente verso destra come in figura 6 di seguito rappresentata.    

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Figura 6: rappresentazione del sistema di riferimento Oxy.

    Avendo scelto la quota y=0 in corrispondenza del punto C si ha

(10) \begin{equation*} h_f=0. \end{equation*}

Dalla figura 6 si deduce che

(11) \begin{equation*} h_i=R(1-\cos \theta_0). \end{equation*}

Essendo \ell_f la lunghezza finale della molla, risulta \ell_f=2R, dunque dalla (9) otteniamo

\[\ell_f-\ell_0=2R-2R\cos \left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)=2R\left(1-\cos \left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right).\]

Inoltre, poiché all’istante iniziale è tutto in quiete, allora v_i=0. Avvalendoci di quanto detto detto fino ad ora, possiamo riscrivere (6) e (8) come di seguito

(12) \begin{equation*} U_i=mgh_i=mgR(1-\cos \theta_0) \end{equation*}

e

(13) \begin{equation*} U_f=\dfrac{1}{2}k(\ell_f-\ell_0)^2=\dfrac{1}{2}k\left(2R\left(1-\cos \left(\dfrac{\theta_0}{2}\right) \right)\right)^2. \end{equation*}

Sfruttando le due precedenti equazioni e l’equazione (5) si ha che l’equazione (4) diventa

(14) \begin{equation*} K_f+U_f=K_i+U_i\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}mv^2_C+\dfrac{1}{2}k\left(2R\left(1-\cos \left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)\right)^2=mgR(1-\cos \theta_0), \end{equation*}

oppure

(15) \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_C^2 = mgR(1-\cos \theta_0)-\dfrac{1}{2}k \left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)^2, \end{equation*}

da cui

(16) \begin{equation*} v_C^2 = \dfrac{2}{m} \, \left( mgR(1-\cos \theta_0) - \dfrac{1}{2}k \left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)^2\right), \end{equation*}

ne segue che l’accelerazione centripeta in C è

\[\boxcolorato{fisica}{ a_N = \dfrac{v_C^2}{R}= \dfrac{2}{mR} \, \left( mgR(1-\cos \theta_0) - \dfrac{1}{2}k \left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)^2\right).}\]

  


Svolgimento punto 2.

Sia k^* la nuova costante della molla da determinare. La somma delle forze lungo un asse coincidente con la normale alla guida quando m si trova in C è data da

(17) \begin{equation*} N-mg +k^* \Delta r= m \dfrac{v_C^2}{R}, \end{equation*}

dove \Delta r = 2R-2R \cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right).\\ Imponendo N=0 come richiesto, la precedente equazione diventa

(18) \begin{equation*} -mg +k^* \left(2R-2R \cos\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\right)= m \dfrac{v_C^2}{R}. \end{equation*}

Dall’equazione \eqref{16} abbiamo

(19) \begin{equation*} v_C^2 =\dfrac{2}{m} \, \left( mg\left(2R-(R+R\cos\theta_0)\right) - \dfrac{1}{2}k^* \left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)^2\right). \end{equation*}

Si osservi che nell’equazione del punto precedente (che nel punto 2 è l’equazione (??)) si è sostituito k con k^\star. Mettiamo a sistema (18) e (19) ottenendo

(20) \begin{equation*} \begin{cases} -mg +k^* \left(2R-2R \cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)= m \dfrac{v_C^2}{R}\\[10pt] v_C^2 =\dfrac{2}{m} \, \left( mg\left(2R-(R+R\cos\theta_0)\right) - \dfrac{1}{2}k^* \left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)^2\right). \end{cases} \end{equation*}

Dal precedente sistema si ha

(21) \begin{equation*} -mg + k^*\left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right) = \dfrac{2}{R}\left( mg\left(2R-(R+R\cos\theta_0)\right) - \dfrac{1}{2}k^* \left(2R-2R\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)^2\right). \end{equation*}

Grazie a semplici passaggi algebrici la precedente equazione ci fornisce

(22) \begin{equation*} k^* = \dfrac{mg(3-2\cos\theta_0)}{2R\left(1-\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)\left(3-2\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)}. \end{equation*}

Si conclude che

\[\boxcolorato{fisica}{ k^* = \dfrac{mg(3-2\cos\theta_0)}{2R\left(1-\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)\left(3-2\cos\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)\right)}.}\]

 

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
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    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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