Esercizio lavoro ed energia 64

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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L’esercizio 64 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 63 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 65. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

Testo lavoro ed energia 64

Esercizio 64 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano un sistema di riferimento inerziale $Oxyz$ e un punto materiale di massa $m$ soggetto ad una forza $\vec{F}$ . Siano $x(t)$ , $y(t)$ e $z(t)$ rispettivamente la posizione di $m$ lungo l’asse delle $x$ , la posizione di $m$ lungo l’asse delle $y$ e la posizione di $m$ lungo l’asse delle $z$ . La forza $\vec{F}$ agente su $m$ , ne causa il moto descritto dalle seguenti equazioni parametriche:

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} x(t)=c_1t^3\\ y(t)=c_2t^2\\ z(t)=c_3t, \end{cases} \end{equation*}$

dove $c_1$ è una costante avente unità di misura $\text{m}\cdot \text{s}^{-3}$ , $c_2$ è una costante avente unità di misura $\text{m}\cdot \text{s}^{-2}$ e $c_3$ è una costante avente unità di misura in $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ . Il precedente sistema è valido per $t\geq0$ . Si richiede di determinare la potenza sviluppata dalla forza $\vec{F}$ nel generico istante $t\geq 0$ .

Richiami teorici.

In un generico istante di tempo $t\geq 0$ , la potenza $P(t)$ sviluppata da una forza $\vec{F}(t)$ su di un corpo puntiforme è data da

(2) $\begin{equation*} P(t)=\dfrac{dL}{dt}, \end{equation*}$

dove $dL$ rappresenta il lavoro infinitesimo svolto dalla forza $\vec{F}(t)$ nell’intervallo di tempo infinitesimo $dt$ . Si ricordi che per definizione, il lavoro $L$ compiuto da una generica forza $\vec{F}(t)$ per portare un corpo da un punto $A$ dello spazio ad un punto $B$ dello spazio è pari a

(3) $\begin{equation*} L\equiv \int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{s}=\int_{t(A)}^{t(B)}\vec{F}(t)\cdot \dfrac{d\vec{s}}{dt}\,dt=\int_{t(A)}^{t(B)}\vec{F}(t)\cdot\vec{v}(t)\,dt, \end{equation*}$

dove $\vec{v}(t)= d\vec{s}/dt$ rappresenta il vettore velocità del corpo nel generico istante $t\geq0$ , $t=t(A)$ rappresenta l’istante di tempo in cui $m$ si trova in $A$ e $t=t(B)$ rappresenta l’istante di tempo in cui $m$ si trova in $B$ . Comparando le equazioni (2) e (3) deduciamo che