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Esercizio lavoro ed energia 61

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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L’esercizio 61 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 60 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 62. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 61

Esercizio 61 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una molla ideale, priva di massa, è appesa ad un estremo in posizione verticale (figura 1). All’estremo libero viene agganciato un blocco di massa M. All’equilibrio l’allungamento subito dalla molla è \Delta \ell. La stessa molla viene poi disposta su un piano inclinato di angolo \theta e privo di attrito, come mostrato in figura 2. Un corpo di massa m è appoggiato alla molla e spinto in modo da comprimerla di un tratto \Delta L. Il corpo viene poi lasciato libero di muoversi sul piano inclinato, partendo da fermo. Si calcoli la distanza percorsa dal corpo lungo il piano inclinato prima di invertire il suo moto.

 

 

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Figura 1: geometra del problema.

 

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Figura 2: geometra del problema.

Svolgimento.

Analizziamo la molla rappresentata in figura 1. Scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oy indicato come in figura 3, ovvero con l’origine O in corrispondenza del corpo all’equilibrio e il semiasse positivo delle y orientato verso l’alto.

 

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Figura 3: sistema di riferimento Oy.

 

Sul corpo di massa M agiscono la forza peso \vec{P} = M\vec{g} = -Mg\,\hat{y} e la forza elastica \vec{F}_{\text{el}}=k\Delta \ell\,\hat{y} esercitata dalla molla, dove \hat{y} è il versore che dell’asse y, g è il modulo dell’accelerazione di gravità e k è la costante della molla. Scriviamo la seconda legge della dinamica per il corpo di massa M nel sistema inerziale Oy all’equilibrio

(1) \begin{equation*} \vec{P} + \vec{F}_{\text{el}} = (k\Delta \ell - M g)\,\hat{y} = \vec{0}, \end{equation*}

ricaviamo pertanto il valore della costante elastica della molla

(2) \begin{equation*} \boxed{ k = \dfrac{Mg}{\Delta\ell}.} \end{equation*}

Consideriamo ora il sistema in figura 2. Il problema richiede di calcolare la distanza percorsa dal corpo di massa m lungo il piano inclinato prima di invertire il suo moto. La molla di costante k e di massa trascurabile è inizialmente compressa di un tratto \Delta L al tempo t=0. Per t>0 la molla si decomprime facendo scorrere il corpo di massa m lungo il piano inclinato, una volta che la molla arriva alla posizione di riposo il corpo prosegue lungo il piano inclinato rallentato dalla sola forza peso, poiché molla e massa m sono solo appoggiati luno con l’altro e non saldati. La distanza massima che può raggiungere il corpo di massa m lungo il piano inclinato è la distanza alla quale il corpo si ferma lungo il piano per poi invertire il suo moto. Scegliamo un sistema di riferimento fisso O'y, rappresentato in figura 4 e in figura 5, per studiare il moto del corpo lungo l’asse y. L’origine O' del sistema di riferimento O'y è scelta in modo tale che l’altezza iniziale del corpo a t=0 sia nulla. La figura 4 rappresenta il corpo in corrispondenza dell’istante iniziale t=0, mentre la figura 5 rappresenta il corpo in corrispondenza della distanza massima percorsa lungo il piano inclinato.

 

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Figura 4: Geometra del problema a t=0.

 

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Figura 5: Il corpo raggiunge la posizione massima a t>0.

 

Il lavoro svolto dalla forza elastica W_{\text{el}} per portare il corpo di massa m dalla posizione in figura 4 alla posizione in figura 5 è pari alla variazione di energia potenziale elastica

(3) \begin{equation*} W_{\text{el}} = -\Delta U_{\text{el}} = U_{\text{el}, i} - U_{\text{el}, f}, \end{equation*}

dove U_{\text{el}, i} è l’energia potenziale elastica iniziale della molla al tempo t=0 e U_{\text{el}, f} l’energia potenziale elastica quando il corpo di massa m si ferma lungo il piano inclinato. L’energia potenziale elastica iniziale è

(4) \begin{equation*} U_{\text{el},i}= {1\over 2}k (\Delta L)^2+\text{costante}, \end{equation*}

mentre l’energia potenziale elastica finale è

(5) \begin{equation*} U_{\text{el}, f}=\text{costante}, \end{equation*}

in quanto la molla quando il corpo si ferma lungo il piano inclinato è in corrisponde della sua lunghezza a riposo. Sfruttando le due precedenti equazioni l’equazione (3) diventa

(6) \begin{equation*} W_{\text{el}} = {1\over 2}k (\Delta L)^2. \end{equation*}

Il lavoro della forza peso W_P per portare il corpo di massa m dalla posizione in figura 4 alla posizione in figura 5 è

(7) \begin{equation*} W_P = -\Delta U_P =U_{P,i} -U_{P,f}, \end{equation*}

dove U_{P,i} è l’energia potenziale gravitazionale iniziale e U_{P,f} è l’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza di quando il corpo si ferma lungo il piano inclinato. L’energia potenziale gravitazionale iniziale è

(8) \begin{equation*} U_{P,i}=\text{costante}, \end{equation*}

in quanto il corpo in corrispondenza della posizione iniziale è a quota nulla, mentre l’energia potenziale gravitazionale finale è

(9) \begin{equation*} U_{P,f} = mgh+\text{costante}. \end{equation*}

Sfruttando le due precedenti equazioni l’equazione (7) diventa

(10) \begin{equation*} W_P = -mgh. \end{equation*}

Sia K_f l’energia cinetica finale di m in corrispondenza della figura 4 e K_i l’energia cinetica iniziale di m in corrispondenza della figura 5, da cui \Delta K=K_f-K_i rappresenta la variazione di energia cinetica. Per il teorema delle forze vive o teorema dell’energia lavoro la somma dei lavori delle forze agenti sul corpo di massa m è pari alla variazione di energia cinetica

(11) \begin{equation*} W_{\text{el}} + W_P = \Delta K. \end{equation*}

Il corpo parte da fermo e arriva ad un’altezza h con velocità nulla, pertanto la sua variazione di energia cinetica è zero \Delta K = 0; in altri termini K_i=0 perché il corpo è inizialmente fermo e K_f=0 perché il corpo arriva in corrispondenza della distanza massima lungo il piano inclinato fermo. Ricaviamo l’altezza massima h dall’equazione (11) ponendo \Delta K = 0 e sfruttando i risultati pervenuti nelle equazioni (6) e (10), cioè

(12) \begin{equation*} 0 = \Delta K = {1\over 2}k(\Delta L)^2-mgh\quad \Leftrightarrow \quad h = \dfrac{k(\Delta L)^2}{2mg}, \end{equation*}

inserendo il risultato ottenuto nell’equazione (2) otteniamo

(13) \begin{equation*} h = \frac{M \cancel{g}}{\Delta \ell}\,\dfrac{ (\Delta L)^2}{2 m \cancel{g}} = \dfrac{M (\Delta L)^2}{2m\Delta\ell}. \end{equation*}

Chiamiamo x_{\max} lo spostamento massimo lungo il piano inclinato. Grazie a semplici considerazioni trigonometriche otteniamo

(14) \begin{equation*} x_{\max} = \dfrac{h}{\sin\theta}, \end{equation*}

da cui sfruttando il risultato pervenuto nell’equazione (13), si ha

\[\boxcolorato{fisica}{ x_{\max} =\dfrac{M (\Delta L)^2}{2m\sin\theta\,\Delta\ell}.}\]

 

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Esercizi di Meccanica classica

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Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     

    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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