Esercizio lavoro ed energia 60

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 60 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una sferetta di massa $m = 100$ g è agganciata ad una molla ideale, di costante elastica $k = \text{19,6}$ N $\cdot$ m $^{-1}$ , lunghezza a riposo $L = 40$ cm, priva di massa il cui secondo estremo è fissato nel punto $A$ , come mostrato in figura 1. Il sistema è posto su un piano orizzontale scabro (coefficiente di attrito dinamo $\mu = \text{0,5}$ ). Se si allunga la molla di un tratto $\Delta\ell_0 = 20$ cm e si lascia quindi muovere la sferetta sotto l’azione della molla, si determini la distanza minima da $A$ raggiunta dalla sferetta nel suo moto.

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Svolgimento. Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Ox$ con il semiasse positivo delle $x$ rivolto verso il punto $A$ e l’origine $O$ scelta in modo tale da coincidere con la posizione di riposo della molla, come raffigurato in figura 2.

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Inizialmente (consideriamo $t=0$ ) la molla è allungata di un tratto $\Delta\ell_0$ e alla sua estremità è posizionata un corpo puntiforme di massa $m$ . L’energia potenziale iniziale di $m$ è

(1) $\begin{equation*} U_{\text{el},i} = {1\over 2} k (\Delta\ell_0)^2+\text{costante}. \end{equation*}$

Ad un tempo $t>0$ la sferetta si trova ad una posizione $x$ , come rappresentato in figura 3.

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Quando il corpo si trova nella generica posizione $x$ la sua energia potenziale è

(2) $\begin{equation*} U_{\text{el},f} =\dfrac{1}{2}kx^2+\text{costante}. \end{equation*}$

Chiamiamo $x_{\max}$ il massimo allungamento della molla rispetto ad $O$ . In corrispondenza di $x_{\max}$ l’energia cinetica risulta essere nulla. Il lavoro svolto dalla forza elastica è pari all’opposto della variazione della sua energia potenziale

(3) $\begin{equation*} W_{\text{el}} =-\Delta U= U_{\text{el},i}- U_{\text{el}, f} = {1\over 2} k \Delta\ell_0^2 -{1\over 2}kx^2, \end{equation*}$

dove abbiamo usato i risultati pervenuti nelle equazioni (1) e (2).
Il piano è scabro, pertanto la forza d’attrito svolge lavoro in opposizione al moto di $m$ . Il modulo della forza d’attrito è pari a $F_{\text{att}} = mg\mu$ , mentre lo spostamento del corpo puntiforme dalla posizione iniziale $-\Delta \ell_0$ alla generica posizione $x$ è $x + \Delta\ell_0$ . La forza d’attrito è parallela e diretta in verso opposto allo spostamento del corpo puntiforme, pertanto il suo lavoro lungo lo spostamento $x+\Delta\ell_0$ è

(4) $\begin{equation*} W_{\text{att}} = -mg\mu(x+\Delta\ell_0). \end{equation*}$

Siano $K_f$ e $K_i$ rispettivamente l’energia cinetica nella generica posizione $x$ di $m$ e l’energia cinetica iniziale di $m$ .
Per il teorema delle forze vive, il lavoro totale delle forze agenti su $m$ , ovvero la forza d’attrito dinamico e la forza elastica, è pari alla variazione di energia cinetica del corpo puntiforme, cioè

(5) $\begin{equation*} \Delta K = K_{f} - \underbrace{K_i}_{=0}= W_{\text{el}}+ W_{\text{att}} = {1\over 2} k \Delta\ell_0^2 -{1\over 2}kx^2 -mg\mu(x+\Delta\ell_0), \end{equation*}$

dove abbiamo usato i risultati pervenuti nelle equazioni (3) e (4) e abbiamo posto l’energia cinetica iniziale $K_i$ pari a zero perché la massa $m$ è inizialmente in quiete.
L’energia cinetica finale $K_f$ si annulla alla distanza massima $x_{\text{max}}$ da $O$ . Pertanto, ponendo $K_{f}=0$ , la precedente equazione diventa

(6) $\begin{equation*} K_{f} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad {1\over 2} k \Delta\ell_0^2 -{1\over 2}kx_{\text{min}}^2 -mg\mu(x_{\text{min}}+\Delta\ell_0), \end{equation*}$

dove abbiamo posto $x=x_{\max}$ perché l’energia cinetica risulta nulla in corrispondenza dell’allungamento massimo.
Svolgendo i calcoli la precedente equazione diventa

(7) $\begin{equation*} \begin{split} {1\over 2} k \Delta\ell_0^2 -{1\over 2}kx_{\max}^2 -mg\mu(x_{\max}+\Delta\ell_0) & = {1\over 2}k (\Delta\ell_0^2-x_{\max}^2) - mg\mu(\Delta\ell_0 + x_{\max})=\\[10pt] & = {1\over 2}k (\Delta\ell_0-x_{\max})(\Delta\ell_0+x_{\max}) - mg\mu(\Delta\ell_0 + x_{\max}) =\\[10pt] &=(\Delta\ell_0+x_{\max}) \left(\dfrac{1}{2}k(\Delta\ell_0-x_{\max})-mg\mu\right)=0. \end{split} \end{equation*}$

La precedente equazione ha come soluzioni

(8) $\begin{equation*} x^{(1)}_{\text{max}} = -\Delta\ell_0 \end{equation*}$

(9) $\begin{equation*} {1\over 2}k(\Delta\ell_0 -x_{\text{min}}^{(2)})-mg\mu = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x_{\text{max}}^{(2)} = \Delta\ell_0 -\dfrac{2mg\mu}{k}. \end{equation*}$

La prima soluzione $x^{(1)}_{\text{max}} = -\Delta\ell_0$ indica la posizione iniziale del corpo puntiforme. La seconda soluzione $x_{\text{max}}^{(2)}$ indica invece il punto dove effettivamente il corpo puntiforme si ferma. La soluzione del problema è la distanza minima dal punto $A$ , pertanto essa è $L-x_{\text{max}}^{(2)}$ , cioè

$\boxcolorato{fisica}{ L-x_{\text{max}}^{(2)} = L-\Delta\ell_0 +\dfrac{2mg\mu}{k}=\text{0,25}\,\text{m}.}$