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Esercizi sui moti vari – 1

Moti vari nella cinematica

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Benvenuti nel primo volume di esercizi sui moti vari, dove presentiamo 6 esercizi sulla descrizione e le proprietà dei moti che i corpi possono assumere nello spazio. I problemi sono di difficoltà varia, illustrati e ciascuno è corredato di soluzione completa, così da consentire al lettore di confrontare la sua soluzione con quella da noi proposta, per un apprendimento più efficace.

Oltre al secondo volume di Esercizi sui moti vari – 2, consigliamo le seguenti raccolte di esercizi su materiale affine:

Buona lettura!

 
 

Sommario

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Questo volume rappresenta il primo di una serie di due e raccoglie una selezione di esercizi di cinematica dedicati a moti non convenzionali, ovvero quelli che non rientrano nelle classiche categorie del moto rettilineo uniforme, rettilineo uniformemente accelerato, moto parabolico, circolare uniforme, circolare uniformemente accelerato o armonico. L’obiettivo del testo è proporre esercizi che riguardano punti materiali in movimento secondo leggi del moto non comunemente note, richiedendo l’applicazione di strumenti matematici, come derivate e integrali, per la loro risoluzione. Si suggerisce di aver acquisito una buona conoscenza di Analisi Matematica 1 per affrontare al meglio i contenuti proposti.

Il materiale presentato è adatto a corsi di Fisica 1 rivolti a studenti di Ingegneria, Fisica e Matematica, ma anche a corsi di Fisica Generale per studenti di iscritti a corsi di area scientifica. Inoltre, può essere utile anche per chi, da autodidatta, desideri approfondire la materia. Gli esercizi presentano livelli di difficoltà variabili e sono corredati da soluzioni dettagliate, con l’obiettivo di guidare il lettore nella comprensione di ogni fase del processo risolutivo.

Il secondo volume della serie è concepito come un approfondimento per coloro che desiderano continuare a esercitarsi su problemi di questa tipologia. In aggiunta, rispetto al primo volume, esso include esercizi che richiedono l’utilizzo delle coordinate polari, oltre a problemi di maggiore complessità, pensati per studenti che desiderano affrontare sfide più impegnative.


 
 

Autori e revisori

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Autori: Federico Manzoni.

Revisori: Valerio Brunetti, Davide Germani.


 
 

Notazioni

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\mathbb{Z}    Insieme dei numeri interi;
\mathbb{R}    Insieme dei numeri reali;
t    variabile temporale;
\vec{r}(t)    raggio vettore;
r(t)    modulo del raggio vettore;
x(t), \, y(t), \, z(t)    leggi orarie sugli assi x,y,z;
\vec{v}(t)    velocità;
v(t)    modulo della velocità;
\vec{a}(t)    accelerazione;
a(t)    modulo dell’accelerazione;


 
 

Richiami di teoria

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Un moto rettilineo può essere descritto da un’unica coordinata x(t) in funzione del tempo t, che fornisce la posizione del corpo all’istante t. In tale contesto, la velocità v(t) e l’accelerazione a(t) del corpo in esame nell’istante t possono essere ottenute rispettivamente come derivata prima e seconda della funzione x rispetto al tempo t:

(1) \begin{equation*} v(t)= \frac{d x(t)}{dt}, \qquad a(t)= \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = \frac{dv(t)}{dt}. \end{equation*}

Dal teorema fondamentale del calcolo integrale, segue quindi che, fissato un istante t_0, velocità e posizione possono essere ottenute come integrali rispettivamente dell’accelerazione e della velocità:

(2) \begin{equation*} v(t) = v(t_0) + \int_{t_0}^{t} a(\tau) \,d\tau, \qquad x(t) = x(t_0) + \int_{t_0}^{t} v(\tau) \,d\tau. \end{equation*}

Le formule (1) possono essere scritte anche in caso di un moto nel piano. In tal caso la posizione del punto materiale è descritta da un vettore posizione \vec{r}(t)=(x(t),y(t)) dipendente dal tempo, dove appunto le funzioni x(t) e y(t) descrivono rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del punto materiale in funzione del tempo; la velocità è il vettore che si ottiene derivando le due componenti del vettore posizione:

(3) \begin{equation*} \vec{v}(t) = \left (v_x(t),v_y(t) \right ) = \left (\frac{dx(t)}{dt},\frac{dy(t)}{dt} \right ) \qquad \forall t \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Le due componenti v_x(t) e v_y(t) sono quindi le velocità rispettivamente orizzontale e verticale del punto all’istante t.

Analogamente, il vettore accelerazione si ottiene derivando le due componenti del vettore velocità:

(4) \begin{equation*} \vec{a}(t) = \left (a_x(t),a_y(t) \right ) = \left (\frac{dv_x(t)}{dt},\frac{dv_y(t)}{dt} \right ) = \left (\frac{d^2 x(t)}{dt^2},\frac{d^2 y(t)}{dt^2} \right ) \qquad \forall t \in \mathbb{R}. \end{equation*}


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale si muove di moto rettilineo in un sistema di riferimento Ox. La velocità del punto è descritta dalla relazione:

\[ v(t) = bt^2 + c\exp(-st) + d, \quad \forall t \in [0, +\infty), \]

dove b, c, s, d \in \mathbb{R} \setminus \{0\} sono parametri reali non nulli con unità di misura rispettivamente pari a \textnormal{m} \cdot \textnormal{s}^{-3}, \textnormal{m} \cdot \textnormal{s}^{-1}, \textnormal{s}^{-1} e \textnormal{m} \cdot \textnormal{s}^{-1}.
Si assuma inoltre x(0)=0.

\[\quad\]

  1. Determinare l’accelerazione a(t) e la legge oraria x(t) al generico istante t;

    2.  

  2. Determinare la parte asintotica principale di x(t) per x \to +\infty.

Svolgimento.

Schematizziamo il problema in figura 1 prendendo un sistema cartesiano Ox.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: schematizzazione del problema.

\[\quad\]

Risolviamo i due punti separatamente.


Svolgimento punto 1.

Da (1), derivando la relazione v(t)=bt^2+c\exp{(-st)}+d rispetto al tempo, si ottiene l’accelerazione

(5) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ a(t)=2bt-cs \exp{(-st)} \qquad \forall t \geq 0. } \end{equation*}

Dalla condizione x(0)=0 e usando invece (2), sempre da v(t)=bt^2+c\exp{(-st)}+d, si ottiene invece

\[ x(t) = x(0) + \int_0^t v(s) \,ds = 0 + \int_0^t (b\tau^2+c\exp{(-s\tau)}+d)\,d\tau \]

Svolgendo gli integrali si ricava

\[ \boxcolorato{fisica}{ x(t)=\dfrac{b}{3}t^3-\frac{c}{s}(\exp{(-st)}-1)+dt \qquad \forall t \geq 0. } \]


Svolgimento punto 2.

Nel limite t \rightarrow +\infty si hanno due andamenti diversi a seconda del segno di s.

\[\quad\]

  • Se s>0 il termine esponenziale tende a zero nel limite t \rightarrow + \infty, mentre i termini polinomiali tendono a infinito. Dalle gerarchie di infinito, la parte principale di tale infinito è il termine cubico. Pertanto la legge oraria è asintoticamente equivalente a

    (6) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ x(t) \sim \frac{b}{3}t^3. } \end{equation*}

    •  

  • Se invece s<0, il termine esponenziale tende a +\infty più velocemente dei termini polinomiali. Pertanto la legge oraria è asintoticamente equivalente a

    (7) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ x(t) \sim -\frac{c}{s}\text{exp}(-st). } \end{equation*}


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale si muove di moto rettilineo in un sistema di riferimento Ox. All’istante t=0 il punto passa per l’origine con velocità

\[v(0)=v_0\]

positiva e, da quell’istante in avanti, l’accelerazione è data da

\[a(t)=-k\sqrt{t}\qquad \forall t \in [0,+\infty),\]

con k >0 avente unità di misura \textnormal{m} \cdot \textnormal{s}^{-5/2}.

\[\quad\]

  1. Determinare la velocità v(t) e la legge oraria x(t) nel generico istante t;

    2.  

  2. Dati due istanti di tempo positivi b e c, con b<c, determinare il massimo e il minimo della velocità nell’intervallo di tempo t \in [b,c].

Svolgimento.

Schematizziamo il problema in figura 2 considerando un sistema cartesiano Ox.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 2: schematizzazione del problema.

\[\quad\]


Svolgimento punto 1.

Da (2) e da v(0)=v_0 otteniamo

\[ v(t) = v_0 + \int_0^t a(\tau) \,d\tau = v_0 -k \int_0^t \sqrt{\tau} \,d\tau, \]

ossia, risolvendo l’integrale,

\[ \boxcolorato{fisica}{ v(t) = v_0 - \frac{2k}{3} t \sqrt{t} \qquad \forall t \geq 0. } \]

Integrando ulteriormente e usando l’informazione x(0)=0 si ottiene x(t):

\[ x(t) = x(0) + \int_0^t v(\tau) \,d\tau = 0 + \int_0^t \left (v_0 - \frac{2k}{3} \tau \sqrt{\tau}\right ) \,d\tau. \]

Risolvendo l’integrale si ha

\[ \boxcolorato{fisica}{ x(t) = v_0 t -\frac{4k}{15} t^2\sqrt{t} \qquad \forall t \geq 0. } \]


Svolgimento punto 2.

Poiché l’accelerazione a(t)=-k\sqrt{t} è negativa per ogni t>0, la velocità è decrescente nel tempo. Dunque, nell’intervallo di tempo t \in [b,c], il massimo della velocità si ottiene nell’istante t=b, mentre essa raggiunge il valore minimo per t=c:

\[ \boxcolorato{fisica}{ v_{\text{max}} = v(b) = v_0 - \frac{2k}{3} b \sqrt{b}, \qquad v_{\text{min}} = v(c) = v_0 - \frac{2k}{3} c \sqrt{c}. } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale si muove di moto rettilineo in un sistema di riferimento Ox con legge oraria

\[x(t)=bt^3-ct^2+d \qquad \forall t\geq 0,\]

con b,c,d \in \mathbb{R} aventi rispettivamente unità di misura \textnormal{m} \cdot \textnormal{s}^{-3}, \ \textnormal{m} \cdot \textnormal{s}^{-2}, \ \textnormal{m}. Si determini:

\[\quad\]

  1. in quali istanti di tempo t\geq 0 si annullano la velocità v(t) e/o l’accelerazione a(t);

    2.  

  2. gli istanti in cui il punto materiale passa per il punto x=d.

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