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Esercizio lavoro ed energia 51

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Esercizio lavoro ed energia 51

L’esercizio 51 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 50 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 52. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 51

Esercizio 51 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Da un sistema di riferimento fisso Oxy si osserva un punto materiale di massa m muoversi sotto l’azione della forza peso lungo una guida liscia, la cui forma è rappresentato dal grafico della funzione f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tale che y=f(x), dove per convenienza l’asse y è stato diretto verso il basso. All’istante iniziale t=0, il punto materiale è nell’origine O con velocità iniziale diretta parallelamente all’asse y e di modulo pari a v_0. Si determini

  1. la scrittura analitica delle funzione f affinché il punto materiale di massa m si muova di moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle y;
  2. le componenti lungo l’asse delle x e delle y della reazione vincolare \vec{R} generata dal vincolo sul punto materiale di massa m.

 

 

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Figura 1: rappresentazione grafica del moto di un punto materiale lungo una guida liscia, con riferimento al sistema Oxy e il calcolo dell’energia.

Richiami teorici.

Immaginiamo di avere un sistema di riferimento fisso Oy dal quale si osserva un punto materiale sottoposto ad una forza muoversi lungo una traiettoria generica \gamma. Il punto materiale è sottoposto alla forza \vec{F} e alla forza m\vec{g} che è diretta sempre parallelamente all’asse delle y. Nella figura di seguito rappresentiamo il sistema di riferimento Oy e il punto materiale muoversi lungo una traiettoria qualsiasi.

 

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Figura 2: diagramma del moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza lungo una traiettoria curva, con l’asse delle y verso l’alto.

Rappresentazione della traiettoria di un punto materiale sotto l'azione di una forza, con calcolo del lavoro e dell'energia nel sistema Oxy

 

Dalla definizione di forza conservativa, si ha

(1) \begin{equation*} -mg=-\dfrac{dU}{dy} \end{equation*}

da cui integrando ambo i membri l’equazione rispetto alla variabile y, si ottiene

(2) \begin{equation*} \boxed{U(y)=mg y+\text{costante}.} \end{equation*}

Nella figura di seguito cambiamo l’orientazione del sistema di riferimento Oy.

 

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Figura 3: diagramma del moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza lungo una traiettoria curva, con l’asse delle y verso il basso.

Diagramma della traiettoria e del sistema di riferimento modificato Oxy, con correlazione tra il lavoro e l'energia

 

Dalla definizione di forza conservativa, si ha

(3) \begin{equation*} mg=-\dfrac{dU}{dy}, \end{equation*}

conseguentemente integrando ambo i membri l’equazione rispetto alla variabile y, si ha

(4) \begin{equation*} \boxed{ U(y)=-mgy+\text{costante}.} \end{equation*}

Dunque, dalle equazioni (2) e (4) deduciamo che la scrittura analitica del potenziale della forza peso cambia a seconda dell’orientazione del sistema di riferimento Oy. Nel problema è stato usato per la conservazione dell’energia l’equazione (4). Rappresentazione del sistema di riferimento modificato Oxy e analisi della traiettoria di un punto materiale con calcolo dell'energia.  

Curiosità.  la curva lungo la quale un grave scivola descrivendo altezze di caduta uguali in tempi uguali è quindi una parabola semicubica; essa è anche chiamata isocrona o curva descensus aequabilis ed è stata studiata per la prima volta da Jacques Bernoulli nel 1690.


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