Login Abbonati
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio sistemi di punti materiali 16

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

Home » Esercizio sistemi di punti materiali 16

Esercizio sui sistemi di punti materiali 16 rappresenta il sedicesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 15, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 17.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

 

Testo esercizio sistemi di punti materiali 16

Esercizio 16 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un cannone di massa M spara in orizzontale, dalla sommità di una torre di altezza h, un proiettile di massa m, che raggiunge il suolo a distanza D dalla base della torre. Trascurando la resistenza dell’aria, calcolare il modulo della forza \vec{F} orizzontale e costante che un sistema di ammortizzatori deve esercitare sul cannone perché, per il rinculo, esso arretri di un tratto d prima di fermarsi. Si consideri il cannone di massa M e la massa m come due punti materiali.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, tale per cui l’origine O degli assi cartesiani coincida con la posizione iniziale del sistema fisico composto da m e M, come mostrato nella figura 2.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Consideriamo come sistema fisico il sistema composto da M e m. Nella direzione dell’asse delle x nell’intervallo di tempo tra lo sparo e il rinculo, ovvero nell’intervallo di tempo in cui non agisce il sistema di freni sul cannone, non sono presenti forze esterne e lo sparo avviene grazie a forze interne al sistema, pertanto nella direzione dell’asse delle x la quantità di moto totale del sistema si conserva. All’istante iniziale entrambe le masse sono ferme, quindi la quantità di moto totale iniziale, prima dello sparo, è

(1)   \begin{equation*} P_{\text{in},x}^{\text{tot}} = 0 . \end{equation*}

Immediatamente dopo lo sparo, invece, la quantità di moto totale vale

(2)   \begin{equation*} P_{\text{fin},x}^{\text{tot}} = MV_{M} + mv_m, \end{equation*}

dove v_{{M}} e v_m sono rispettivamente la componente lungo l’asse delle x della velocità di M immediatamente dopo lo sparo e la componente lungo l’asse delle x di m immediatamente dopo lo sparo. Per la conservazione della quantità di moto, avvalendoci delle equazioni (1) e (2), abbiamo

(3)   \begin{equation*} MV_{{M}} + mv_m = 0 , \end{equation*}

o anche

(4)   \begin{equation*} V_{{M}} = -\frac{m}{M}v_m. \end{equation*}

Elevando al quadrato ambo i membri della precedente equazione, si trova

(5)   \begin{equation*} V^2_{{M}} = \frac{m^2}{M^2}v^2_m. \end{equation*}

Dall’equazione (4) deduciamo che le velocità dei due corpi, come ci si poteva già aspettare dalla fisica del problema, hanno verso opposto lungo l’asse delle x. Dalla fisica del problema, è chiaro che, le velocità \vec{V}_M e \vec{v}_m avranno i versi indicati in figura 3.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Dopo lo sparo il proiettile di massa m si muove di moto parabolico, fino ad impattare col terreno dopo aver percorso una distanza orizzontale D e una distanza verticale h. Sia t=t_0 l’istante di tempo, immediatamente dopo lo sparo, in cui il corpo di massa m inizia il suo moto parabolico. Le leggi orarie del moto di m dopo lo sparo, per t\geq t_0, lungo l’asse delle x e delle y, sono rispettivamente

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t) = v_m (t-t_0) \\[10pt] y(t) = - \dfrac{1}{2}g(t-t_0)^2. \end{cases} \end{equation*}

Il tempo che ci interessa è quello in cui il proiettile raggiunge il terreno, ossia il tempo t=t^* tale che:

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t^*) = D = v_m (t^*-t_0) \\[10pt] y(t^*) = -h = - \dfrac{1}{2}g(t^*-t_0)^2, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} t^*-t_0 =\dfrac{D}{v_m}\\[10pt] h = \dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{D}{v_m}\right)^2, \end{cases} \end{equation*}

conseguentemente

(9)   \begin{equation*} v_m^2 = \frac{gD^2}{2h}. \end{equation*}

Mettendo a sistema l’equazione (9) con l’equazione (5), si trova

(10)   \begin{equation*} V_{M}^2 = \frac{m^2}{M^2} v_m^2 = \frac{m^2D^2g}{2hM^2}. \end{equation*}

Il cannone dopo lo sparo ha una velocità vec{V}_{M} diretta nel verso negativo dell’asse delle x con componente V_{{M}}, dopo di che subisce una forza frenante costante \vec{F}. Il cannone si ferma dopo aver percorso una distanza d lungo il piano orizzontale. Si osservi che, siccome, il cannone dopo lo sparo si muove nel verso negativo delle x la forza \vec{F} deve essere diretta nel verso positivo delle x affinché possa rallentare il cannone. Essendo questa l’unica forza orizzontale agente sul cannone, per la seconda legge della dinamica lungo l’asse delle x, abbiamo

(11)   \begin{equation*} a =\frac{ \vert \vec{F} \vert }{M}, \end{equation*}

dove a è la componente dell’accelerazione \vec{a} del cannone lungo l’asse delle x. La componente a è costante perché \vert \vec{F} \vert è costante, di conseguenza il moto del cannone è uniformemente decelerato, come si può dedurre dall’equazione (11). Definiamo x la posizione di M lungo l’asse delle x. Il modulo quadro della velocità di M in funzione della posizione x è

(12)   \begin{equation*} V^2(x) = V^2_{{M}} + 2a x. \end{equation*}

Avvalendoci delle equazioni (10) e (11), la precedente equazione diventa

(13)   \begin{equation*} V^2(x) = \frac{m^2D^2g}{2hM^2}+\dfrac{2 \vert \vec{F} \vert}{M}x. \end{equation*}

Ponendo x = -d si ha V^2(-d) = 0, da cui la precedente equazione diventa

(14)   \begin{equation*} 0 = \frac{m^2gD^2}{2M^2h} - 2d\frac{\vert \vec{F} \vert}{M} , \end{equation*}

o anche

    \[\boxcolorato{fisica}{\vert\vec{F}\vert = \frac{m^2gD^2}{4dhM},}\]

che è esattamente quello che si voleva trovare.


Fonte.

Esercizi Fisica – Meccanica e Termodinamica – Mencuccini e Silvestrini.

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 40 esercizi risolti, contenuti in 178 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione dei sistemi di punti materiali in meccanica classica.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     






    Document