Esercizio sistemi di punti materiali 14

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio sui sistemi di punti materiali 14 rappresenta il quattordicesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 13, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 15.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

Testo esercizio sistemi di punti materiali 14

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Su due guide orizzontali e parallele, poste in un piano verticale e distanti tra loro $d$ , possono scorrere senza attrito due piccoli anelli di masse $m_1$ e $m_2$ . I due anelli sono collegati tra loro da una molla ideale, di massa trascurabile, lunghezza a riposo trascurabile e costante elastica $k$ . All’istante $t=0$ tramite un’opportuna forza esterna l’anello di massa $m_1$ si mette in moto con una velocità di modulo $v_1$ diretta parallelamente alle guide, come in figura 1, mentre il secondo anello a quell’istante è in quiete. Supporre che $m_1$ ed $m_2$ , all’istante $t=0$ siano allineati, come in figura 1. Le velocità dei due corpi all’istante iniziale vanno riferite rispetto ad un sistema di riferimento fisso. Si calcoli l’allungamento massimo della molla e il tempo minimo $\tau$ che si deve attendere affinché ciò avvenga.

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Richiami teorici.

Di seguito, una serie di richiami teorici che serviranno nel corso dello svolgimento di questo esercizio.

Fissato un sistema di riferimento inerziale $Oxyz$ , dal quale si osserva un sistema fisico di $n$ punti materiali di massa $m_1$ , $m_2,\dots,$ $m_n$ , il centro di massa è definito come
$\vec{r}_{\text{CM}}=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k\vec{r}_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k},$

dove $\vec{r}_1$ , $\vec{r}_2,\dots$ , $\vec{r}_n,$ sono rispettivamente i vettori posizione di $m_1$ , $m_2,\dots,$ $m_n$ .
Consideriamo un sistema fisico composto da $n$ punti materiali e non soggetto a forze esterne. Sotto tali condizioni il centro di massa del sistema rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale $Oxy$ . Scegliamo un sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ solidale con il centro di massa, ovvero un sistema di riferimento con gli assi paralleli agli assi del sistema di riferimento $Oxy$ , cioè $x\parallel x^\prime$ , $y\parallel y^\prime$ e $z\parallel z^\prime$ , tale per cui l’origine di questo sistema di riferimento sia coincidente con il centro di massa. In queste condizioni il sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ è inerziale. Inoltre, siano $\vec{r}^{\,\prime}_1$ , $\vec{r}^{\,\prime}_2$ ,…, $\vec{r}^{\,\prime}_n$ i vettori posizione degli $n$ nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa. Di seguito, in figura 2, rappresentiamo quanto detto, nel caso particolare in cui nell’istante iniziale il centro di massa $O^\prime$ si trovi sull’asse delle $x$ e $x\equiv x^\prime$ . Il punto $P$ , in figura 1, rappresenta un punto qualunque degli $n$ , dove $\vec{r}$ e $\vec{r}^{\,\prime}$ sono le distanze di $P$ rispettivamente da $O$ e $O^\prime$ , come si può dedurre dalla figura 2.

Allora vale

$\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}m_k\vec{r}_k^{\,\prime}=\vec{0}. \end{equation*}$

Si osservi che il precedente risultato ha validità del tutto generale, cioè è valido anche se il sistema di riferimento solidale con il centro di massa è non inerziale; in altri termini, se il sistema fisico di $n$ punti materiali non è soggetto a forze esterne, l’equazione (1) continua ad essere valida.
Scelto un sistema fisico di $n$ punti materiali, se la somma delle forze è esterna è nulla in una particolare direzione, la componente della velocità del centro di massa lungo quella direzione rimane costante. Inoltre, si ricordi che le forze interne non influenzano il moto del centro di massa.
Nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa, per il generico $k$ -esimo punto materiale, vale
$\begin{equation*} \vec{v}_k=\vec{v}^{\,\prime}_k+\overrightarrow{V}_{\text{CM}}, \end{equation*}$

dove $\vec{v}_k$ , $\vec{v}^{\,\prime}_k$ e $\overrightarrow{V}_{\text{CM}}$ sono rispettivamente la velocità del $k$ -esimo punto materiale nel sistema di riferimento fisso $Oxy$ , la velocità del $k$ -esimo punto materiale nel sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ solidale con il centro di massa, e la velocità del centro di massa nel sistema di riferimento fisso $Oxy$ .
Ricordiamo il teorema di König per l’energia cinetica

$\begin{equation*} K_{\text{totale}} = K^{ \prime} + K_{\text{CM}}, \end{equation*}$

dove $K^{ \prime}$ è l’energia cinetica del sistema fisico in esame rispetto al centro di massa e $K_{\text{CM}}$ è l’energia cinetica del centro di massa rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue: l’energia cinetica totale di un sistema fisico di $n$ punti materiali rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è data dalla somma dell’energia cinetica del centro di massa e di quella del sistema rispetto al centro di massa.

Svolgimento.

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso $Oxy$ , con l’origine $O$ in corrispondenza della posizione iniziale dell’anello di massa $m_2$ , come illustrato in figura 3. Costruiamo il diagramma di corpo libero per entrambi gli anelli: sull’anello di massa $m_1$ agiscono la forza peso $m_1\vec{g}$ , la reazione vincolare con la guida $\vec{N}_1$ e la forza elastica della molla $\vec{f}_{\text{el}}$ ; sull’anello di massa $m_2$ agiscono la forza peso $m_2\vec{g}$ , la reazione vincolare con la guida $\vec{N}_2$ e la forza elastica della molla $-\vec{f}_{\text{el}}$ . Tutte le forze sono rappresentate in figura 3.

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Scegliamo come sistema fisico le due masse $m_1$ ed $m_2$ . In questo sistema fisico le forze interne sono le forze $\vec{f}_{\text{el}}$ e $-\vec{f}_{\text{el}}$ , mentre le forze esterne sono $\vec{N}_1$ , $\vec{N}_2$ , $m_1 \vec{g}$ e $m_2\vec{g}$ . Le forze esterne sono tutte orientate parallelamente all’asse delle $y$ , pertanto si conserva la quantità di moto totale del sistema nella direzione orizzontale, in altri termini il centro di massa del sistema si muove di moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle $x$ . Siano $x_1(0)=0$ , $y_1(0)=d$ , $x_2(0)=0$ e $y_2(0)=0$ rispettivamente la posizione iniziale lungo l’asse delle $x$ di $m_1$ , la posizione iniziale lungo l’asse delle $y$ di $m_1$ , la posizione iniziale lungo l’asse delle $x$ di $m_2$ e la posizione iniziale lungo l’asse delle $y$ di $m_2$ . Siano $x_{\text{CM,in}}$ e $y_{\text{CM,in}}$ rispettivamente la posizione iniziale lungo l’asse delle $x$ del centro di massa e la posizione iniziale lungo l’asse delle $y$ del centro di massa. Sfruttando quando detto, si trova che, le coordinate del centro di massa nella configurazione all’istante $t=0$ sono date da

$\begin{equation*} \begin{cases} x_{\text{CM,in}}=\dfrac{m_1x_1(0)+m_2x_2(0)}{m_1+m_2}\\\\ y_{\text{CM,in}}=\dfrac{m_1y_1(0)+m_2y_2(0)}{m_1+m_2} \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x_{\text{CM,in}}=0\\\\ y_{\text{CM,in}}=\dfrac{m_1d}{m_1+m_2}. \end{cases} \end{equation*}$

Per definizione la velocità del centro di massa $\overrightarrow{V}_{\text{CM}}(t)$ , nel generico istante di tempo $t>0$ , è data da

$\begin{equation*} \overrightarrow{V}_{\text{CM}}(t)=\dfrac{m_1\vec{v}_{1}(t)+m_2\vec{v}_{2}(t)}{m_1+m_2}, \end{equation*}$

dove $\vec{v}_1(t)$ e $\vec{v}_2(t)$ sono rispettivamente le velocità di $m_1$ e $m_2$ rispetto al sistema di riferimento fisso, in un generico istante $t>0$ . Siano $v_{1,x}(t)$ e $v_{1,y}(t)$ rispettivamente le componenti lungo l’asse delle $x$ e delle $y$ del vettore $\vec{v}_1$ . Siano $v_{2,x}(t)$ e $v_{2,y}(t)$ rispettivamente le componenti lungo l’asse delle $x$ e delle $y$ del vettore $\vec{v}_2$ . Inoltre, siano $\hat{x}$ e $\hat{y}$ i versori rispettivamente dell’asse delle $x$ e delle $y$ . Sfruttando quanto definito, l’equazione (5) diventa

$\begin{equation*} \begin{aligned} \overrightarrow{V}_{\text{CM}}(t)&=\dfrac{m_1\left(v_{1,x}(t)\, \hat{x}+v_{1,y}(t)\,\hat{y}\right)+m_2\left(v_{2,x}(t)\, \hat{x}+v_{2,y}(t)\,\hat{y}\right)}{m_1+m_2}=\\ &=\dfrac{\left(m_1v_{1,x}(t) +m_2v_{2,x}(t) \right)\hat{x}+\left(m_1v_{1,y}(t)+m_2v_{2,y}(t)\right)\hat{y}}{m_1+m_2}. \end{aligned} \end{equation*}$

Siano $V_{\text{CM},x}(t)$ e $V_{\text{CM},y}(t)$ rispettivamente le componenti lungo l’asse delle $x$ e delle $y$ del vettore $\overrightarrow{V}_{\text{CM}}(t)$ . Pertanto, di nuovo, sfruttando quanto appena detto, la precedente equazione diventa

$\begin{equation*} V_{\text{CM},x}(t)\,\hat{x}+V_{\text{CM},y}(t)\,\hat{y}=\dfrac{\left(m_1v_{1,x}(t) +m_2v_{2,x}(t) \right)\hat{x}+\left(m_1v_{1,y}(t)+m_2v_{2,y}(t)\right)\hat{y}}{m_1+m_2}, \end{equation*}$

da cui

$\begin{equation*} \begin{cases} V_{\text{CM},x}(t)=\dfrac{m_1v_{1,x}(t) +m_2v_{2,x}(t) }{m_1+m_2}\\[10pt] V_{\text{CM},y}(t)=\dfrac{m_1v_{1,y}(t) +m_2v_{2,y}(t) }{m_1+m_2}. \end{cases} \end{equation*}$

All’istante $t=0$ l’anello di massa $m_2$ è in quiete, cioè vale $v_{2,x}(0)=0$ , mentre il corpo di massa $m_1$ ha velocità di componente $v_{1,x}(0)=v_1$ nella direzione positiva dell’asse delle $x$ . Avvalendoci delle condizioni iniziali dei due corpi $m_1$ ed $m_2$ , calcoliamo la velocità costante del centro di massa, nella direzione dell’asse delle $x$ , cioè

$\begin{equation*} V_{\text{CM},x}(t)=\dfrac{m_1v_{1,x}(0) +m_2v_{2,x}(0) }{m_1+m_2}=\dfrac{m_1v_1}{m_1+m_2}. \end{equation*}$

Osserviamo che, lungo l’asse delle $y$ , i punti materiali $m_1$ ed $m_2$ hanno quota costante, pertanto per ogni istante $t\geq0$ si ha

$\begin{equation*} y_{\text{CM}}(t)=y_{\text{CM,in}}=\dfrac{m_1d}{m_1+m_2}, \end{equation*}$

dove si è usato il risultato pervenuto nell’equazione (4); in altri termini, lungo l’asse delle $y$ il centro di massa rimane in quiete e si trova nella posizione definita nell’equazione (10) indefinitamente. Scegliamo un sistema di riferimento $O'x'y^\prime$ , solidale con il centro di massa, con l’origine $O'$ centrata nel centro di massa del sistema, come illustrato in figura 4 ad un generico istante $t>0$ .

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Osserviamo che, poiché il centro di massa si muove di moto rettilineo, uniforme il sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ è inerziale; pertanto, sui corpi $m_1$ ed $m_2$ non vanno considerate le forze apparenti. Siano $x_1^\prime$ e $x_2^\prime$ rispettivamente le posizioni di $m_1$ ed $m_2$ lungo l’asse delle $x^\prime$ . Supponiamo che, dopo l’istante $t=0$ , il sistema si trovi nella configurazione generica mostrata in figura 4, in cui le masse $m_1$ e $m_2$ si trovano ad una ascissa $x'_1$ ed $x'_2$ all’origine $O'$ rispettivamente. La molla che collega i due anelli subirà un allungamento orizzontale pari a $\left \vert x'_1-x'_2\right \vert$ (oltre che un allungamento verticale ininfluente dal punto di vista dinamico perché i due corpi si muovono solo lungo l’asse delle $x^\prime$ ). Dal secondo principio della dinamica lungo l’asse delle $x'$ per il corpo $m_1$ , abbiamo

$\begin{equation*} -k(x'_1-x'_2)=m_1\dfrac{d^2x'_1}{dt^2}, \end{equation*}$

dove $-k(x'_1-x'_2)$ è la componente delle $x^\prime$ della forza della molla $\vec{f}_\text{el}$ . Per poter risolvere l’equazione (11) è necessario esplicitare la variabile $x'_2$ in funzioni di $x'_1$ , in modo tale da avere l’equazione (11) in funzione della sola variabile $x'_1$ . Per fare ciò, ricordiamo che, per definizione di centro di massa, l’ascissa del centro di massa rispetto a tale sistema è nulla, ossia

$\begin{equation*} m_1x'_1+m_2x'_2=0, \end{equation*}$

da cui

$\begin{equation*} x'_2=-\dfrac{m_1}{m_2}x'_1. \end{equation*}$

Mettendo a sistema l’equazione (13) con l’equazione (11), si ottiene

$\begin{equation*} -k\left(x'_1+\dfrac{m_1}{m_2}x'_1\right)=m_1\dfrac{d^2x'_1}{dt^2}\quad\Leftrightarrow\quad -k\left(\dfrac{m_1+m_2}{m_2}\right)x'_1=m_1\dfrac{d^2x'_1}{dt^2}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{d^2x'_1}{dt^2}+k\left(\dfrac{m_1+m_2}{m_1m_2}\right)x'_1=0. \end{equation*}$

Definiamo

$\begin{equation*} \mu\equiv\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}, \end{equation*}$

cioè la massa ridotta del sistema in esame; per cui l’equazione (14) diventa

$\begin{equation*} \dfrac{d^2x'_1}{dt^2}+\dfrac{k}{\mu}x'_1=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{d^2x'_1}{dt^2}+\omega^2 x'_1=0, \end{equation*}$

dove $\omega^2=k/\mu$ . L’equazione (16) è l’equazione del moto di un corpo di massa $\mu$ che si muove di moto armonico semplice, avente legge oraria

$\begin{equation*} x'_1(t)=A\sin(\omega t+\phi), \end{equation*}$

dove $A$ e $\phi$ sono rispettivamente l’ampiezza massima del moto di $\mu$ e la fase iniziale del moto armonico di $\mu$ . Derivando rispetto al tempo ambo i membri della precedente equazione, si ottiene

$\begin{equation*} \dfrac{dx_1^\prime}{dt}(t)=A\omega \cos\left(\omega t +\phi\right). \end{equation*}$

All’istante $t=0$ la posizione dell’anello di massa $m_1$ rispetto al sistema del centro di massa è nulla, infatti dalla prima equazione del sistema (4) abbiamo visto che $x_{\text{CM,in}}=0$ , per cui

$\begin{equation*} x'_1(0)=0\quad\Leftrightarrow\quad A\sin\phi=0\quad\Leftrightarrow\quad \phi=0. \end{equation*}$

Derivando rispetto al tempo ambo i membri dell’equazione (12), si ottiene

$\begin{equation*} m_1v'_{1,x}(t)+m_2v'_{2,x}(t)=0, \end{equation*}$

dove $v'_{1,x}(t)$ e $v'_{2,x}(t)$ sono rispettivamente $dx_1^\prime/dt$ e $dx_2^\prime/dt$ . Dalla precedente equazione, si trova

$\begin{equation*} v'_{1,x}(t)=-\dfrac{m_2}{m_1}v'_{2,x}(t). \end{equation*}$

Sostituendo $t=0$ nella precedente equazione, si ottiene

$\begin{equation*} v'_{1,x}(0)=-\dfrac{m_2}{m_1}v'_{2,x}(0). \end{equation*}$

Tra le velocità $v_{1,x}(t)$ , $v^\prime_{1,x}(t)$ e $V_{\text{CM},x}$ , vale

$\begin{equation*} v_{1,x}(t)=V_{\text{CM},x}+v'_{1,x}(t), \end{equation*}$

o anche

$\begin{equation*} v_{1,x}(t)-V_{\text{CM},x}=v'_{1,x}(t), \end{equation*}$

conseguentemente, sostituendo $t=0$ nella precedente equazione, si ha

$\begin{equation*} v_{1,x}(0)-V_{\text{CM},x}=v'_{1,x}(0), \end{equation*}$

cioè

$\begin{equation*} v_1-\dfrac{m_1v_1}{m_1+m_2}=v'_{1,x}(0), \end{equation*}$

oppure

$\begin{equation*} \boxed{v'_{1,x}(0)=\dfrac{m_2v_1}{m_1+m_2},} \end{equation*}$

dove si è usata l’equazione (9) e la condizione iniziale $v_{1,x}(0)=v_1$ . Sostituendo $t=0$ nell’equazione (18), sfruttando l’equazione (27), si ha

$\begin{equation*} \dfrac{dx_1^\prime}{dt}(0)=\omega A\cos\phi=\dfrac{m_2v_1}{m_1+m_2}, \end{equation*}$

da cui, usando il valore di $\phi$ ottenuto nell’equazione (19), si trova

$\begin{equation*} A=\dfrac{m_2v_1}{\omega(m_1+m_2)}. \end{equation*}$

Sostituendo i valori di $\phi$ e $A$ ricavati alle equazioni (19) e (29) rispettivamente, la legge oraria (calcolata nell’equazione (17)) del corpo $m_1$ , diventa

$\begin{equation*} \boxed{ x'_1(t)=\dfrac{m_2v_1}{\omega(m_1+m_2)}\sin(\omega t).} \end{equation*}$

Sostituendo l’espressione di $x'_1(t)$ appena ottenuta nell’equazione (13), otteniamo che la legge oraria del corpo $m_2$ è pari ad

$\begin{equation*} x'_2(t)=-\dfrac{m_1}{m_2}\left(\dfrac{m_2v_1}{\omega(m_1+m_2)}\sin(\omega t)\right),, \end{equation*}$

o anche

$\begin{equation*} \boxed{x'_2(t)=-\dfrac{m_1v_1}{\omega(m_1+m_2)}\sin(\omega t).} \end{equation*}$

Sia $t=\tau$ il primo istante di tempo tale per cui la funzione $\sin \left(\omega t\right)$ assume il suo valore massimo; per cui deve valere

$\begin{equation*} \omega\tau=\dfrac{\pi}{2}\quad\Leftrightarrow\quad \tau=\dfrac{\pi}{2\omega}, \end{equation*}$

affinché $\sin \left(\omega t\right)$ sia pari ad 1. Sostituendo $t=\tau$ nelle equazioni (30) e (32), si ottiene rispettivamente

$\begin{equation*} x'_1(\tau)=\dfrac{m_2v_1}{m_1+m_2}=x'_{1,\text{max}} \end{equation*}$

$\begin{equation*} x'_2(\tau)=-\dfrac{m_2v_1}{m_1+m_2}=x'_{2,\text{max}}. \end{equation*}$

A questo punto, deduciamo che il massimo allungamento orizzontale della molla si ha in corrispondenza della massima distanza relativa orizzontale tra i due anelli, ossia

$\begin{equation*} \Delta x^\prime_{\text{max}}=\left|x'_{1,\text{max}}-x'_{2,\text{max}}\right|=\left(\dfrac{m_2v_1}{\omega(m_1+m_2)}+\dfrac{m_1v_1}{\omega(m_1+m_2)}\right)=\dfrac{v_1\left(m_1+m_2\right)}{\omega(m_1+m_2)}=\dfrac{v_1}{\omega}. \end{equation*}$

In figura 5 è illustrata la configurazione del sistema in corrispondenza dell’istante $t=\tau$ .

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In riferimento alla figura 5, all’istante

$\boxcolorato{fisica}{ t=\dfrac{\pi}{2\omega},}$

la molla risulta complessivamente allungata di $d$ in verticale e $\Delta x^\prime_\text{max}$ in orizzontale. Quindi l’allungamento massimo $\ell_{\text{max}}$ della molla è pari a

$\boxcolorato{fisica}{ \ell_{\text{max}}=\sqrt{d^2+\left(\dfrac{v_1}{\omega}\right)^2}.}$

Ricordando che

$\begin{equation*} \omega= \sqrt{k/\mu}=\sqrt{\dfrac{k}{\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}}})=\sqrt{\dfrac{k\left(m_1+m_2\right)}{m_1m_2}}, \end{equation*}$

è possibile riscrivere le due precedenti equazioni come

$\boxcolorato{fisica}{ t=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{k\left(m_1+m_2\right)}}}$

$\boxcolorato{fisica}{ \ell_{\text{max}}=\sqrt{d^2+\dfrac{m_1m_2v_1^2}{k\left(m_1+m_2\right)}}.}$

Approfondimento.

Osserviamo che, le forze peso $m_1\vec{g}$ e $m_2\vec{g}$ sono conservative, le reazioni vincolari $\vec{N}_1$ e $\vec{N}_2$ sono perpendicolari allo spostamento delle due masse, pertanto fanno lavoro nullo, e che le due forze delle molle $\vec{f}_{\text{el}}$ e $-\vec{f}_{\text{el}}$ sono conservative; pertanto si conserva l’energia del sistema composto dalle due masse $m_1$ ed $m_2$ , sia nel sistema fisso, che nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa, dato che le forze osservate dai due sistemi di riferimento sono le stesse. All’istante $t=0$ l’energia meccanica del sistema è data dal contributo dovuto all’energia potenziale della molla $U_{\text{el,in}}$ (essendo la molla allungata di $d$ ) e da quello cinetico totale $K_{\text{tot,in}}$ , ossia

$\begin{equation*} E_{\text{in}}=U_{\text{el,in}}+K_{\text{tot,int}}=\dfrac{1}{2}kd^2+K_{\text{tot,in}}. \end{equation*}$

Per il teorema di König sappiamo che l’energia cinetica totale del sistema è data dalla somma dell’energia cinetica del centro di massa e dell’energia cinetica dei due corpi rispetto al centro di massa. Quindi all’istante $t=0$ avremo che

$\begin{equation*} K_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{1}{2}m_1\left(v'_{1,x}(0)\right)^2+\dfrac{1}{2}m_2\left(v'_{2,x}(0)\right)^2. \end{equation*}$

Dall’equazione (22), si ha

$\begin{equation*} v'_{2,x}(0)=-\dfrac{m_1}{m_2}v'_{1,x}(0), \end{equation*}$

da cui l’equazione (39) diventa

$\begin{equation*} K_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{1}{2}m_1\left(v'_{1,x}(0)\right)^2+\dfrac{1}{2}m_2\left(\dfrac{m_1}{m_2}v^\prime_{1,x}(0)\right)^2, \end{equation*}$

oppure

$\begin{equation*} K_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{1}{2}m_1\left(v'_{1,x}(0)\right)^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{m^2_1}{m_2}\left(v^\prime_{1,x}(0)\right)^2, \end{equation*}$

cioè

$\begin{equation*} K_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{1}{2} \dfrac{m_1}{m_2}\left(m_1+m_2\right)\left(v^\prime_{1,x}(0)\right)^2. \end{equation*}$

Avvalendoci dell’equazione (27), la precedente equazione diventa

$\begin{equation*} K_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{1}{2} \dfrac{m_1}{m_2}\left(m_1+m_2\right)\left(\dfrac{m_2v_1}{m_1+m_2}\right)^2, \end{equation*}$

in altri termini

$\begin{equation*} K_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{m_1m_2v_1^2}{2\left(m_1+m_2\right)}. \end{equation*}$

Dunque, sfruttando la precedente equazione, l’equazione (38) diventa

$\begin{equation*} E_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}kd^2+\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{m_1m_2v_1^2}{2\left(m_1+m_2\right)}. \end{equation*}$

Siccome i due corpi $m_1$ ed $m_2$ si muovono di moto armonico, quando l’allungamento della molla è massimo le velocità $v'_{1,x}$ e $v'_{2,x}$ dei due corpi relative al centro di massa sono nulle, pertanto l’energia cinetica totale del sistema in questo istante è

$\begin{equation*} K_{\text{tot,fin}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2, \end{equation*}$

cioè l’energia cinetica totale del sistema è data dal solo contributo dell’energia cinetica del centro di massa, come si può dedurre dal teorema di König. Come per il Metodo 1, sia $\ell_{\text{max}}$ la lunghezza massima della molla; allora l’energia meccanica totale nell’istante in cui la molla ha tale lunghezza è

$\begin{equation*} E_{\text{tot,fin}}=\dfrac{1}{2}k\ell_{\text{max}}^2+ K_{\text{tot,fin}}=\dfrac{1}{2}k\ell_{\text{max}}^2+\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2, \end{equation*}$

dove abbiamo usato l’equazione (47). Poiché, l’energia meccanica è conservata, si ha

$\begin{equation*} E_{\text{tot,in}}= E_{\text{tot,fin}}, \end{equation*}$

la quale, ricordando i risultati pervenuti nelle equazioni (46) e (48), diventa

$\begin{equation*} \dfrac{1}{2}kd^2+\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{m_1m_2v_1^2}{2\left(m_1+m_2\right)}=\dfrac{1}{2}k\ell_{\text{max}}^2+\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2, \end{equation*}$

ossia

$\begin{equation*} \dfrac{1}{2}kd^2+\dfrac{m_1m_2v_1^2}{2\left(m_1+m_2\right)}=\dfrac{1}{2}k\ell_{\text{max}}^2, \end{equation*}$

cioè

$\boxcolorato{fisica}{ \ell_{\text{max}}=\sqrt{d^2+\dfrac{m_1m_2v_1^2}{k\left(m_1+m_2\right)}} ,}$

come ottenuto in precedenza.

Fonte.

Problemi di fisica generale – S.Rosati e L. Lovitch.

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Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

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Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

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Esercizio sistemi di punti materiali 14

Testo esercizio sistemi di punti materiali 14

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