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Esercizio lavoro ed energia 38

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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L’esercizio 38 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 37 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 39. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo lavoro ed energia 38

Esercizio 38 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m è attaccato ad un filo inestensibile, di lunghezza \ell e massa trascurabile, a un punto P della superficie laterale di un disco di raggio R<\ell/\pi e con l’asse di simmetria parallelo al suolo. Si assuma che il disco sia fermo e che inizialmente il corpo penda liberamente sotto l’azione della forza peso (si veda la figura 1). Si mette in movimento il corpo con velocità iniziale \vec{v}_0 perpendicolare al filo e all’asse del cilindro, dopo di che, il filo si avvolge attorno al cilindro. Si chiami \theta l’angolo che forma il raggio R con l’orizzontale, nel verso indicato nella figura 1, assumendo che \theta\in[0,\pi].

Per il secondo punto, si consideri noto il parametro \theta_{\max}\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right), definito come l’unica soluzione dell’equazione

\begin{equation*} R\cos\theta_{\max}+3(\ell-R\theta_{\max})\sin\theta_{\max}=0. \end{equation*}

Tale equazione non è, in generale, risolvibile in forma chiusa mediante funzioni elementari; l’angolo \theta_{\max} va quindi inteso come parametro definito implicitamente dall’equazione precedente.

Si richiede di determinare

\[\quad\]

  1. la tensione scalare T del filo, che coincide con il modulo della forza di tensione finché il filo rimane teso, in funzione dell’angolo \theta;

    2.  

  2. il valore minimo v_{\min} del modulo della velocità iniziale tale per cui il corpo riesca ad avvolgersi intorno a metà circonferenza.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1: schema del problema.

 

Premessa.

Di seguito proponiamo due metodi differenti per il punto 1 del problema: il primo è più intuitivo e veloce del secondo, mentre il secondo sfrutta l’uso delle coordinate polari, da cui conti maggiormente tediosi.

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