Esercizio 24 . Un cubo di massa
e spigolo
è appoggiato su di un piano orizzontale al quale è incernierato senza attrito per uno spigolo. Un corpo di massa
, in moto con velocità
parallela al piano orizzontale (si veda la figura 1), colpisce perpendicolarmente il bordo superiore della faccia del cubo opposta allo spigolo incernierato (punto
rappresentato in figura 1). Dopo l’urto la direzione di moto del corpo si inverte, mentre il modulo della sua velocità si riduce per un fattore
. Si calcoli il valore
, con
, tale che il cubo si ribalti. Nella figura 1 è stato rappresentato un sistema di riferimento fisso
e per indicare il vettore
è stato introdotto il versore
per l’asse delle
. Inoltre, si assuma che la massa del cubo sia distribuita in modo omogeneo su tutto il suo volume, si trascuri ogni forma di attrito e sia dia per buono che il momento d’inerzia del cubo rispetto alla cerniera
sia
Svolgimento.
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Dopo l’urto la pallina torna indietro con una velocità parallela all’asse delle
e il cubo essendo incernierato ruoterà con una velocità angolare (non costante) rispetto alla cerniera. L’impulso
generato nell’urto è dato dalla variazione della quantità di moto della pallina
, cioè
(1)
da cui deduciamo che il modulo è
(2)
Chiaramente per il terzo principio della dinamica sul cubo verrà applicato un impulso
. Applichiamo il teorema dell’impulso angolare, scegliendo come polo
, ottenendo
(3)
dove è la velocità angolare del cubo un’istante dopo l’urto,
è il momento d’inerzia del cubo rispetto a
,
è il vettore che congiunge la cerniera al punto dove avviene l’urto, come rappresentato in figura 2.
Sfruttando quanto ottenuto, dall’equazione (3), si ottiene
La condizione da imporre affinché il cubo si ribalti è che l’impulso impresso da ad
sia tale da permettere al cubo di compiere un angolo maggiore di
rispetto all’asse delle
, come rappresentato in figura 3.
Analizziamo il sistema dopo l’urto. Osserviamo che agiscono solo forze conservative, quindi dalla si conserva l’energia totale per . Scegliendo come livello dell’energia potenziale gravitazionale nulla il piano orizzontale, l’energia dopo l’urto è
Come configurazione finale prendiamo quella rappresentata in figura 3, ovvero quando il corpo ha compiuto una rotazione pari a . Ipotizzando che il corpo in tale configurazione ci arrivi con velocità angolare nulla, ovvero fermo, l’energia potenziale totale di
è solo gravitazionale, cioè
Per la conservazione dell’energia meccanica, si ha
ovvero
in altri termini
da cui
o anche
quindi
conseguentemente
infine
Dunque affinché il cubo si ribalti, la massa deve avere una velocità
Approfondimento.
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dove . Svolgendo i calcoli otteniamo
Fonte.
Problemi di fisica generale – S.Rosati e L. Lovitch.
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