Equazioni con valore assoluto – Esercizio 4
In questo quarto articolo sulle equazioni con valore assoluto, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo tema. Segnaliamo anche il precedente Equazioni con valore assoluto – Esercizio 3 e il successivo Equazioni con valore assoluto – Esercizio 5 per ulteriore materiale sulle equazioni con valore assoluto.
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. Risolvere la seguente equazione con un valore assoluto
![\[\vert x-3\vert = \dfrac{1}{2}(x-4)-6x.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aebed5aec7259bf6f3c0b9cd1db1264a_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento.
![\[\vert x-3\vert = \dfrac{1}{2}(x-4)-6x \quad \Rightarrow \quad \vert x-3\vert = -2-\dfrac{11}{2}x.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e29908112eae831790b6d6035b1a009_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Quando a membro destro abbiamo un polinomio e non una costante, dobbiamo esplicitare il valore assoluto
![\[\vert x-3 \vert = \begin{cases} x-3, \qquad &\mbox{se } x-3\ge0 \qquad \boxed{\text{I}}\\ -x+3, \qquad &\mbox{se } x-3<0\qquad \boxed{\text{II}}. \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aeee7c6f245e5f60b3f467fee3465721_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per cui dobbiamo impostare due sistemi. Il primo sistema è costituito dalla legge I e dall'equazione dove abbiamo esplicitato il valore assoluto con la legge data dalla condizione I:
![\[\begin{cases} x-3\ge0\\\\ x-3 = -2-\dfrac{11}{2}x \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\ge3\\\\ x=\dfrac{2}{13}. \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c4224eb79ec33f04b11c833e624503e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dato che 
non rientra nell'intervallo di valori accettabili, poiché minore o uguale di 
allora non è soluzione. Occupiamoci ora del secondo sistema costituito dalla legge II e dall'equazione dove abbiamo esplicitato il valore assoluto con la legge data dalla condizione II:
![\[\begin{cases} x-3<0\\ -x+3 = -2-\dfrac{11}{2}x \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x<3\\\\ x=-\dfrac{10}{9}. \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bcc02b64c12323685c8c0ae46b6af09c_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dato che 
rientra nell'intervallo di valori accettabili, poiché minore di allora è soluzione. Concludiamo che la soluzione è
![\[\boxcolorato{superiori}{ S = \left\{x \in \mathbb{R} \,\middle\vert\, x = -\dfrac{10}{9}\right\}.}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8252a134d789a193b890707b9fd912e4_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: Matematica.Blu 2.0 – Volume 3 – Zanichelli
Si ringrazia lo studente Marco Forzoni per le correzioni.
Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica
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- Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
- Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
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- PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
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