Esercizio lavoro ed energia 18

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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L’esercizio 18 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 17 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 19. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

Testo lavoro ed energia 18

Esercizio 18 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar)$ .Un punto materiale $P$ di massa $m$ , inizialmente in quiete, viene lasciato scivolare lungo uno scivolo liscio costituito da un piano inclinato di un angolo $\theta$ raccordato ad una guida orizzontale, posta alla quota $a$ rispetto al suolo, come in figura 1. Calcolare:

la velocità $\overrightarrow{V}_A$ che $P$ deve possedere all’uscita dello scivolo ( $A$ ) per colpire il bersaglio $B$ , posto sul suolo ad una distanza $d$ dalla fine dello scivolo;
l’angolo di impatto $\phi$ di $P$ con il suolo;
la quota $h$ da cui bisogna lasciare $P$ da fermo affinché esso colpisca il bersaglio;
la quota $h'$ da cui bisognerebbe lasciare $P$ da fermo se il piano inclinato fosse scabro, con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ , e la guida orizzontale liscia.

Nota. Il piano inclinato si raccorda con il piano orizzontale in modo tale da far conservare l’energia di $P$ .

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Figura 1: schema del problema.

Schema del problema di lavoro ed energia con punto materiale su piano inclinato, dinamica del punto materiale

Svolgimento punto 1.

Nel sistema in esame, una volta che il punto materiale $P$ scende lungo il piano inclinato esso raggiunge la guida orizzontale fino al punto $A$ . Da qui in poi, il corpo si muoverà di moto parabolico. Fissiamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ , con origine $O$ coincidente con l’estremità della base della guida orizzontale, come illustrato in figura 2.

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Figura 2: scelta del sistema di riferimento.

Sistema di riferimento per il moto parabolico nel contesto di lavoro ed energia

Ricordiamo che il moto parabolico è il risultato della composizione di due moti, cioè un moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle $x$ ed un moto uniformemente accelerato lungo l’asse delle $y$ . Le leggi orarie del moto sono

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} x(t)=V_A t\\\\ y(t)=a-\dfrac{1}{2}gt^2. \end{cases} \end{equation*}$

Si osservi che la velocità $\vec{V}_A$ è diretta nel verso positivo delle $x$ , pertanto la velocità iniziale del moto parabolico lungo l’asse delle $y$ risulterà nulla. Chiamiamo $\tilde{t}$ l’istante in cui il punto materiale impatta con il terreno, ossia l’istante di tempo tale per cui $y(\tilde{t})=0$ . Affinché la velocità $V_A$ sia tale da garantire al corpo $P$ di colpire il bersaglio in $B$ , distante $d$ dall’origine del sistema di riferimento, deve valere che

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} x(\tilde{t})=d\\\\ y(\tilde{t})=0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} V_A\tilde{t}=d\\\\ a-\dfrac{1}{2}g\tilde{t}^2=0 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} V_A\tilde{t}=d\\\\ a=\dfrac{1}{2}g\tilde{t}^2. \end{cases} \end{equation*}$

Dalla seconda equazione del sistema (2), si ottiene

(3) $\begin{equation*} \tilde{t}=\sqrt{\dfrac{2a}{g}}. \end{equation*}$

Sostituendo il valore di $\tilde{t}$ (definito nell’equazione (3)) nella prima equazione del sistema (2), otteniamo

(4) $\begin{equation*} V_A \sqrt{\dfrac{2a}{g}}=d, \end{equation*}$

cioè

$\boxcolorato{fisica}{ V_A=d\sqrt{\dfrac{g}{2a}}.}$

Svolgimento punto 2.

Per calcolare l’angolo di impatto $\phi$ è utile conoscere le componenti del vettore velocità in corrispondenza del punto di impatto lungo la traiettoria, ossia è necessario calcolare

(5) $\begin{equation*} \overrightarrow{V}(\tilde{t})=V_x(\tilde{t})\,\hat{x}+V_y(\tilde{t})\,\hat{y}. \nonumber \end{equation*}$

L’angolo di impatto $\phi$ (vedi figura 3), è dato dalla seguente relazione

(6) $\begin{equation*} \phi=\arctan\left \vert \dfrac{V_y(\tilde{t})}{V_x(\tilde{t})}\right \vert. \end{equation*}$

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Figura 3: rappresentazione dell’angolo di impatto.

Rappresentazione dell'angolo di impatto in un problema di lavoro ed energia, dinamica del punto materiale

Si ha

(7) $\begin{equation*} \begin{cases} V_x(t)=V_A\\\\ V_y(t)=-gt, \end{cases} \end{equation*}$

dove $V_x(t)$ è la velocità lungo l’asse delle $x$ e $V_y(t)$ è la velocità lungo l’asse delle $y$ , entrambe in un generico istante $t>0$ . Sostituendo $t=\tilde{t}$ nel sistema (7), si ha

(8) $\begin{equation*} \begin{cases} V_x(\tilde{t})=V_A\\\\ V_y(\tilde{t})=-g\tilde{t}, \end{cases} \end{equation*}$

da cui

(9) $\begin{equation*} \vec{V}(\tilde{t})=V_A\,\hat{x}-g\tilde{t}\,\hat{y}=V_A\,\hat{x}-\sqrt{2ag}\,\hat{y}, \end{equation*}$

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sostituito il valore di $\tilde{t}$ ottenuto nell’equazione (3). Dall’espressione dell’angolo $\phi$ data dall’equazione (6) segue che

(10) $\begin{equation*} \phi=\arctan\left(\dfrac{\sqrt{2ag}}{V_A}\right). \end{equation*}$

Sostituendo l’espressione di $V_A$ , ottenuta dalla soluzione del punto a), troviamo che l’angolo di impatto è

$\boxcolorato{fisica}{\phi=\arctan\left(\dfrac{2a}{d}\right).}$

Svolgimento punto 3.

Osserviamo che si conserva l’energia meccanica perché tutte le forze agenti su $P$ sono di natura conservativa. Cambiamo sistema di riferimento rispetto ai punti precedenti. Fissiamo un sistema di riferimento $Oy$ , con l’origine $O$ in corrispondenza del piano orizzontale individuato dalla guida orizzontale, come in figura 4. Fissiamo, arbitrariamente, lo zero dell’energia potenziale gravitazionale in corrispondenza della base del piano inclinato (vedi figura 4).

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Figura 4: conservazione dell’energia.

Conservazione dell'energia nel contesto di lavoro ed energia con configurazioni iniziale e finale, dinamica del punto materiale

Consideriamo il sistema nella configurazione iniziale, in cui il corpo $P$ è posto in quiete in cima al piano inclinato ad una quota $(h-a)$ rispetto alla guida orizzontale, per cui

energia cinetica: $K_i=0$ ;
energia potenziale gravitazionale: $U_i=mg(h-a).$

Come configurazione finale consideriamo la situazione del corpo $P$ quando si trova sulla guida orizzontale e si muove su di essa con una velocità in modulo costante pari a $V_A$ , per cui

energia cinetica: $K_i=\dfrac{1}{2}mV_{A}^2;$
energia potenziale gravitazionale: $U_i=0.$

Imponendo la conservazione dell’energia meccanica, si ha

(11) $\begin{equation*} K_i+U_i=K_f+U_f\quad\Leftrightarrow\quad mg(h-a)=\dfrac{1}{2}mV_{A}^2, \end{equation*}$

da cui

(12) $\begin{equation*} h=a+\dfrac{V_{A}^2}{2g}. \end{equation*}$

Sostituendo il valore di $V_A$ (ottenuto nel punto a)) in (12), si trova

$\boxcolorato{fisica}{ h=a+\dfrac{d^2}{4a}.}$

Svolgimento punto 4.

Nel caso in cui il piano inclinato è scabro, non si conserva l’energia perché è presente l’attrito che non è una forza conservativa. Applichiamo il teorema dell’energia-lavoro o teorema delle forze vive. Nel nostro caso possiamo affermare che il lavoro della forza di attrito dinamico è uguale alla variazione di energia meccanica del sistema, cioè

(13) $\begin{equation*} L_{att}=E_{f}-E_{i}, \end{equation*}$

dove

$E_{i}=K_i+U_i=mg(h^\prime-a)$

$E_f=K_f+U_f=\dfrac{1}{2}mV_A^2.$

Si osservi che è stata presa l’energia potenziale nulla rispetto al piano orizzontale, come indicato in figura 5. Cambiamo nuovamente sistema di riferimento. Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano $Oxy$ come in figura 5.

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Figura 5: rappresentazione della situazione con attrito dinamico.

Rappresentazione della situazione con attrito dinamico nella dinamica del punto materiale

Osserviamo che sul corpo $P$ agiscono la forza peso $m\vec{g}$ , la reazione vincolare $\vec{N}$ e la forza di attrito dinamico $\vec{f}_d$ . Tutte le forze sono rappresentate in figura 5. Applicando il secondo principio della dinamica su $P$ e proiettando le forze lungo gli assi $x$ ed $y$ , si ha

(14) $\begin{equation*} \begin{cases} x:\quad mg\sin(\theta)-f_d=m\ddot{x}\\\\ y:\quad -mg\cos(\theta)+N=0. \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x:\quad mg\sin(\theta)-f_d=m\ddot{x}\\\\ y:\quad N=mg\cos(\theta). \end{cases} \end{equation*}$

Il vettore forza di attrito dinamico è per definizione

(15) $\begin{equation*} \vec{f}_d=-\mu_d N\hat{x}=-\mu_d mg\cos(\theta)\hat{x}, \end{equation*}$

in cui abbiamo sostituito il modulo della reazione vincolare $N$ (definito nella seconda equazione del sistema (14)). Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è pari a

(16) $\begin{equation*} L_{att}=\int_{C}^{D}\vec{f}_d\cdot d\vec{x}, \end{equation*}$

dove $C$ rappresenta il punto di partenza del corpo sul piano inclinato e $D$ coincide con la fine del piano inclinato, come in figura 5. In altri termini $\overline{CD}$ è lo spazio percorso da $P$ sul piano inclinato. Sostituendo l’espressione della forza di attrito dinamico $\vec{f}_d$ (definita nell’equazione (15)) nell’equazione (16) e sfruttando la relazione $\hat{x}\cdot d\vec{x}=dx$ [1], si ha

(17) $\begin{equation*} L_{att}=-\mu_dmg\cos(\theta)\int_{C}^{D}dx=-\mu_dmg\cos(\theta)\overline{CD}=-\mu_dmg\cos(\theta)\left( \dfrac{h'-a}{\sin(\theta)}\right)=-\mu_dmg\cot (\theta)\left( {h'-a}\right). \end{equation*}$

Sostituendo l’espressione del lavoro compiuto dalla forza di attrito (calcolato nell’equazione (17)) nell’equazione (13), si ottiene

(18) $\begin{equation*} -\mu_dmg\cot(\theta)(h'-a)=(K_f+U_f)-(K_i+U_i), \end{equation*}$

cioè

(19) $\begin{equation*} -\mu_dmg\cot(\theta)(h'-a)=\dfrac{1}{2}mV_{A}^2-mg(h'-a), \end{equation*}$

da cui

(20) $\begin{equation*} mg(h'-a)\left(1-\mu_d\cot(\theta)\right)=\dfrac{1}{2}mV_{A}^2\quad\Leftrightarrow\quad h'=a+\dfrac{V_{A}^2}{2g\left(1-\mu_d\cot(\theta)\right)}. \end{equation*}$

Sostituendo il valore di $V_A$ ottenuto come soluzione del punto a) nell’equazione (20), si trova

$\boxcolorato{fisica}{ h'=a+\dfrac{d^2}{4a(1-\mu_d\cot(\theta))}.}$

Approfondimento.

Osserviamo che nell’ultimo passaggio dell’equazione (20) abbiamo diviso per la quantità $1-\mu_d\cot(\theta)$ ambo i membri dell’equazione, senza porci il problema che possa annullarsi. Studiamo i vari casi. Se $\mu_d\cot(\theta)=1$ , si avrebbe

$\begin{aligned} &mg\sin(\theta)-f_d=m\ddot{x}\quad \Leftrightarrow \quad mg\sin(\theta)-mg\mu_d\cos \theta=m\ddot{x}\quad \Leftrightarrow \quad mg\left(\sin(\theta)-\mu_d\cos \theta\right)=m\ddot{x}\quad \Leftrightarrow \quad\\& \Leftrightarrow \quad g\sin \theta \left(1-\mu_d\cot \theta\right)=\ddot{x}\quad \Leftrightarrow \quad\ddot{x}=0. \end{aligned}$

Pertanto, sotto la condizione $\mu_d\cot(\theta)=1$ , l’accelerazione sarebbe nulla, di conseguenza il punto materiale $P$ si muoverebbe di moto rettilineo uniforme nella discesa lungo il piano inclinato. Immaginiamo di avere un corpo di massa $m$ in quiete sopra un piano inclinato, come in figura 6.

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Figura 6: rappresentazione con attrito statico.

Rappresentazione con attrito statico nella dinamica del punto materiale

Le forze agenti sul punto materiale $m$ sono la forza di attrito statico $\vec{f}_s$ e la forza peso $m\vec{g}$ . Per la seconda legge della dinamica si ha

(21) $\begin{equation*} \begin{cases} f_s=mg\sin \theta \\ N=mg \cos \theta. \end{cases} \end{equation*}$

Affinché il corpo rimanga in equilibrio deve valere

(22) $\begin{equation*} f_s\leq N\mu_s, \end{equation*}$

da cui, sfruttando le equazioni del sistema (21), si ottiene

(23) $\begin{equation*} mg \sin \theta\leq mg \mu_s\cos \theta, \end{equation*}$

cioè

(24) $\begin{equation*} \mu_s\geq \tan \theta . \end{equation*}$

Dall’equazione (24) si deduce che, affinché ci sia equilibrio, il coefficiente di attrito statico minimo sia $\mu_s = \tan \theta$ . La condizione $1-\mu_d\cot \theta =0$ è equivalente alla condizione $\mu_d=\tan \theta$ ., da cui, deduciamo che $\mu_d=\mu_{s,min}=\tan \theta$ . Dunque, sotto tale condizione, se il corpo ha velocità iniziale nulla rimane fermo sul piano inclinato. Mentre, se il corpo ha una velocità iniziale diversa da zero, procede di moto rettilineo uniforme. Ad esempio, se scegliamo $\mu_d=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx\text{0,58}$ e $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ , si ha $\mu_d\cot(\theta)=1$ ; da cui, se il corpo possiede una velocità iniziale diversa da zero procederà con una velocità costante nella discesa lungo il piano inclinato, altrimenti, se ha velocità nulla, rimarrà fermo. \\ Se $\mu_d\cot(\theta)\neq 1$ , dalla fisica del problema è chiaro che l’accelerazione è rivolta nel verso positivo delle $x$ . Quindi $a>0$ , da cui $1>\mu_d\cot(\theta)$ . Si osservi che $h'$ è maggiore della quota $h$ , infatti si ha

(25) $\begin{equation*} h'>h\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{1}{1-\mu_d\cot(\theta)}>1\quad\Leftrightarrow\quad \mu_d\cot(\theta)>0. \end{equation*}$

La condizione (25) è vera sempre poiché $\mu_d>0$ e per angoli $\theta<90^\circ$ (come è per costruzione in un piano inclinato) si ha $\cot(\theta)>0$ . Il risultato trovato nell’equazione (25) è dovuto al fatto che, siccome è presente una forza di attrito, il corpo $P$ deve partire da una quota più alta per avere un’energia potenziale gravitazionale maggiore, rispetto al caso senza attrito, per arrivare in $B$ (vedi figura 1).

1. Perché $d\vec{x}\parallel \hat{x}$ . ↩

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Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.

Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.

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Esercizio lavoro ed energia 18

Testo lavoro ed energia 18

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