Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio corpo rigido 37

Dinamica del corpo rigido

Home » Esercizio corpo rigido 37

L’Esercizio Corpo Rigido 37 è il trentasettesimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 36 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 38. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

 

Testo esercizio corpo rigido 37

Esercizio 37  (\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).  Due cilindri C_1 e C_2, di masse m_1 e m_2 e raggi r_1 e r_2 rotolano senza strisciare su due piani inclinati e sono collegati da un filo inestensibile come è mostrato in figura; C_1 scende mentre C_2 sale. Le masse del filo e della carrucola sono trascurabili. Quanto vale l’accelerazione di un punto dell’asse di C_1?

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Richiami teorici.

Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt} \end{cases} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_O\prime è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O\prime è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O^\prime. Se per il calcolo dei momenti esterni scegliamo un polo fisso o il centro di massa otteniamo

    \[\vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0},\]

quindi (1) diventa

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}. \end{cases} \end{equation*}

Se il corpo rigido ha la massa indipendente dal tempo e possiede una certa simmetria rispetto all’asse rispetto al quale ruota, allora (2) può essere riscritta come segue

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}=m\vec{a}_{cm}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}=I\vec{\alpha}, \end{cases} \end{equation*}

dove I è il momento d’inerzia rispetto al polo scelto per il calcolo dei momenti esterni e \alpha è l’accelerazione angolare.

 

Svolgimento.

Osserviamo che C_1 e C_2 si muovono di puro rotolamento quindi il punto di contatto di entrambi con il piano inclinato è istantaneamente fermo rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Se scegliamo come polo per il calcolo dei momenti esterni il centro di massa o il punto di contatto, allora è valida (2); inoltre i due dischi possiedono una certa simmetria rispetto ad un asse passante per il loro centro di massa o per il punto di contatto quindi è valida pure (3). I due dischi sono collegati da un filo inestensibile e di massa trascurabile tramite una carrucola, quindi su di essi sono applicate due forze uguali in modulo (vedi figura 2). Sul disco C_1 agisce la tensione \vec{T}_1 e sul disco C_2 agisce la tensione \vec{T}_2. Inoltre sul disco C_1 è applicata la forza peso m_1\vec{g} nel centro di massa[1]., la forza di attrito statico \vec{f}_{s,1} e la reazione vincolare \vec{N}_1 generate dal contatto tra il disco e il piano inclinato, invece sul cilindro C_2 agisce la forza peso m_2\vec{g} applicata nel centro di massa[2], la forza di attrito statico \vec{f}_{s,2} e la reazione vincolare \vec{N}_2 generate dal contatto tra il disco e il piano inclinato. Scegliamo due sistemi di riferimento fissi Oxy e O^\prime x^\prime y^\prime come rappresentato nella figura 2.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Ciò che accade è che il corpo C_1 scende e tramite la fune si trascina C_2 facendolo salire. Siccome i centri dei dischi sono collegati da un filo inestensibile e di massa trascurabile, allora il centro di massa di entrambi ha la stessa accelerazione a_{CM} in modulo. Applichiamo (3) ai due dischi

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} \vec{N}_1+m_1\vec{g}+\vec{T}_1+\vec{f}_{s,1}=m_1\vec{a}_{1,CM}\\ \vec{N}_2+m_2\vec{g}+\vec{T}_2+\vec{f}_{s,2}=m_2\vec{a}_{2,CM}\\ \vec{R}\wedge \vec{f}_{s,1}=I_{CM,1}\, \vec{\alpha}_1\\ \vec{R}\wedge \vec{f}_{s,2}=I_{CM,2} \, \vec{\alpha}_2 \end{cases} \end{equation*}

dove I_{CM,1} e I_{CM,2} sono i momenti d’inerzia rispetto al proprio centro di massa, \vec{\alpha}_1 è l’accelerazione angolare di C_1 e \vec{\alpha}_2 è l’accelerazione angolare di C_2 e infine \vec{a}_{1,CM} e \vec{a}_{2,CM} sono le accelerazioni dei centri di massa. Proiettiamo le forze agenti su C_1 sugli assi di Oxy e quelle agenti su C_2 lungo gli assi di O^\prime x^\prime y^\prime ed inoltre, considerando i moduli dei momenti esterni e tenendo conto che a_{1,CM}=a_{2,CM}=a_{CM}, otteniamo il seguente sistema

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} T_1-m_1g\sin\alpha_1+f_{s,1}=-m_1a_{CM}\\ -T_2+m_2g\sin\alpha_2+f_{s,2}=-m_2a_{CM}\\ N_1=m_1g\cos \alpha_1\\ N_2=m_2g \cos \alpha_2\\ f_{s,2}r_2=I_{2,CM}\alpha_2=\frac{1}{2}m_2r^2_2\alpha_2\\ f_{s,1}r_1=I_{1,CM}\alpha_1=\frac{1}{2} m_1 r^2_1 \alpha_1. \end{cases} \end{equation*}

Siccome il moto è di puro rotolamento per entrambi i dischi, vale che

    \[a_{CM}=\alpha_1 r_1=\alpha_2r_2\]

e tenendo conto che il filo è inestensibile e di massa trascurabile abbiamo

    \[T_1=T_2=T,\]

per cui (5) diventa

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} T-m_1g\sin\alpha_1+f_{s,1}=-m_1a_{CM}\\ -T+m_2g\sin\alpha_2+f_{s,2}=-m_2a_{CM}\\ N_1=m_1g\cos \alpha_1\\ N_2=m_2g \cos \alpha_2\\ f_{s,2}r_2=I_{2,CM}\alpha_2=\frac{1}{2}m_2r_2a_{CM}\\ f_{s,1}r_1=I_{1,CM}\alpha_1=\frac{1}{2} m_1 r_1 a_{CM}. \end{cases} \end{equation*}

Se sommiamo membro a membro le prime due equazioni di (5) e teniamo conto di (6)_5 e (6)_6 otteniamo la seguente equazione

    \[m_2g\sin\alpha_2-m_1g\sin\alpha_1+\dfrac{1}{2}m_2 a_{CM}+\dfrac{1}{2}m_1a_{CM}=a_{CM}(-m_2-m_1)\]

da cui ricaviamo l’accelerazione del centro di massa

    \[a_{CM}=\dfrac{g(m_1\sin\alpha_1-m_2\sin\alpha_2)}{\frac{3}{2}(m_2+m_1)}.\]

Dunque la risposta al quesito del problema è quella che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{ a_{CM}=\dfrac{g(m_1\sin\alpha_1-m_2\sin\alpha_2)}{\frac{3}{2}(m_2+m_1)}.}\]

 

1. Abbiamo assunto che la massa sia distribuita in modo omogeneo

2. Abbiamo assunto che la massa sia distribuita in modo omogeneo

 

 

Fonte.

S.Rosati, R.Casali – Problemi di fisica generale, Ambrosiana (1998).

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 69 esercizi risolti, contenuti in 242 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione della dinamica del corpo rigido.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     






    Document