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Esercizio statica del corpo rigido 6

Statica in Meccanica classica

Home » Esercizio statica del corpo rigido 6

Esercizio sulla statica del corpo rigido 6 arricchisce ulteriormente la raccolta di esercizi sulla statica dei corpi rigidi, proponendo un nuovo scenario applicativo per approfondire il tema dell’equilibrio di corpi estesi.

L’esercizio precedente è l’Esercizio sulla statica del corpo rigido 5, mentre quello successivo è l’Esercizio sulla statica del corpo rigido 7. Il contenuto è pensato per studenti del corso di Fisica 1, in particolare per chi segue studi universitari in ingegneria, fisica o matematica.

Per una visione propedeutica, si rimanda agli esercizi sui sistemi di punti materiali. Per proseguire con i temi successivi della meccanica classica, si consiglia di consultare gli esercizi sugli urti.

 

Testo dell’Esercizio sulla statica del corpo rigido 6

Esercizio 6 (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due aste omogenee e uguali, ciascuna di massa m, sono saldate insieme per un’estremità e l’angolo compreso tra le due aste è \alpha e l’angolo \beta è l’angolo formato dall’asta AB e il piano orizzontale (guardare figuraaha). Il sistema è incernierato senza attrito in A ed è in equilibrio nella posizione di figura sotto l’azione della forza verticale \vec{F} applicata in C.
Si calcoli l’intensità della forza \vec{F}, esprimendo i risultati in funzione di \beta \,\, \text{e} \,\, \alpha.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: due aste omogenee incernierate in A con una forza \vec{F} verticale applicata in C.

 

Svolgimento.

Consideriamo un sistema costituito da due aste omogenee e uguali, ciascuna di massa m, saldate insieme per un’estremità. L’angolo compreso tra le due aste è indicato con \alpha, mentre l’angolo \beta è l’angolo formato dall’asta AB e il piano orizzontale. Il sistema è incernierato senza attrito nel punto A ed è mantenuto in equilibrio sotto l’azione di una forza verticale \vec{F}, applicata nel punto C dell’asta superiore. La forza gravitazionale \vec{g} agisce su tutto il sistema verticalmente verso il basso.

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Figura 2: Sistema di due aste omogenee incernierate in A con una forza \vec{F} applicata in C..

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Figura 3: rappresentazione degli angoli \alpha, \beta e \gamma per comprendere l’equazione (1).

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Dalla geometria del problema si osserva che:

(1)   \begin{equation*}l 360^\circ = \alpha + 90^\circ - \beta + 90^\circ + \gamma \quad \Leftrightarrow \quad \gamma = 180^\circ - \alpha + \beta, \end{equation*}

dove \gamma è l’angolo formato tra l’asta BC e il piano orizzontale.

Per determinare l’intensità della forza \vec{F} necessaria per mantenere il sistema in equilibrio, scegliamo come polo il punto A e poniamo \ell come la lunghezza di ciascuna asta. Applicando la seconda legge cardinale dei corpi rigidi, otteniamo l’equazione di equilibrio:

    \[ F \ell (\cos \beta + \cos \gamma) - m g \left( \ell \cos \beta + \frac{\ell}{2} \cos \gamma \right) - m g \frac{\ell}{2} \cos \beta = 0. \]

Semplificando l’equazione e isolando F, otteniamo la seguente espressione per l’intensità della forza:

    \[ F (\cos \beta + \cos \gamma) - m g \left( \cos \beta + \frac{1}{2} \cos \gamma \right) - m g \frac{1}{2} \cos \beta = 0, \]

che può essere ulteriormente risolta come:

    \[\boxcolorato{fisica}{F = \dfrac{mg \left(\dfrac{3}{2}\cos \beta - \dfrac{1}{2}\cos (\alpha-\beta)\right)}{\cos \beta - \cos (\alpha-\beta)}.}\]

 


Fonte Esercizio.

Fonte: S.Rosati, R.Casali – Problemi di fisica generale, Ambrosiana (1998).

 

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    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
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