L’Esercizio Corpo Rigido 57 è il cinquantasettesimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 56 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 58. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.
Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.
Testo dell’Esercizio Corpo Rigido 57
Esercizio 57 . Un disco circolare omogeneo di massa
, raggio
e spessore costante è appoggiato su un piano orizzontale scabro sul quale rotola senza strisciare (moto di puro rotolamento). Il centro
del disco è collegato, mediante una molla ideale di costante elastica
e lunghezza a riposo trascurabile, a un punto
dell’asse
posto ad altezza
dal piano di appoggio. All’istante
il centro
si trova sull’asse
con velocità orizzontale
. Si determini:
- l’istante
in cui il disco si ferma per la prima volta;
- il valore minimo
del coefficiente di attrito statico necessario affinché il disco rotoli senza strisciare.
Svolgimento Punto 1.
Studiamo le forze che agiscono sul sistema. Come si può osservare in figura 3, nel generico istante di tempo le forze esterne che agiscono sul disco sono la sua forza peso
, la reazione vincolare
generata dal piano di appoggio, la forza elastica della molla
e la forza di attrito
. Essendo quest’ultima l’unica forza in grado di produrre un momento esterno non nullo rispetto al centro
, essa dovrà essere orientata nel verso negativo dell’asse
in modo che il momento (esterno) da essa generato metta in rotazione il disco, facendolo ruotare in senso orario, come suggerisce la figura 2. Scegliendo come polo per il calcolo dei momenti esterni il centro
del disco, dalla prima e seconda legge cardinale per i corpi rigidi, si ottiene
(1)
dove e
sono rispettivamente l’elongazione orizzontale e verticale della molla e
è il momento d’inerzia rispetto al centro di massa, che nel caso di un disco omogeneo risulta essere
. Inoltre, sfruttando l’ipotesi di puro rotolamento, sappiamo che il centro di massa si muove con accelerazione
rispetto al punto di contatto con il piano di appoggio, istantaneamente fermo rispetto al sistema di riferimento
; otteniamo quindi che
.
Dall’equazione (1)
, con semplici passaggi, otteniamo
(2)
A questo punto, sostituiamo l’espressione trovata per (definita nella (2)) nell’equazione (1)
, ottenendo
(3)
con . Abbiamo quindi trovato che il sistema è un oscillatore armonico semplice, unidimensionale (lungo la direzione
), il cui moto è centrato in
. Dalla cinematica del moto armonico, segue che la velocità del corpo è istantaneamente nulla nel punto di massima elongazione della molla, che viene raggiunto dal disco in un tempo
pari a un quarto del periodo
del moto. Si ha dunque (si ricordi che
)
(4)
da cui
Svolgimento Punto 2.
(5)
La soluzione dell’equazione differenziale (5)(3) è del tipo
(6)
con e
costanti da determinare; derivando ambo i membri dell’equazione (6) si ottiene
(7)
Sostituendo nell’equazione (6) e nell’equazione (7), e sfruttando le condizioni iniziali
,
, si ottiene il seguente sistema
(8)
da cui si ottiene e
. La legge del moto del centro di massa del disco è dunque
(9)
Andiamo ora a studiare il sistema quando la molla è alla sua massima elongazione, ossia per .
Prima di applicare le due leggi cardinali per i corpi rigidi è importante notare che nell’istante in cui si ferma il disco, la forza di attrito statico invertirà istantaneamente la propria direzione, come in figura 4. La forza di attrito statico inverte la propria direzione perché il disco inverte il proprio moto muovendosi nella direzione opposta. In questa configurazione, per le due leggi cardinali, si ha
(10)
Essendo un moto armonico si ha
(11)
da cui, sfruttando l’equazione (10), si ottiene
(12)
Sappiamo inoltre che , da cui deduciamo che
(13)
Sostituendo nella (13) le espressioni di trovata in (12) e
trovata nella (10)
, si ottiene
(14)
ossia
Si osservi che ai fini del secondo punto del problema non è stato necessario usare la prima equazione cardinale per i corpi rigidi, ovvero (10) .
Approfondimento.
(15)
Si osservi che il membro di destra dell’equazione (15) è stato posto negativo perché nell’istante in cui il disco inverte il proprio moto l’accelerazione è minima, in altri termini
.
Svolgendo i calcoli si ottiene
(16)
Sostituendo e
(definiti in (16)) in (13), si ottiene
(17)
o anche
(18)
come ottenuto in precedenza.
Osserviamo l’importanza di aver notato che la forza di attrito statico inverte il proprio verso nell’istante in cui il disco si ferma.
Fonte.
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