L’esercizio 14 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 13 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 15. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.
Testo lavoro ed energia 14
Esercizio 14 
. Un blocco di 
, partendo da fermo, scivola per una distanza 
giù per un piano privo di attrito inclinato di 
, fino ad imbattersi in una molla. Il blocco continua a scivolare per 
prima di essere momentaneamente arrestato dalla compressione della molla la cui costante è 
.
Si richiedere di determinare il valore di e la distanza fra il punto di primo contatto e il punto in cui il blocco raggiunge la velocità massima.
Figura 1: blocco di massa che scivola lungo un piano inclinato.
Considerazioni.
, inclinazione del piano inclinato , compressione della molla, dovuta all’urto del corpo, sino al suo arresto , costante elastica della molla e velocità iniziale del corpo 
.Svolgimento.
![\[K_i + U_i = K_f + U_f,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71343fa61da1ade1139631dcb09d4d0f_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove il pedice 
intende iniziale ed il pedice 
intende finale, il simbolo 
sta per energia potenziale ed infine 
sta per energia cinetica.
Fissiamo lo zero del potenziale alla distanza 
dall’estremo superiore della molla, come in figura, e consideriamo come “stato iniziale” quello in cui il corpo è fermo ad altezza 
dal suolo, mentre consideriamo come “stato finale” quello in cui il corpo è fermo e la molla è
compressa di .
Figura 2: geometria del problema
Rappresentiamo lo schema delle forze nell’istante in cui il blocco tocca la molla
Figura 3: rappresentazione delle forze agenti sul blocco di massa m nel momento in cui tocca la molla.
Scriviamo i singoli termini d’energia ricordando che l’energia potenziale della forza peso è 
(con 
distanza verticale da un punto fissato che lo zero dell’energia potenziale gravitazionale) e l’energia potenziale della forza elastica è 
con 
elongazione della molla.
![\[\begin{aligned} & K_i =0;\\ & U_i = mg \left(\Delta x + d\right) \, \sin \theta;\\ & K_f =0;\\ & U_f = \frac{1}{2}k \, \Delta^2 x. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-99754f23875c4f7f092879c6c02ab31e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Da cui è dato da
![\[\boxcolorato{fisica}{ d = \dfrac{k \, \Delta^2 x-2mg\Delta x \sin \theta }{2mg \, \sin \theta}.}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dbccd58e25facb3e55f6773c8afa4b74_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Adesso rispondiamo alla seconda domanda. Quando il corpo urta la molla, esso possiede un’accelerazione di modulo 
. Dopo il primo contatto con la molla esisterà un certo istante 
tale che
![\[k\, \vert x \vert > mg \, \sin \theta,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5fd17af1041e0dbacdaa1c7e1e1ce9d2_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
da quell’istante in poi il corpo decelera fino a fermarsi.
Dalla seconda legge della dinamica, abbiamo
![\[mg \, \sin \theta - kx = m \ddot{x}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1055d07a3e7b0dfc2cc3b6219f4146d6_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
e dividendo tutto per abbiamo l’equazione di un oscillatore armonico
![\[\ddot{x} = - \left(-\dfrac{k}{m}\right)x + g \sin \theta.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d92c195d9d4cf44aa74f8de58962dcdc_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
La velocità è massima per 
, per cui si ha
![\[\boxcolorato{fisica}{ x = \dfrac{mg \,\sin \theta}{k}=x_{\tiny\mbox{max}}.}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1d56467a9ca2865f4e4697879997c5be_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte.
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Seconda edizione, Zanichelli.
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