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Esercizio lavoro ed energia 12

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Esercizio lavoro ed energia 12

L’esercizio 12 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 11 ed è il precedente di Esercizio lavoro ed energia 13. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

Testo esercizio lavoro ed energia 12

Esercizio 12 (\bigstar\largewhitestar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Ad un filo ideale (filo inestensibile e di massa trascurabile) di lunghezza L, opportunamente fissato in un punto O, è legata una palla. Ad una distanza verticale d dal punto O è posto un piolo individuato dal punto P. Quando la palla, inizialmente ferma, è lasciata libera, oscillerà lungo l’arco tratteggiato in rosso, come illustrato in figura. Quando il filo tocca il piolo la massa descriverà l’arco tratteggiato in blu di raggio r. Calcolare la velocità della palla dopo che il filo sarà rimasto impigliato nel piolo quando:

  1. raggiungerà il punto più basso della traiettoria;
  2. raggiungerà il punto più alto della traiettoria.

Si assuma che nell’urto con il piolo si conservi l’energia del sistema. Esprimere i risultati in funzione di g, d e L.

 

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Lavoro ed energia: schema del moto di una palla legata a un filo che oscilla fino a impigliarsi in un piolo

Svolgimento punto 1.

Nel sistema non sono presenti forze non conservative, pertanto si conserva l’energia meccanica in ogni istante. Fissiamo arbitrariamente lo zero dell’energia potenziale della palla in corrispondenza del punto O al quale è fissato il filo. Scegliamo, inoltre, un sistema di riferimento Oy orientato verso l’alto e con origine nel punto O (vedi figura 1).

Per risolvere il punto 1) consideriamo il sistema quando la palla passa dalla posizione iniziale in quiete, al punto più basso con velocità \vec{V}_1, come illustrato in figura 1.

 

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Figura 1.

Lavoro ed energia: schema della palla legata a un filo mentre raggiunge il punto più basso della traiettoria

 

Dalla conservazione dell’energia meccanica sappiamo che

(1) \begin{equation*} K_i+U_i=K_f+U_f, \end{equation*}

dove K_i e K_f rappresentano l’energia cinetica della palla nella configurazione iniziale ed in quella finale, rispettivamente; analogamente per l’energia potenziale gravitazionale U_i e U_f. In questo caso il corpo parte da fermo, K_i=0, alla stessa quota dello zero di riferimento O per cui U_i=0. Un istante prima dell’urto l’energia cinetica è K_f=\dfrac{1}{2}mV_1^2 e l’energia potenziale gravitazione è U_f=-mgL. In virtù di quanto detto, l’equazione (1) diventa

(2) \begin{equation*} 0=-mgL+\dfrac{1}{2}mV_{1}^2, \end{equation*}

da cui

\[\boxcolorato{fisica}{ V_1=\sqrt{2gL}.}\]

Osserviamo che nel caso ideale senza attrito la velocità della palla non dipende dalla sua massa.

 


Svolgimento punto 2.

Procediamo in maniera analoga al punto 1); consideriamo questa volta come istante finale quello per cui la palla si trova nel punto più alto della traiettoria dopo che il filo si è impigliato nel piolo, con velocità \vec{V}_2, come in figura 2.

 

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Figura 2.

Lavoro ed energia: schema della palla legata a un filo mentre raggiunge il punto più alto della traiettoria

 

Ripetendo esattamente lo stesso procedimento visto nel caso 1), dalla la conservazione dell’energia meccanica tra la configurazione iniziale (vista in fig.1) e la configurazione finale in cui la palla risulta trovarsi ad una distanza d-r dall’origine O (come in figura 2), si ha che

(3) \begin{equation*} 0=\underbrace{\dfrac{1}{2}mV_{2}^2-mg(d-r)}_{\text{Energia cineticà finale}}, \end{equation*}

da cui, ricordando che dalla geometria del sistema r+d=L, si ha che

\[\boxcolorato{fisica}{ V_2=\sqrt{2g(2d-L)}.}\]


 
 

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