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Equazione di Binet

Gravitazione in Meccanica classica

Home » Equazione di Binet

In questo articolo presentiamo l’equazione di Binet, che fornisce un’espressione dell’accelerazione di un corpo soggetto a una forza centrale, riportandone anche una dimostrazione dettagliata.

Oltre alla lista alla fine dell’articolo, segnaliamo il seguente materiale su argomenti correlati all’equazione di Binet:

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente la dimostrazione dell’equazione di Binet.

 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Daniele Bjørn Malesani.  

 

Equazione di Binet. Sia un punto materiale di massa m soggetto ad una forza centrale di modulo F(r), con r distanza tra il punto materiale e il centro O. Allora è possibile esprimere la sua accelerazione \vec{a} in funzione della sola distanza r, cioè:

(1)   \begin{equation*} \vec{a}=-\dfrac{L^2}{m^2r^2}\left(\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)+\dfrac{1}{r}\right)\hat{r}, \end{equation*}

dove L è il momento angolare e \hat{r} è il versore introdotto per indicare la direzione radiale.

Dimostrazione.

Un corpo soggetto ad una forza centrale ha momento angolare L costante. L’espressione che descrive il momento angolare è

(2)   \begin{equation*} L=m\,r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}. \end{equation*}

Esprimiamo l’accelerazione del punto materiale m in coordinate polari:

(3)   \begin{equation*} \vec{a}=\left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right)\hat{r}+\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dt}\left(r^2\dfrac{d\theta}{dt}\right)\hat{\theta} \end{equation*}

dove \hat{\theta} è il versore introdotto per indicare una direzione perpendicolare alla direzione di \hat{r} (vedere figura 1 e 2), in altri termini \hat{\theta} è il versore trasverso. Si osservi che i versori \hat{r} e \hat{\theta} cambiano direzione durante il moto del punto materiale di massa m istante per istante. Inoltre, si osservi che siccome il momento angolare è costante il moto del punto materiale m avviene in un piano fisso.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

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Poiché

(4)   \begin{equation*} r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}=\text{costante} \end{equation*}

risulta

(5)   \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left(r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(\text{costante}\right)=0, \end{equation*}

da cui

(6)   \begin{equation*} \vec{a}=\left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right)\hat{r}. \end{equation*}

Quindi l’accelerazione ha solo direzione radiale. Ora, dobbiamo cercare di esprimere la variabile radiale dell’accelerazione solo in funzione della variabile r. Per fare ciò, ci avvaliamo della nota formula della catena o formula di Faà di Bruno1, cioè

(7)   \begin{equation*} \dfrac{d^2r}{dt^2}=\dfrac{d^2r}{d\theta^2}\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2+\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=\dfrac{L^2}{m^2r^4}\,\dfrac{d^2r}{d\theta^2}+\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{d^2\theta}{dt^2}, \end{equation*}

dove abbiamo sostituito d\theta/dt=L/mr^2. Dalla (2) si ha

(8)   \begin{equation*} \dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{L}{mr^2}, \end{equation*}

da cui, derivando ambo i membri rispetto alla variabile t, si ottiene

(9)   \begin{equation*} \dfrac{d^2\theta}{dt^2}=\dfrac{L}{m}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{r^2} \right); \end{equation*}

ora, sfruttando nuovamente la regola della catena, si ha

(10)   \begin{equation*} \dfrac{d^2\theta}{dt^2}=\dfrac{L}{m}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{r^2} \right)=\dfrac{L}{m}\,\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right)\,\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{L^2}{m^2r^2}\,\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right), \end{equation*}

dove abbiamo sfruttando nuovamente d\theta/dt=L/mr^2 nel penultimo passaggio. Dunque, sostituendo l’epressione di {d^2\theta}/{dt^2} espressa dalla (10) in (7), si trova

(11)   \begin{equation*} \dfrac{d^2r}{dt^2}=\dfrac{L^2}{m^2r^4}\,\dfrac{d^2r}{d\theta^2}+\dfrac{L^2}{m^2r^2}\,\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right)=\dfrac{L^2}{m^2r^2}\left(\dfrac{d^2r}{d\theta^2}\,\dfrac{1}{r^2}+\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right)\right). \end{equation*}

Notiamo quanto segue

(12)   \begin{equation*} \dfrac{d^2r}{d\theta^2}\,\dfrac{1}{r^2}+\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right)=\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{1}{r^2}\right)=\dfrac{d}{d\theta}\left(-\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r}\right)\right)=-\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right), \end{equation*}

per cui

(13)   \begin{equation*} \dfrac{d^2r}{dt^2}=\dfrac{L^2}{m^2r^2}\left(-\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)\right)=-\dfrac{L^2}{m^2r^2}\,\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right). \end{equation*}

Sfruttando la (13) allora la (6) diventa

(14)   \begin{equation*} \vec{a}=\left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\,\dfrac{L^2}{m^2r^4}\right)\hat{r}=-\left(\dfrac{L^2}{m^2r^2}\,\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)+r\,\dfrac{L^2}{m^2r^4}\right)\hat{r}=-\dfrac{L^2}{m^2r^2}\left(\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)+\dfrac{1}{r}\right)\hat{r}, \end{equation*}

che è esattamente quello che volevamo ottenere.

 
 

    \[\]

  1. La regola della catena permette di derivare una funzione composta di due funzioni derivabili.
    Regola della catena per la derivata prima e seconda. Siano f e g di classe \mathcal{C}^{2}, allora

        \[\begin{aligned} &\dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dg} \cdot \dfrac{dg}{dx};\\ & \dfrac{d^2f}{dx^2} = \dfrac{d^2f}{dg^2} \left(\dfrac{dg}{dx}\right)^2+ \dfrac{df}{dg} \cdot \dfrac{d^2g}{dx^2}.\end{aligned}\]

    Tale regola si generalizza con derivate di qualsiasi ordine per funzioni derivabili almeno fino a tale ordine con la nota formula di Faà di Bruno. ↩

 
 

Esercizi di Meccanica classica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
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    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
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