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Esercizio sistemi di punti materiali 4

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

Home » Esercizio sistemi di punti materiali 4

Esercizio sui sistemi di punti materiali 4 rappresenta il quarto problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 3, ed segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 5.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

 

Testo esercizio sistemi di punti materiali 4

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Siano un sistema di riferimento inerziale Ox e due punti materiali di massa m_1 ed m_2 che si muovono di moto vario con leggi orarie x_1(t) e x_2(t). Si richiede di verificare il teorema di König dell’energia cinetica e di determinare la condizione affinché l’energia cinetica di m_1 sia doppia di quella di m_2 nel sistema del centro di massa.

Svolgimento punto 1.

Se x_1(t)=x_1 e x_2(t)=x_2 sono le posizioni generiche di m_1 e m_2 in funzione del tempo rispetto al sistema di riferimento inerziale Ox, la posizione del centro di massa è

(1)   \begin{equation*} x_{cm}(t)=\dfrac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2} \end{equation*}

mentre la sua velocità è

(2)   \begin{equation*} \dot{x}_{cm}(t)=\dfrac{m_1\dot{x_1}+m_2\dot{x_2}}{m_1+m_2} \end{equation*}

Per verificare il teorema di Koning ci servono le velocità di m_1 ed m_2 nel sistema del centro di massa, cioè le velocità che un osservatore in questo sistema di riferimento attribuisce ad m_1 ed m_2. Per fare questo calcoliamo le due velocità relative

    \[\begin{aligned} &v_1^\prime=\dot{x}_1-\dot{x}_{cm}=\dot{x}_1-\dfrac{m_1\dot{x}_1+m_2 \dot{x}_2}{m_1+m_2}\\ &=\dfrac{m_1\dot{x}_1+m_2\dot{x}_1-m_1\dot{x}_1-m_2\dot{x}_2}{m_1+m_2}\\ &= \dfrac{m_2}{m_1+m_2}(\dot{x_1}-\dot{x}_2) \end{aligned}\]

con la stessa procedura si può calcolare la velocità relativa di m_2

(3)   \begin{equation*} v_2^\prime =\dfrac{m_1}{m_1+m_2}(\dot{x}_2-\dot{x}_1) \end{equation*}

A questo punto possiamo calcolare l’energia cinetica del sistema rispetto al centro di massa:

    \[\begin{aligned} &E_k^\prime=\dfrac{1}{2}m_1{v_1^{\prime}}^2+\dfrac{1}{2}m_2 {v_2^{\prime}}^2=\\ &=\dfrac{1}{2}m_1\dfrac{m_2^2}{(m_1+m_2)^2}\left(\dot{x_1}-\dot{x_2}\right)^2+\dfrac{1}{2}m_2\dfrac{m_1^2}{(m_1+m_2)^2}\cdot \left(\dot{x}_2-\dot{x}_1\right)^2 = \\ &=\dfrac{1}{2}\dfrac{m_1m_2^2}{(m_1+m_2)^2}\left(\dot{x}_1^2+\dot{x}_2^2-2\dot{x}_1\dot{x}_2\right)+\\ & \qquad + \dfrac{1}{2} \dfrac{m_2m_1^2}{(m_1+m_2)^2}\left(\dot{x}_1^2+\dot{x_2}^2-2\dot{x}_1\dot{x}_2(t)\right)=\\ & = \dfrac{1}{2} \dfrac{m_1m_2(m_1+m_2)}{(m_1+m_2)^{2}} \; \dot{x}_1^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{m_1m_2(m_1+m_2)}{(m_1+m_2)^{2}} \; \dot{x}_2^2+\\ &\qquad - \dfrac{1}{2}\left(2 \dot{x}_1\dot{x}_2\right) \dfrac{m_1m_2(m_1+m_2)}{(m_1+m_2)^{2}} =\\ &=\dfrac{m_1m_2\dot{x}_1^2}{2\left(m_1+m_2\right)}+\dfrac{m_1m_2\dot{x}_2^2}{2\left(m_1+m_2\right)}-\dfrac{m_1m_2\dot{x}_1\dot{x}_2}{\left(m_1+m_2\right)} \end{aligned}\]

e l’energia del centro di massa rispetto al sistema di riferimento inerziale

    \[\begin{aligned} E_{cm} & = \dfrac{1}{2} (m_1+m_2) \dot{x}_{cm}^2=\dfrac{1}{2} (m_1+m_2)\dfrac{\left(m_1 \; \dot{x_1}+m_2 \; \dot{x_2}\right)^2}{(m_1+m_2)^{2}} = \\ & = \dfrac{1}{2}\dfrac{m_1^2 \dot{x}_1^2}{m_1+m_2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{m_2^2 \; \dot{x}_2^2}{m_1+m_2}+\dfrac{m_1 \; m_2 \; \dot{x}_1 \; \dot{x}_2}{(m_1+m_2)}. \end{aligned}\]

Ora sommiamo E_{cm} con E_k^\prime

    \[\begin{aligned} &E_{cm}+E_k^\prime=\dfrac{1}{2}\dfrac{m_2^2 \; \dot{x}_1^2}{m_1+m_2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{m_2^2 \; \dot{x}_2^2}{m_1+m_2} + \dfrac{m_1 \; m_2 \; \dot{x}_1 \; \dot{x}_2}{m_1+m_2}+\\ &+\dfrac{1}{2} \; \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2} \; \dot{x}_1^2+\dfrac{1}{2} \; \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}\; \dot{x}_2^2-\dfrac{m_1 \; m_2 \; \dot{x_1} \; \dot{x}_2}{m_1+m_2}=\\ &=\dfrac{1}{2}\dfrac{m_1(m_1+m_2)}{(m_1+m_2)}\dot{x}_1^2 + \dfrac{1}{2}\dfrac{m_2(m_1+m_2)}{(m_1+m_2)}\dot{x}_2^2=\\ &=\dfrac{1}{2}m_1\dot{x}_1+\dfrac{1}{2}m_2\dot{x}_2 \end{aligned}\]

questa somma è esattamente l’energia cinetica dei due oscillatori nel sistema di riferimento inerziale e quindi il teorema è verificato.

 


Svolgimento punto 2.

Nel sistema del centro di massa, affinchè l’energia cinetica di m_1 sia doppia rispetto ad m_2, si deve avere che

(4)   \begin{equation*} E_k^\prime (m_1)=2E_k^\prime(m_2) \end{equation*}

ovvero

(5)   \begin{equation*} E_k^\prime (m_1)=\dfrac{1}{2} m_1 \; {v_1^{\prime}}^2 =2\left(\dfrac{1}{2}m_2 \; {v_2^{\prime}}^2\right) \end{equation*}

e inserendo le rispettive velocità del sistema rispetto al centro di massa in funzione delle velocità del sistema inerziale si ha

    \[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}m_1\left( \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\right)^2(\dot{x}_1 - \dot{x}_2)^2= m_2 \left( \dfrac{m_1}{m_1+m_2}\right)^2(\dot{x_2}-\dot{x}_1)^2 \quad \Leftrightarrow\\ & \Leftrightarrow \quad \dfrac{m_1m_2^2}{(m_1+m_2)^2}(\dot{x_1}-\dot{x_2})^2=\dfrac{2m_2m_1^2}{(m_1+m_2)^2}(\dot{x_2}-\dot{x_1})^2 \quad \Leftrightarrow\\ & \Leftrightarrow \quad m_2=2m_1 \end{aligned}\]

da cui concludiamo che l’energia cinetica di m_1 per essere doppia rispetto a quella di m_2 nel sistema del centro di massa si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{ m_2=2m_1.}\]

 

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