Esercizio sistemi di punti materiali 3

Figura 2.

dove su ciascun blocco agiscono le loro forze peso e , poi le forze di contatto tra ciascun blocco adiacenti che sono uguali in modulo e hanno verso opposto per il terzo principio della dinamica: ed infine agisce la forza su . Applichiamo quindi il secondo principio della dinamica [1] a ciascuno dei blocchi per trovare le equazioni che governano e descrivono il loro moto. Per prima cosa analizziamo il corpo come in figura 3

Figura 3.

dove dalla seconda legge della dinamica abbiamo

(1)  

Consideriamo ora il corpo come in figura 4

Figura 4.

Sempre dalla seconda legge della dinamica abbiamo

(2)  

Consideriamo il corpo come in figura 5

Figura 5.

Similmente a prima si ha

(3)  

Mettiamo a sistema (1),(2) e (3)

(4)  

Come possiamo vedere dalle equazioni appena scritte l’informazione sul verso dei vettori lungo il piano è data dal segno davanti a ciascuno di essi. Abbiamo inoltre scomposto la forza peso di ciascuna massa lungo la direzione parallela e perpendicolare al piano come in figura 6

Figura 6.

Le incognite di (4) sono più numerose delle equazioni pertanto sembrerebbe che il sistema non sia risolvibile. In realtà le tre masse hanno tutte la stessa accelerazione poiché la forza fa in modo che esse siano in contatto istante per istante e che quindi seguano lo stesso moto. Possiamo così riscrivere il sistema ponendo e ottenendo 4 incognite e 4 equazioni. Pertanto abbiamo

(5)  

Per ipotesi sappiamo che la somma delle forze agenti su è

(6)  

da cui

(7)  

Sommando membro a membro (5),(5) e (5) otteniamo

(8)  

da cui

(9)  

Raccogliendo a fattor comune le masse e sfruttando (7) otteniamo

Nella seconda richiesta del problema la forza viene annullata e il piano diventa scabro. Ogni blocchetto ha coefficiente di attrito dinamico differente e noi dobbiamo determinare il coefficiente di attrito del corpo . In questa situazione, su ciascuno dei blocchetti agiscono le rispettive forze peso, , e , le forze di attrito , e e le reazioni normali , e perpendicolari al piano inclinato. I moduli delle forza d’attrito dinamico sono:

(10)  

dove il modulo delle reazioni vincolari equivale alla componente perpendicolare al piano della forza peso dei singoli blocchetti, ovvero . Notiamo che i tre blocchetti si muovono lungo il piano verso il basso per effetto della componente tangenziale delle rispettive forze peso, e che le forze di attrito sono allineate lungo la direzione tangente al piano, con verso opposto a quello del moto, dunque verso l’alto. I tre blocchetti si muovono con moto uniforme per ipotesi, dunque anche l’accelerazione del centro di massa sarà nulla e quindi si muoverà di moto rettilineo uniforme. Il moto del centro di massa è influenzato dalle sole forze esterne, pertanto si ha

(11)  

Esplicitando, e raccogliendo a fattor comune in modo appropriato, otteniamo

(12)  

da cui

1. Ecco la nota 1, in cui spiego che l’esponenziale diagonalizza le traslazioni. ↩

P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Elementi di Fisica, Edises. 

• Cinematica del punto materiale.
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• Dinamica del punto materiale: lavoro ed energia.
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• Gravitazione .
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• Statica in meccanica classica.
• Fondamenti di relatività ristretta: trasformazioni di Lorentz e principali conseguenze.
• Calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia.