Esercizio Sistemi di Punti Materiali 1 inaugura la raccolta di esercizi sui sistemi di punti materiali, introducendo gli studenti ai principi fondamentali dell’argomento. L’esercizio successivo è l’Esercizio Sistemi di Punti Materiali 2. Questo esercizio è destinato agli studenti di Fisica 1, utile per ingegneria, fisica o matematica, e precede gli esercizi sui moti relativi. L’argomento successivo ai sistemi di punti materiali è la dinamica del corpo rigido.
Testo dell’Esercizio Urti 1
Esercizio 1 
. Un uomo di massa 
, considerato come un punto materiale, è inizialmente in quiete sul bordo di una barca di massa 
, la cui massa è distribuita in modo omogeneo e di lunghezza 
, immersa nel mare.
L’uomo si sposta di una distanza 
rispetto al punto fisso 
, senza che vi sia alcun attrito tra la barca e l’acqua.
Determinare di quanto si è spostata la barca rispetto a un sistema di riferimento fisso. L’obbiettivo è di esprimere i risultati in funzione dei parametri 
, e .
Figura 1: schema del problema.
Richiami teorici.
punti materiali, vale
(1) 
dove 
è la somma di tutte le forze esterne applicate al sistema, 
è la somma di tutte le masse degli punti materiali e 
è l’accelerazione del centro di massa rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.
Definiamo 
la velocità del centro di massa del sistema. Se la somma di tutte le forze esterne è nulla o non ci sono forze esterne, l’equazione (1) diventa
(2) 
con 
e ![\left[c\right] = [\text{m}\cdot\text{s}^{-1}]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb89744578311f644b795a3c1be89a3d_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare che, scelto un sistema di riferimento inerziale e dato un sistema di punti materiali, se la somma di tutte le forze esterne è nulla o non ci sono forze esterne (\textit{sistema isolato}), il moto del centro di massa è rettilineo uniforme o rimane in quiete, a seconda delle condizioni iniziali del sistema.
Svolgimento.
come mostrato in figura 1 all’istante 
e osserviamo che lungo l’asse 
non agiscono forze esterne sul sistema composto dalle masse e . Pertanto, l’equazione (2) è verificata.
Figura 2: rappresentazione del sistema di riferimento.
Figura 1: schema del problema.
Calcoliamo la velocità del centro di massa sfruttando le condizioni inziali:
(3) 
Si osservi che la velocità è nulla perché il sistema all’istante iniziale era in quiete.
Il risultato di (3) indica che siamo nel caso particolare in cui il centro di massa rimane in quiete, implicando che la posizione del centro di massa composto da e non varia nel tempo.
Calcoliamo la posizione del centro di massa del sistema composto da e (siccome la massa della barca è distribuita in modo omogeneo, il centro di massa della barca si trova a 
) all’istante (si veda la figura 2), ottenendo:
![\[ x_{\text{cm},i} = \dfrac{\frac{\ell}{2} m_2}{m_1 + m_2}. \]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4fe39d24311ebf5f11d78f58df6ecfb8_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Successivamente, l’uomo si sposterà di una distanza rispetto al punto fisso e, a causa della forza di attrito generata istante per istante sulla barca dovuta al contatto tra la superficie della barca e l’uomo, la barca arretra di una distanza rispetto al nostro sistema di riferimento (si veda la figura 3).
Figura 3 : rappresentazione del sistema arretrato di .
Calcoliamo ora la posizione del centro di massa in funzione delle distanze finale di e :
![\[x_{\text{cm},f} = \dfrac{dm_1+\left(\dfrac{\ell}{2}-x\right)m_2}{m_1+m_2}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f2ed91e50a82a05646bf3c70adb6245_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
e siccome la posizione del centro di massa rimane costante abbiamo
![\[x_{\text{cm},f}=x_{\text{cm},i} \quad \Leftrightarrow \quad dm_1+\dfrac{\ell}{2}m_2-xm_2=\dfrac{\ell}{2}m_2 \quad \Leftrightarrow \quad x= \dfrac{dm_1}{m_2}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-64f125b4ac7769b7822b231a55706508_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dunque, concludiamo che la barca è arretra di quanto segue:
![\[\boxcolorato{fisica}{ x= \dfrac{dm_1}{m_2}.}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b882c6aedfa4af5270abb09ed251e002_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
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