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Somma di una serie di potenze – Esercizio 15

Esercizi Serie di potenze

Home » Somma di una serie di potenze – Esercizio 15

Benvenuti nell’articolo 15 della raccolta Somma di una serie di potenze – Esercizi. Segnaliamo anche il precedente Somma di una serie di potenze – Esercizio 14 e il successivo Somma di una serie di potenze – Esercizio 16 per ulteriore materiale.

Buona lettura!

 

Testo somma di una serie di potenze 15

Esercizio 15.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{\left(n-1\right)!} \end{equation*}

per ogni x\in \mathbb{R}.

Svolgimento.

Si ricorda il seguente fatto

(2)   \begin{equation*} e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{2}+\sum_{n=4}^{+\infty}\dfrac{x^{n}}{n!} \end{equation*}

per ogni x\in\mathbb{R}; da cui, derivando ambo i membri della (2), si ottiene

(3)   \begin{equation*} e^x=1+x+\dfrac{x^2}{3}+\sum_{n=4}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{n-1}}{n!}=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{2}+\sum_{n=4}^{+\infty}\dfrac{x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}, \end{equation*}

cioè

(4)   \begin{equation*} \sum_{n=4}^{+\infty}\dfrac{x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}=e^x-1-x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{2}. \end{equation*}

Si conclude che

      \[\boxcolorato{analisi}{  \sum_{n=4}^{+\infty}\dfrac{x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}=e^x-1-x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{2}.\quad \forall x \in \mathbb{R}.}\]

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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