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Somma di una serie di potenze – Esercizio 14

Esercizi Serie di potenze

Home » Somma di una serie di potenze – Esercizio 14

Benvenuti nell’articolo 14 della raccolta Somma di una serie di potenze – Esercizi. Segnaliamo anche il precedente Somma di una serie di potenze – Esercizio 13 e il successivo Somma di una serie di potenze – Esercizio 15 per ulteriore materiale.

Buona lettura!

 

Testo somma di una serie di potenze 14

Esercizio 14.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}\right) \end{equation*}

per ogni x\in [-1,1].

Svolgimento.

Riscriviamo (1) come segue

(2)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}\right)=\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}}_{\mathcal{S}_1}+\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}}_{\mathcal{S}_2}. \end{equation*}

Si ricordi il seguente fatto

(3)   \begin{equation*} -\ln\left(1-x\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n} \end{equation*}

per ogni x\in [-1,1); integrando ambo i membri della (3), si ha

(4)   \begin{equation*} x-\left(x-1\right)\ln\left(1-x\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}+c \end{equation*}

da cui, sostituendo x=0 in (4) si ottiene c=0, quindi

(5)   \begin{equation*} x-\left(x-1\right)\ln\left(1-x\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\mathcal{S}_2. \end{equation*}

Ora si ricordi il seguente fatto

(6)   \begin{equation*} \arctan x =\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}=x+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1} \end{equation*}

per ogni x\in [-1,1]; da cui, sfruttando la precedente relazione, si deduce che

(7)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}=\mathcal{S}_1=\arctan x-x. \end{equation*}

Si conclude che

    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}\right)=x-\left(x-1\right)\ln\left(1-x\right)+\arctan x-x=\arctan x -\left(x-1\right)\ln\left(1-x\right),\]

i.e.

      \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}\right)=\arctan x -\left(x-1\right)\ln\left(1-x\right)\quad \forall x \in [-1,1].}\]

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
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  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
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  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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