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Somma di una serie di potenze – Esercizio 3

Esercizi Serie di potenze

Home » Somma di una serie di potenze – Esercizio 3

Benvenuti nell’articolo 3 della raccolta Somma di una serie di potenze – Esercizi. Segnaliamo anche il precedente Somma di una serie di potenze – Esercizio 2 e il successivo Somma di una serie di potenze – Esercizio 4 per ulteriore materiale.

Buona lettura!

 

Testo somma di una serie di potenze 3

Esercizio 3.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(ne^{\frac{1}{n}}-n\right)^{2n}. \end{equation*}

Svolgimento.

La serie è a termini positivi quindi converge o diverge positivamente. Si osserva che

    \[\begin{aligned} &\lim_{n\to+\infty}\left(ne^{\frac{1}{n}}-n\right)^{2n}=\lim_{n\to+\infty}\left(n\left(1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right)-n\right)^{2n}=\left(n+1+\dfrac{1}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)-n\right)^{2n}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^{2n}=\lim_{n\to+\infty}\exp\left(2n\,\ln\left(1+\dfrac{1}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\exp\left(2n\left(\dfrac{1}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\right)=e\neq 0. \end{aligned}\]

Pertanto la serie diverge positivamente, cioè

    \[\boxcolorato{analisi}{\sum_{n=1}^{+\infty}\left(ne^{\frac{1}{n}}-n\right)^{2n}=+\infty.}\]

 

Fonte.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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