Frazioni algebriche – Esercizio 39
In questo trentanovesimo articolo sulle frazioni algebriche, presentiamo un espressione completamente risolta sull’argomento. Segnaliamo anche il precedente Frazioni algebriche – Esercizio 38 e il successivo Frazioni algebriche – Esercizio 40 per ulteriore materiale sulle frazioni algebriche.
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Esercizio 
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Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:
![\[\left[\left(\dfrac{x+1}{x^2-2x}-\dfrac{1}{x-2}\right)\cdot \left(\dfrac{x-1}{x^2+2x}-\dfrac{1}{x+2}\right) \cdot (x^2-4) + \dfrac{1}{x^2}\right]^{-2}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-26e2c34028f24bd97cb93058e23c470e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento.
Procediamo come segue
![\[\begin{aligned} & \left[\left(\dfrac{x+1}{\underbrace{x^2-2x}_{\text{raccoglimento totale}}}-\dfrac{1}{x-2}\right)\cdot \left(\dfrac{x-1}{\underbrace{x^2+2x}_{\text{raccoglimento totale}}}-\dfrac{1}{x+2}\right) \cdot \overbrace{(x^2-4)}^{\text{differenza di due quadrati}} + \dfrac{1}{x^2}\right]^{-2} = \\ & = \left[\left(\dfrac{x+1}{x(x-2)}-\dfrac{1}{x-2}\right)\cdot \left(\dfrac{x-1}{x(x+2)}-\dfrac{1}{x+2}\right) \cdot (x-2)(x+2) + \dfrac{1}{x^2}\right]^{-2} = \\ & = \left[\left(\dfrac{x+1-x}{x(x-2)}\right)\cdot \left(\dfrac{x-1-x}{x(x+2)}\right) \cdot (x-2)(x+2) + \dfrac{1}{x^2}\right]^{-2} = \\ & = \left[\dfrac{-1}{x^2(x-2)(x+2)}\cdot (x-2)(x+2) + \dfrac{1}{x^2}\right]^{-2} = \\ & = \left[\dfrac{-1}{x^2}+ \dfrac{1}{x^2}\right]^{-2} = \\ & = 0^{-2}. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-16b6498342e4c138171add78fdbffd4b_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ottenendo così un’espressione priva di senso.