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Dominio di una funzione – Guida al calcolo

Dominio di una funzione

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Questo articolo è una guida al calcolo degli insiemi di definizione (o “dominio”) di funzioni di cui sono date le espressioni che le definiscono. L’argomento è di estrema importanza per gli studenti delle scuole superiori e dei corsi universitari di Analisi Matematica, risultando propedeutico a numerosi altri. L’articolo contiene una raccolta sintetica dei principi di base, da utilizzare come guida quando ci si cimenta in questo compito, e presenta 22 esercizi completamente risolti, per consentire al lettore di mettere in pratica le idee apprese.
Auguriamo pertanto una buona e piacevole lettura.

Segnaliamo la nostra cartella di esercizi sul dominio di una funzione e, oltre all’esaustiva lista in fondo alla pagina, i seguenti articoli sulla teoria collegata:

 

Sommario

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Questo documento è rivolto agli studenti dell’ultimo anno di liceo scientifico e agli studenti universitari che si trovano ad affrontare il concetto di dominio, basilare per comprendere in pieno le funzioni e saperle rappresentare. Questa guida comprende sia una parte teorica che un utile e breve eserciziario, racchiudendo i casi più frequenti fino a quelli più particolari.

 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.  

 

Introduzione

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Prima di addentrarci nel concetto di dominio e di come si determina, facciamo un brevissimo ripasso di cosa è e di come si presenta una funzione.

 

Definizione 1. Siano A,B due insiemi e sia f un sottoinsieme del prodotto cartesiano A\times B. Se per ogni a\in A esiste un unico b\in B tale per cui (a,b)\in f, allora f è detta funzione tra A e B.

 

Quindi una funzione è una relazione tra due insiemi tale per cui ad ogni elemento dello spazio di partenza è associato uno ed un solo elemento dello spazio di arrivo. Graficamente si possono dare più versioni, noi scegliamo quella insiemistica di facile visione e comprensione:

   

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Gli insiemi A e B sono anche denominati, rispettivamente, spazio di arrivo e spazio di partenza.

 

Definizione 2. Siano A e B due insiemi non vuoti e sia f:A\to B una funzione. L’insieme A è detto dominio di f, mentre l’insieme B è detto codominio della funzione.

 

Quindi l’insieme A, spazio di partenza, prende il nome di dominio mentre l’insieme B, spazio di arrivo, prende il nome di codominio.

 

Definizione 3. Siano A e B due insiemi non vuoti e sia f:A\to B una funzione. Si definisce immagine di A mediante f l’insieme

\[f(A)\:=\left\{b\in B:\text{ esiste } x\in A, f(x)=b\right\}.\]

 

Graficamente rappresentiamo l’immagine della funzione

   

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Quindi in “teoria” quando si parla di una funzione bisogna sempre dare sempre un dominio e un codominio e la legge che lega il dominio e il codominio.

Una funzione si denota come segue

\[f: A \to B \qquad \text{tale che } \, x \mapsto y = f(x)\]

dove x è detta variabile indipendente e y variabile dipendente; infatti il valore di y dipende dal valore di x.

Si vuole far notare al lettore la differenza tra dominio e dominio naturale: Il dominio naturale è l’insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente affinchè esista il corrispondente valore della variabile dipendente mentre con il termine dominio può essere il dominio naturale o un sottoinsieme di quest’ultimo.

 

Classificazione delle funzioni

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Per poter ricavare il dominio è necessario saper riconoscere la funzione con cui si ha a che fare. Tale classificazione gioca un ruolo fondamentale nello svolgimento degli esercizi, in quanto permette di determinare il dominio. Le funzioni si dividono in due macrogruppi: algebriche e trascendenti.

Le algebriche possono essere:  

  • Razionali intere: sono le funzioni polinomiali, ovvero le funzioni la cui legge è un monomio o un polinomio, ad esempio

    \[f(x) = x^3+2x-1 \quad \text{oppure} \quad f(x)=7x.\]

    Banalmente il dominio coincide con \mathbb{R}, sempre.

  • Razionali fratte: sono le funzioni la cui variabile indipendente compare a denominatore (non necessariamente deve comparire anche a numeratore), ad esempio

    \[f(x) = \dfrac{x-1}{x^2-5x+6} \quad \text{oppure} \quad f(x) = \dfrac{5}{x^2-9}.\]

    Il dominio si trova ponendo il denominatore diverso da zero1.

  • Irrazionali: la variabile indipendente compare sotto radice. In questo tipo di funzione è fondamentale tenere in considerazione l’indice2 della radice.
    1. Con indice pari

      (1) \begin{align*} & f(x) = \sqrt{x^2-9} \quad \text{oppure} \quad f(x)=\sqrt{\dfrac{5x-1}{4+x}} \quad \\ & \text{oppure} \quad f(x) = \dfrac{3}{\sqrt{x^2+10x+1}} \end{align*}

      Nei primi due esempi si impone che l’argomento della radice sia maggiore o uguale a zero; inoltre nel secondo esempio bisogna anche imporre che il denominatore della frazione sia diverso da zero (cioè 4+x\neq 0). Nel terzo esempio, siccome il radicale è al denominatore, bisogna imporre l’argomento strettamente maggiore di zero.

    2. Con indice dispari

      (2) \begin{align*} & f(x) = \sqrt[3]{x^2-4} \quad \text{oppure} \quad f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{2x^2-7x}{5x+9}} \\ & \quad \text{oppure} \quad f(x) = \dfrac{3}{\sqrt[3]{x^2-7x}} \end{align*}

      Il primo esempio ha dominio \mathbb{R}. Nel secondo esempio la radice cubica è definita per ogni numero reale, ma il radicando è una funzione razionale: quindi bisogna imporre 5x+9\neq 0, cioè x\neq -\dfrac{9}{5}. Nel terzo esempio, dato che la radice è al denominatore, bisogna porre l’argomento della radice diverso da zero (equivalentemente x^2-7x\neq 0, quindi x\neq 0 e x\neq 7).

Le trascendenti possono essere:

 

  • Logaritmiche: la variabile indipendente compare nell’argomento del logaritmo, ad esempio

    \[y = \ln(x+3) \quad \text{oppure} \quad y=\ln\left(\dfrac{3-x}{x^2-1}\right).\]

    In questo caso, è sufficiente porre l’argomento del logaritmo maggiore di zero.

  • Esponenziali: la variabile indipendente compare nell’esponente della potenza.

    \[y=5^x \qquad y=3^{\frac{x}{x-1}} \qquad y= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\sqrt{x-2}}.\]

    In questo caso si studia il dominio dell’esponente. Nel primo esempio il dominio è \mathbb{R}, nel secondo caso bisogna porre x\neq 1 e infine nel terzo caso bisogna porre x\geq 2.

    C’è anche un altro caso dell’esponenziale dove la variabile compare sia nella base che nell’esponente

    \[y=3x^{2x-1} \quad \text{oppure} \quad y=\left(\dfrac{4}{3x+1}\right)^{8x+6}.\]

    In questo caso si deve porre la base positiva a sistema con il dominio dell’esponente.

  • Goniometriche: la variabile indipendente compare nell’argomento della funzione goniometrica.

    \[y = \sin(5x-7) \qquad y=\cos(3x+1) \qquad y=\tan(x-3) \qquad y = \arcsin(7x^2-6).\]

    Per determinare il dominio, nel caso delle funzioni seno e coseno, come ad esempio \cos(A(x)) o \sin(A(x)) è sufficiente fare il dominio dell’argomento; nel caso della tangente \tan(A(x)) bisogna porre

    \[\begin{cases} A(x) \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\\ \text{dominio di } A(x) \end{cases}\]

    mentre nel caso della cotangente si imposta il seguente sistema

    \[\begin{cases} A(x) \neq k\pi\\ \text{dominio di } A(x). \end{cases}\]

    Infine nel caso di \arcsin(A(x)) o \arccos(A(x)) bisogna assicurarsi che l’argomento sia compreso tra -1 e 1 ovvero

    \[\begin{cases} -1\le A(x) \le 1\\ \text{dominio di } A(x). \end{cases}\]

    Analogo discorso delle funzioni seno e coseno per \arctan(A(x)) o \text{arccot}(A(x)).

    Andando a discutere gli esempi sopra proposti, nel primo e secondo caso, il dominio risulta tutto \mathbb{R} essendo gli argomenti del seno e del coseno dei polinomi; nel terzo caso bisogna porre x-3\neq \frac{\pi}{2}+k\pi con k\in\mathbb{Z}; ed infine per il quarto caso abbiamo -1\leq 7x^2-6\leq 1.

Infine possiamo avere delle combinazioni delle funzioni precedenti con le operazioni usuali ovvero somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione. In questo caso è sufficiente mettere a sistema tutte le condizioni necessarie. Si vuole far notare al lettore che quando viene data la scrittura f(x) non si sta dando la funzione ma la legge che lega gli elementi del dominio al codominio; infatti formalmente quando si parla di funzione si deve sempre specificare dominio, codominio e la legge che lega i due insiemi tale che ad ogni elemento dell’insieme del dominio corrisponde uno ed un solo elemento dell’insieme di arrivo, ovvero il codominio. Inoltre quando viene richiesto di determinare il dominio di f(x) si dà sempre per scontato di determinare il dominio naturale o il campo di esistenza, ovvero il più grande dominio per il quale è definita la funzione.

   

\[\]

  1. Ricordate che il denominatore di una funzione non può essere zero! ↩
  1. Sia \sqrt[n]{x}: allora si dice n indice della radice ed x radicando. ↩

 

Tabella riassuntiva

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Proponiamo una tabella riassuntiva nel caso in cui A(x) e B(x) siano due funzioni polinomiali. Allora vale quanto segue    

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E’ importante osservare che nel caso di combinazioni di funzioni, i diversi domini possono essere posti a sistema.

 

Come rappresentare il dominio

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Il modo più comune di rappresentare un dominio è sottoforma di intervallo, di seguito riportiamo le tre rappresentazioni più comuni: intervallo, tramite variabile e graficamente.

   

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Più formalmente, siano a,b \in \mathbb{R} supponendo, senza perdita di generalità, che a<b.

Definiamo gli intervalli limitati di estremi a e b come segue:  

  • [a,b]=\{x\in\mathbb{R} \; \vert \; a\le x\le b\} intervallo chiuso;
  • (a,b)=\{x\in \mathbb{R}\; \vert \; a<x<b\} intervallo aperto;
  • [a,b)=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; a\le x <b\} intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra;
  • (a,b] =\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; a<x\le b\} intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra.

Gli intervalli illimitati sono invece determinati da un solo estremo a \in \mathbb{R}. Anche per essi si distinguono quattro casi:  

  • [a,+\infty\mbox{[}=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; x \ge a\} intervallo chiuso illimitato superiormente;
  • (a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\; \vert \; x>a\} intervallo aperto illimitato superiormente;
  • (-\infty,a]=\{x\in\mathbb{R}\; \vert\; x\le a\} intervallo chiuso illimitato inferiormente;
  • (-\infty,a)=\{x\in \mathbb{R} \; \vert \; x<a\} intervallo aperto illimitato inferiormente.

 

Esercizi svolti

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