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Periodo di funzioni goniometriche: esercizi svolti

Funzioni goniometriche: proprietà di base

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Sommario

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Raccolta di esercizi sul periodo di funzioni goniometriche.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 

Richiami di teoria

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Una funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} non costante si dice periodica se esiste T>0 tale che

\[ f(x+T)= f(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \]

Un tale T è detto periodo della funzione f ed è facile verificare che, se T è un periodo di f, anche 2T,3T,\dots sono periodi di f. Il minimo (se esiste) periodo positivo di f viene detto periodo minimo di f e solitamente indicato con T_0.

Assumiamo ora che f sia periodica di periodo T_f e che g sia periodica di periodo T_g, e che tali periodi possiedano dei multipli interi comuni, ovvero esistano h,k \in \mathbb{N} tali che

\[ h T_f = k T_g. \]

Chiamiamo inoltre T_m il minimo comune multiplo tra tali periodi, ovvero il minimo valore h T_f che si può ottenere nell’uguaglianza di sopra.

Allora in generale le funzioni f+g e f\cdot g sono periodiche di periodo T_m. Purtroppo in generale T_m non è il periodo minimo di f+g e f \cdot g, che va quindi ricercato tra i suoi sottomultipli analizzando il caso specifico in esame. Come esempio, già analizzato in [2, esempio 2.58], si considerino le funzioni definite da f(x)=|sin x| e g(x)=|cos x|, entrambe periodiche di periodo minimo \pi, ma la cui somma ha periodo minimo \frac{\pi}{2}.

Per una discussione approfondita delle proprietà delle funzioni periodiche, rimandiamo a [2, Teoria sulle funzioni].

Le funzioni goniometriche sono le funzioni periodiche per eccellenza, essendo ottenute dalla rotazione di un segmento intorno a un suo estremo. Qui di seguito ricordiamo i periodi minimi delle principali funzioni goniometriche:

\[ \begin{aligned} \sin \quad & \quad T=2\pi; \\ \cos \quad & \quad T=2\pi; \\ \tan \quad & \quad T=\pi; \\ \cot \quad & \quad T=\pi. \end{aligned} \]

Si veda [1, Funzioni goniometriche: la guida essenziale] per ulteriori approfondimenti.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare il periodo minimo delle funzioni seguenti, trasformandole prima con le opportune formule goniometriche:

\[\quad\]

  1. y = \sin^2 x + 1;

    2.  

  2. y = 2 \sin^2\left( \frac{x}{2} \right) + \cos x;

    3.  

  3. y = \sin 3x + \cos 6x;

    4.  

  4. y = \sin 4x \cdot \cos 4x.

Svolgimento punto 1.

Dalla formula di duplicazione del coseno \sin^{2}\theta=\tfrac12\bigl(1-\cos 2\theta\bigr) si ha

\[ y = \tfrac12\bigl(1-\cos 2x\bigr) + 1 = \tfrac32 - \tfrac12\cos 2x. \]

L’unico termine variabile è \cos 2x, il cui periodo minimo è la metà di quello della funzione coseno, ovvero T=\dfrac{2\pi}{2}={\pi}; il periodo minimo di y è quindi

\[ \boxcolorato{superiori}{ T_0= \pi. } \]


Svolgimento punto 2.

Da \sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=\tfrac12\bigl(1-\cos x\bigr) segue

\[ y = 2\!\cdot\!\tfrac12(1-\cos x)+\cos x = 1-\cos x+\cos x = 1. \]

La funzione è quindi costante e non è dunque periodica, secondo la nostra definizione.


Svolgimento punto 3.

Poiché le funzioni \sin x e \cos x sono periodiche di periodo minimo 2\pi, allora \sin 3x e \cos 6x sono periodiche rispettivamente di periodi minimi

\[ \frac{2\pi}{3}, \qquad \frac{\pi}{3}, \]

per il discorso fatto nella sezione 1 la loro somma è periodica di periodo \frac{2\pi}{3}. Il periodo minimo della funzione è dunque un sottomultiplo di \frac{2\pi}{3}. Osserviamo però che non vi è alcun periodo minore in quanto, ad esempio, usando la formula di duplicazione del coseno, si ha

\[ \sin 3x + \cos 6x = \sin 3x + 1-2\sin^2 3x \]

e tale espressione si annulla se e solo se

\[ \sin 3x= \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{4} \iff \sin 3x=-1 \,\,\vee \,\, \sin 3x= \frac{1}{2} \]

che fornisce le soluzioni

\[ x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}k \,\, \vee \,\, x= \frac{\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}k \,\, \vee \,\, x= \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}k \]

con k \in \mathbb{Z}, che distano \frac{2}{9}\pi l’una dall’altra. Poiché gli zeri della funzione hanno distanza pari a \frac{2}{9}\pi, il periodo minimo della funzione deve essere un multiplo di \frac{2}{9}\pi. Dunque il periodo minimo è pari a \frac{2}{3}\pi oppure la sua terza parte \frac{2}{9}\pi. Osserviamo però che

\[ y(0)= \sin 0 + \cos 0 = 1, \qquad y\left (\frac{2}{9}\pi\right ) = \sin \left (\frac{2}{3}\pi\right ) + \cos \left (\frac{4}{3}\pi\right ) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}. \]

Poiché i due valori sono diversi, \frac{2}{9}\pi non è un periodo della funzione, e quindi concludiamo

\[ \boxcolorato{superiori}{ T_0= \frac{2}{3}\pi. } \]


Svolgimento punto 4.

Dalla formula di duplicazione del seno osserviamo che

\[ y= \frac{1}{2} \sin 8x, \]

che ha periodo minimo pari all’ottava parte del periodo minimo 2\pi della funzione seno, ovvero

\[ \boxcolorato{superiori}{ T_0= \frac{\pi}{4}. } \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare il periodo minimo delle funzioni seguenti, trasformandole prima con le opportune formule goniometriche:

\[\quad\]

  1. y = \sin 4x \cdot \cos 8x;

    2.  

  2. y = \dfrac{\sin 3x + \sin 5x}{\cos 5x - \cos 3x};

    3.  

  3. y = 1 - 2\sin^2 6x;

    4.  

  4. y = \cos^2 4x - \sin^2 4x.

Svolgimento punto 1.

La funzione è il prodotto del termine \sin 4x, avente periodo minimo \frac{2\pi}{4}= \frac{\pi}{2}, e del fattore \cos 8x, avente periodo \frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}. Grazie alle considerazioni svolte nella sezione 1, un periodo della funzione è il minimo comune multiplo dei periodi, ovvero \frac{\pi}{2}.

Osserviamo che l’espressione si annulla se e solo se si annulla almeno uno dei fattori, ovvero

\[ \sin 4x=0 \,\,\vee \,\, cos 8x=0 \iff x=\frac{k\pi}{4} \,\,\vee \,\, x= \frac{\pi}{16} + k\frac{\pi}{8}. \]

Poiché tali valori distano tra loro \frac{\pi}{8} o \frac{\pi}{16}, concludiamo che nessun sottomultiplo di \frac{\pi}{2} è un periodo di y, ovvero che

\[ \boxcolorato{superiori}{ T_0= \frac{\pi}{2}. } \]


Svolgimento punto 2.

Utilizzando le formule di prostaferesi al numeratore e al denominatore, si ottiene che, nei punti in cui è definita, la funzione vale

\[ y = \frac{2\sin 4x\cos x}{-2\sin 4x\sin x} = -\frac{\cos x}{\sin x} = -\cot x. \]

Dato che \cot x ha periodo minimo \pi, tale è anche il periodo minimo di y:

\[ \boxcolorato{superiori}{ T_0= \pi. } \]


Svolgimento punto 3.

Dalla formula di duplicazione del coseno otteniamo

\[ y = \cos(2\cdot 6x) = \cos 12x, \]

che ha periodo minimo pari alla dodicesima parte del periodo 2\pi della funzione coseno, ovvero

\[ \boxcolorato{superiori}{ T_0 = \frac{\pi}{6}. } \]


Svolgimento punto 4.

Dalla formula di duplicazione del coseno la funzione vale

\[ y = \cos(2\cdot 4x) = \cos 8x, \]

che ha periodo minimo pari all’ottava parte del periodo minimo 2\pi della funzione coseno, ovvero

\[ \boxcolorato{superiori}{ T_0= \frac{\pi}{4}. } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar). Calcolare il periodo minimo delle funzioni seguenti, trasformandole prima con le opportune formule goniometriche:

\[\quad\]

  1. y = \dfrac{\cos 2x}{\cos x - \sin x};

    2.  

  2. y = \tan 2x + \cos\left(\frac{x}{2}\right);

    3.  

  3. y = \sin^2 x - \cos 3x;

    4.  

  4. y = \dfrac{\sin x + \sin 2x}{\cos x}.

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