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Espressioni goniometriche: esercizi svolti

Esercizi misti formule goniometriche

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Sommario

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Raccolta di esercizi di carattere misto sulle espressioni goniometriche, nelle quali si utilizzano le formule principali della goniometria e le relazioni tra funzioni goniometriche, per le quali rimandiamo a [1, Funzioni goniometriche: la guida essenziale] e [2, Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche].

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Semplificare la seguente espressione:

\[ \frac{\sin(180^\circ - \alpha) \cos(90^\circ + \alpha)}{\sin(-\alpha)} + \frac{\sin(90^\circ + \alpha) \cos(90^\circ - \alpha)}{\cos(180^\circ + \alpha)}. \]

Svolgimento.

Usando le identità goniometriche elementari

\[\begin{gathered} \sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta,\qquad \sin(-\theta)=-\sin\theta,\qquad \cos(90^{\circ}\pm\theta)=\mp\sin\theta, \\[5pt] \sin(90^{\circ}+\theta)=\cos\theta,\qquad \cos(180^{\circ}+\theta)=-\cos\theta, \end{gathered}\]

si ottiene

(1) \begin{equation*} \begin{split} &\frac{\sin(180^{\circ}-\alpha)\cos(90^{\circ}+\alpha)}{\sin(-\alpha)} + \frac{\sin(90^{\circ}+\alpha)\cos(90^{\circ}-\alpha)}{\cos(180^{\circ}+\alpha)} \\[6pt] &=\frac{\sin\alpha\,(-\sin\alpha)}{-\sin\alpha} +\frac{\cos\alpha\,\sin\alpha}{-\cos\alpha}\\[6pt] &=\frac{-\sin^{2}\alpha}{-\sin\alpha} -\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha}\\[6pt] &=\sin\alpha-\sin\alpha\\[4pt] &=0. \end{split} \end{equation*}

Dunque il risultato è

\[\boxcolorato{superiori}{ 0. }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Semplificare la seguente espressione:

\[ \frac{\cos 45^\circ - \tan 210^\circ}{\tan 240^\circ - \cos(-45^\circ)} + \frac{1}{5}. \]

Svolgimento.

Utilizzando \cos45^{\circ}=\frac{\sqrt2}{2}, \tan210^{\circ}= \tan(210^\circ - 180^\circ)=\tan(30^\circ)=\frac1{\sqrt3}, \tan240^{\circ}=\tan(240^\circ - 180^\circ)=\tan(60^\circ)=\sqrt3, \cos(-45^{\circ})=\frac{\sqrt2}{2} si ottiene

(2) \begin{equation*} \begin{split} \frac{\cos 45^{\circ}-\tan 210^{\circ}}{\tan 240^{\circ}-\cos(-45^{\circ})} +\frac15 &= \frac{\frac{\sqrt2}{2}-\frac1{\sqrt3}} {\sqrt3-\frac{\sqrt2}{2}} +\frac15 \\[4pt] &= \frac{\frac{\sqrt2}{2}-\frac1{\sqrt3}} {\sqrt3-\frac{\sqrt2}{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}} +\frac15 \\[4pt] &= \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{1}{2}-1+\frac{\sqrt{6}}{6}}{3-\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} \\ &= \frac{3\sqrt{6}-3+ \sqrt{6}}{15} + \frac{1}{5}. \end{split} \end{equation*}

Semplificando si ottiene il risultato

\[ \boxcolorato{superiori}{ \frac{2\sqrt{6}}{15}. } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Semplificare la seguente espressione:

\[ \frac{x^2 \sin 450^\circ - y^2 \tan(-225^\circ) + 2xy \tan 315^\circ}{x \cot 45^\circ - y \csc 90^\circ}. \]

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