Sistemi lineari – Problema 6
In questo sesto articolo sui sistemi lineari, presentiamo un problema completamente risolto utilizzando questo strumento matematico. Segnaliamo anche il precedente Sistemi lineari – Problema 5 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
Buona lettura!
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Dodici anni fa l’età di Marco era 1/3 dell’età che aveva Anna. Fra tre anni, l’età di Anna sarà il doppio di quella che avrà Marco. Che età hanno Marco e Anna?
Svolgimento.
![\[\begin{aligned} &x = \text{età di Marco}\\ &y = \text{età di Anna}. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-48ed1dd8920bc0b51544c86716c3fcd8_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ora impostiamo il sistema ricavando le due equazioni necessarie dal testo. Ricordiamo che per risolvere un sistema dobbiamo ricavare un numero di equazioni pari al numero di incognite. Sappiamo che dodici anni fa l’età di Marco era 1/3 dell’età che aveva Anna, dunque
![\[x-12 = \dfrac{y-12}{3}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-312eff7a6e30f1742d585e56ebc388f1_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
ed inoltre è noto che fra tre anni, l’età di Anna sarà il doppio di quella che avrà Marco, quindi
![\[2(x+3) = y+3.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6bd4e2c19f1425177a8356d24064fc7_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Abbiamo trovato quanto necessario per impostare il sistema
![\[\begin{cases} x-12 = \dfrac{y-12}{3}\\\\ 2(x+3) = y+3 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c0e09cee9d94aa3e7a07c50da43831c8_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
e lo risolviamo con uno dei metodi visti: sostituzione, riduzione, confronto o Cramer. Andiamo ad utilizzare il metodo di sostituzione
![\[\begin{aligned} &\begin{cases} x-12 = \dfrac{y-12}{3}\\\\ 2(x+3) = y+3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 3x-y -24 = 0\\ y = 2x + 3 \end{cases} \overset{\text{met. di sostituzione}}{\quad \Longleftrightarrow \quad} \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 3x-(2x+3) -24= 0\\ y = 2x + 3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=27 y = 2x + 3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x = 27 \\ y = 2\cdot 27 + 3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x = 27\\ y=57. \end{cases} \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c1346fafef44f28c1ce2e0951b9922f_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Quindi l’età di Marco è 27 anni e l’età di Anna è 57 anni.