Esercizio 5 – Metodo di riduzione

Sistemi lineari: Metodo di riduzione

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Esercizio. (\bigstar\bigstar\largewhitestar)

Risolvere, con il metodo di riduzione, il seguente sistema

    \[\begin{cases} x(3x-1) =2 + 3x^2-4y \\ (y-1)^2 + xy = 1 + y(x+y)-3x \end{cases}\]

 

Soluzione. 
Innanzitutto risolviamo i calcoli e portiamo il sistema in forma normale

    \[\begin{aligned} & \begin{cases} x(3x-1) =2 + 3x^2-4y \\ (y-1)^2 + xy = 1 + y(x+y)-3x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \cancel{3x^2}-x =2 + \cancel{3x^2}-4y \\ \cancel{y^2}+1-2y + \cancel{xy} = 1 + \cancel{yx} + \cancel{y^2} -3x \end{cases} \Rightarrow\\\\ & \Rightarrow \begin{cases} -x+4y=2\\ 3x-2y=0 \end{cases} \end{aligned}\]

poi moltiplichiamo la prima equazione per 3 così che i coefficienti della x di entrambe le equazioni siano opposti

    \[\begin{cases} 3(-x+4y)= 3 \cdot 2\\ 3x-2y=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3x+12y=6\\ 3x-2y=0 \end{cases}\]

ed infine procediamo con la somma membro a membro:

    \[\underbrace{0}_{-3x+3x} \underbrace{+10y}_{12y-2y} = \underbrace{6}_{6-0} \; \Rightarrow 10y=6 \Rightarrow y = \dfrac{3}{5}\]

da cui

    \[\begin{cases} 3x-2y=0\\\\ y = \dfrac{3}{5} \end{cases} \overset{\text{sost.}}{\Rightarrow} \begin{cases} 3x = 2 \cdot \dfrac{3}{5}\\\\ y=\dfrac{3}{5} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \dfrac{2}{5}\\\\ y=\dfrac{3}{5} \end{cases}\]

 


Fonte: Qui Si Risolve