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Sistemi di secondo grado simmetrici – Esercizio 5

Sistemi di equazioni Simmetrici

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Sistemi di secondo grado simmetrici – Esercizio 5

In questo quinto articolo sui sistemi di equazioni di secondo grado simmetrici, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo argomento. Segnaliamo anche il precedente Sistemi di secondo grado simmetrici – Esercizio 4 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
Buona lettura!

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 5 esercizi sui sistemi simmetrici.

 

Esercizio (\bigstar\bigstar\largewhitestar) Risolvere il seguente sistema simmetrico sia con il metodo algebrico che con il metodo grafico

    \[\begin{cases} x^3+y^3=xy+12\\ x+y=2. \end{cases}\]

Svolgimento metodo algebrico.

Utilizzando lo sviluppo del cubo del binomio

    \[(x+y)^3 = x^3+y^3+3x^2y+3xy^2 \quad \Rightarrow \quad x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\]

e andando a sostituire la seconda equazione nella prima otteniamo

    \[\begin{aligned} & \begin{cases} x^3+y^3=xy+12\\ x+y=2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} (x+y)^3-3xy(x+y) = xy + 12\\ x+y=2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 2^3-3xy \cdot 2 = xy + 12\\ x+y=2 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}\label{sist6} xy=-\dfrac{4}{7}\\\\ x+y=2. \end{cases} \end{aligned}\]

Risolviamo il sistema tenendo a mente che la somma è data da 2 e il prodotto è dato da -4/7. Allora risolvendo

    \[t^2-2t-\dfrac{4}{7}=0 \quad \Leftrightarrow t = 1\pm\sqrt{\dfrac{11}{7}}\]

troviamo le soluzioni del sistema

    \[A = \left(1+\sqrt{11/7}, 1-\sqrt{11/7}\right) \mbox{ e } \, B = \left(1-\sqrt{11/7}, 1+\sqrt{11/7}\right).\]

Svolgimento metodo grafico.

La prima equazione del sistema

    \[xy=-\dfrac{4}{7}\]

rappresenta un’iperbole equilatera mentre la seconda equazione del sistema

    \[x+y=2\]

rappresenta una retta.

 


Fonte: Qui Si Risolve

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
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  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
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